零件參數(shù)設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

1、零件參數(shù)設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型指導(dǎo)老師數(shù)學(xué)建模教練組李?。?501 ） 羅建梅（熱9502 ） 王震宇（供9502 ）摘 要：本文基于Y偏離Yo造成的損失和零件成本，根據(jù)原設(shè)計(jì)給定的標(biāo)定值和容差， 使用網(wǎng)格法和隨機(jī)搜索法，利用計(jì)算機(jī)編程計(jì)算產(chǎn)品分別為正品、次品、廢品時(shí)的概率，進(jìn) 而分析產(chǎn)品是正品、次品、廢品的概率的穩(wěn)定性，得到較為精確且合理的結(jié)果，最后求出 原設(shè)計(jì)的總費(fèi)用（損失費(fèi)+成本費(fèi)）為313.4萬(wàn)元。本文通過(guò)分析參數(shù)Xi,X2X7對(duì)y的影響，在原設(shè)計(jì)的標(biāo)定值附近找出一個(gè)使 y在其 附近的變化比較穩(wěn)定的點(diǎn)，并使y=1.5 ,再利用計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)，綜合判斷容差等級(jí)方案， 確定出比較理想的標(biāo)定值和容

2、差等級(jí)方案：最后確定的方案比原設(shè)定節(jié)約費(fèi)用271.2425萬(wàn)元。、問(wèn)題的重述一件產(chǎn)品由若干零件組裝而成，標(biāo)志產(chǎn)品性能的某個(gè)參數(shù)取決于這些零件的參數(shù)。零 件參數(shù)包括標(biāo)定值和容差兩部分。 進(jìn)行批量生產(chǎn)時(shí)，標(biāo)定值表示一批零件該參數(shù)的平均值， 容差則給出了參數(shù)偏離其標(biāo)定值的容許范圍。若將零件參數(shù)視為隨機(jī)變量，則標(biāo)定值代表 期望值，在生產(chǎn)部門無(wú)特殊要求時(shí)，容差通常規(guī)定為均方差的3倍。在進(jìn)行零件參數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)，由于零件組裝產(chǎn)品的參數(shù)偏離預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)值，所以造成 質(zhì)量損失，偏離越大，損失越大；且零件的容差大小決定了其制造成本， 容差設(shè)計(jì)的越小, 成本越Hj 0X7）決定,經(jīng)驗(yàn)有一種離子分離器某參數(shù)（記作 Y）

3、由7個(gè)零件的參數(shù)（記彳Xi ,XX7）決定,經(jīng)驗(yàn)1 -2,621 _ 0.36( X4)q.563/2(X4 )1.16X1v X3、o.85X2X2Y=174.42 (1)(3)： 22X5X2 - X1IX 6X 7Y的目標(biāo)值（記彳Yo）為1.50。若Y偏離丫。0.1時(shí)，產(chǎn)品為次品，質(zhì)量損失1000（元）; 若Y偏離丫。0.3時(shí)，產(chǎn)品為廢品，損失9000（元）。零件參數(shù)的標(biāo)定值有一定的容許變化范圍；容差分為A、B、C三個(gè)等級(jí)，用與標(biāo)定值的相對(duì)值來(lái)表示，A等為 1% , B等為5% , C等為 10%。7個(gè)零件參數(shù)標(biāo)定值的容許范圍及不同容差等級(jí)零件的成本（元）如下表（符號(hào)/表示無(wú)此等級(jí)零件）

4、：標(biāo)定值容許范圍C等B等A等X10.075,0.125/25/X20.225,0.3752050/X30.075,0.1252050200X40.075,0.12550100500X51.125,1.87550/X612,201025100X70.5625,0.935/25100現(xiàn)進(jìn)行成批生產(chǎn)，每批產(chǎn)量1000個(gè)。在原設(shè)計(jì)中，7個(gè)零件參數(shù)的標(biāo)定值為：Xi=0.1 , X2=0.3 , X3=0.1 , X4=0.1 , X5=1.5 , X6=16 , Xy=0.75 ;容差均取最便宜的等 級(jí)。綜合考慮Y偏離Yo造成的損失和零件成本，重新設(shè)計(jì)零件參數(shù)（包括標(biāo)定值和容差）， 并與原設(shè)計(jì)的總費(fèi)用相

5、比較。二、模型假設(shè)及符號(hào)約定模型假設(shè).零件的總損失取決于各種類型的零件出現(xiàn)的概率；.零件的參數(shù)符合正態(tài)分布；.符合要求的零件只考慮自身成本，而不再考慮其它因素的影響。符號(hào)約定M表示成批生產(chǎn)時(shí)每批產(chǎn)量的個(gè)數(shù)，此題為 1000個(gè)；a表示產(chǎn)品為次品時(shí)的質(zhì)量損失為1000元；b表小產(chǎn)品為廢品時(shí)的質(zhì)量損失為9000兀；5表示第i個(gè)零件參數(shù)對(duì)應(yīng)的均方差；Ni表示一批零件第i個(gè)零件參數(shù)的平均值，即期望值；L表示第i個(gè)零件（變量）的新值；Ri表示變量Xi對(duì)吃的搜索區(qū)域；Kd表示區(qū)域縮減系數(shù)，其值正數(shù)；r表示0, 1之間服從均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)；k表示隨機(jī)概率的分布系數(shù)，是個(gè)正奇數(shù)；zy偏離y0的絕對(duì)值；Py偏離

6、y0造成的損失；P 表示零件的成本；Qy偏離y0造成的損失和零件成本三、問(wèn)題的分析由于標(biāo)志產(chǎn)品性能的參數(shù)是由零件的參數(shù)所決定的。而零件的參數(shù)包括標(biāo)定值和容 差兩部分。如果將零件參數(shù)視為隨機(jī)變量，則標(biāo)定值代表期望值。那么，根據(jù)3仃原理，在其中的概率為：0.9974 。顯然，在此之外的概率為：0.0026 。相比之下，在其之外的可 以忽略不計(jì)。故此，在生產(chǎn)部門無(wú)特殊要求時(shí)，容差規(guī)定為均方差的3倍是合理的。由題意，我們還可以得到：容差與標(biāo)定值的相對(duì)值可以判斷容差的等級(jí)（進(jìn)而可以確定零件的 成本）,即：A等：答 01 B等：0.1 M等0.695 0.215，求得在原設(shè)計(jì)中y偏離y0造成的損失和零件成

7、本共283000 元。在編程進(jìn)行的隨機(jī)搜索法中，我們發(fā)現(xiàn) K和Kd的選擇對(duì)算法效率有顯著的影響。當(dāng) 靠近最優(yōu)點(diǎn)時(shí)，增大K和減小Kd的值，可使P廢的概率增大，經(jīng)過(guò)一定次數(shù)的迭代，取 K d=1,K=3.這樣我們的模型具有一定的穩(wěn)定性和合理性。由于我們所建模型時(shí)偽隨機(jī)數(shù)r的個(gè)數(shù)不同，導(dǎo)致在不同次數(shù)的計(jì)算中，r的值不 能一一對(duì)應(yīng)相等。r的個(gè)數(shù)越多，在我們所編程序中運(yùn)行次數(shù)越多，即步長(zhǎng)越小，搜索越 細(xì)，相對(duì)來(lái)說(shuō)計(jì)算結(jié)果就越精確，所以由于計(jì)算時(shí)間的限制我們的計(jì)算結(jié)果免不了會(huì)有誤 差存在。從以上兩個(gè)模型結(jié)果可以看出，計(jì)算結(jié)果相差無(wú)幾，這也許是由于隨機(jī)誤差的原因， 因?yàn)橹灰诋a(chǎn)品中增加一個(gè)廢品，那么總費(fèi)用將

8、增加9000元，而兩模型的結(jié)果相差不到兩萬(wàn)元，故此，這點(diǎn)誤差是可以容忍的。由于在模型二中，一些參數(shù)帶有主觀色彩，使得計(jì)算結(jié)果就不能確定其完全可靠，但 經(jīng)過(guò)模型一及計(jì)算機(jī)隨機(jī)發(fā)生器產(chǎn)生的結(jié)果檢驗(yàn)。而且，當(dāng)我們計(jì)算的循環(huán)次數(shù)越多，其 結(jié)果越穩(wěn)定。故此，模型二還是有一定的可信度。對(duì)于模型一，雖然比較嚴(yán)密，但是計(jì)算量特別大，我們?cè)O(shè)計(jì)的程序運(yùn)行將近兩個(gè)小時(shí)， 而模型二只需10分鐘就可以得出結(jié)果。至于利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica隨機(jī)發(fā)生器計(jì)算結(jié)果，只是對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證的一種方六、重新設(shè)計(jì)零件參數(shù)由給定的值計(jì)算的結(jié)果：y =17255總費(fèi)用的期望值313.4萬(wàn)元?？梢钥闯?，給定零件參數(shù)的標(biāo)定值，具組成產(chǎn)

9、品某參數(shù)在正品的范圍之外，且總費(fèi)用 之大，簡(jiǎn)直不符合實(shí)際。對(duì)此，我們需重新設(shè)計(jì)零件參數(shù)，使得總費(fèi)用的期望值降低。所 以，我們需對(duì)原零件的參數(shù)做逐步微調(diào)。首先，我們應(yīng)分析各零件的敏感度（零件參數(shù)對(duì) 產(chǎn)品參數(shù)的影響程度）。先把確定情況下產(chǎn)品參數(shù)對(duì)零件參數(shù)的偏導(dǎo)做一計(jì)算。顯然，偏 導(dǎo)越大，其敏感度就越大。也就是首先應(yīng)調(diào)整的參數(shù)。X1X2X3X4X5X6X7一階偏導(dǎo)24.5896-5.99106 11.6675-4.02809 -1.15039 -0.(53925-1.15039如果對(duì)每一個(gè)符合條件的值都給予計(jì)算，其計(jì)算量之大是不可估量的，也是不可能的故此，我們利用逐步規(guī)劃，然后上機(jī)運(yùn)行得出標(biāo)定值比較

10、好的結(jié)果為: 即新設(shè)計(jì)的標(biāo)定值：X1X2X3X4X5X6X70.10.30.09880.11.722661.60.75當(dāng)標(biāo)定值一定的情況下，零件的等級(jí)組合有 108種，下面我們就將一些組合列出, 并計(jì)算其總費(fèi)用值。為了使正品的概率增大來(lái)減小質(zhì)量損失，從而使總的損失減小。首 先我們?nèi)×慵燃?jí)較高的情況，得出結(jié)果如下表：X1X2X3X4X5X6X7等級(jí)BBABCCB0.0050.0150.0009880.0050.1722661.60.0375P 正=0.824317P 次=0.164209P 廢=0.0000651423E(費(fèi) 用)=1000 x (25+50+200+100+50+10+25+

11、1000 乂 0.164209+9000 乂 0.0000651423)=624795.278從上面計(jì)算的結(jié)果可以看出，總的費(fèi)用比給出的情況下減小了很多，我們?yōu)榱诉M(jìn)一步 減小損失，把零件的容差調(diào)大，再計(jì)算其總費(fèi)用如下表：X1X2X3X4X5X6X7等級(jí)BBBBCCB0.0050.0150.04940.0050.1722661.60.0375P 正=0.808299P 次=0.180162P 廢=0.000130192E(費(fèi)用)=1000 X (25+50+50+100+50+10+25+1000 X 0.180162+9000 X0.000130192 ) =491334上面計(jì)算結(jié)果表明：零件

12、的等級(jí)降低后，其總費(fèi)用顯著減小，故此，我們?cè)俅伟蚜慵?容差調(diào)大，再觀察其總費(fèi)用：X1X2X3X4X5X6X7等級(jí)BBBCCCB0.0050.0150.04940.010.1722661.60.0375P 正=0.813755P 次=0.186095P 廢=0.000150114E(費(fèi)用)=1000 x (25+50+50+50+50+10+25+1000 X 0.186095+9000 X 0.000150114) =447446此時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)費(fèi)用仍在減小，為了找到總損失最小的情況，繼續(xù)調(diào)大零件容差，計(jì)算結(jié)果如下：X1X2X3X4X5X6X7等級(jí)BCBCCCB0.0050.030.04940.

13、010.1722661.60.0375此時(shí)，計(jì)算得到的總費(fèi)用近似為 49萬(wàn)元。很明顯，這時(shí)的總費(fèi)用已經(jīng)增加了，所以, 在此之后的情況下，得出的總費(fèi)用越來(lái)越高，故此，其調(diào)整方案也就越算越差，在此，我 們就不一一列出。且對(duì)模型沒(méi)有幫助。為了進(jìn)一步尋求較優(yōu)情況，我們?cè)賹?duì)上面的情況下，作進(jìn)一步修改，由于X3的偏導(dǎo)較大（即敏感度比較大），使它的容差減小，再計(jì)算其總費(fèi)用值。X1X2X3X4X5X6X7等級(jí)BBBCCBB0.0050.0150.04940.010.1722660.80.0375P 次=0.169104P 廢=0.0000675851P 正=0.830828E（費(fèi)用）=1000 義（25+50

14、+50+50+50+25+25+1000 義 0.169104+9000 義 0.000067585） =444713很顯然，以上計(jì)算即為上面求得的標(biāo)定值下的最優(yōu)情況。為了繼續(xù)降低總費(fèi)用，我們提出另一種計(jì)算零件標(biāo)定值的方法。即：使各零件參數(shù)在標(biāo) 定值處偏導(dǎo)盡量小，且使偏導(dǎo)之和盡量小。再次計(jì)算得出的標(biāo)定值如下： X1X2X3X4X5X6X70.0812460.3746150.1232920.1250001.25043512.001930.935利用上次標(biāo)定值情況下零件的最優(yōu)組合，求出此標(biāo)定值下的最小費(fèi)用，其計(jì)算如下: X1X2X3X4X5X6X7等級(jí)BBBCCBB0.00406230.01873

15、0750.00616460.0125000.12504350.60009650.04675P 次=0.146382 P 廢=0.0000214919 P 正=0.853596E（費(fèi)用）=（25+50+50+50+50+25+25+1000X 0.146382+9000 X 0.0000214919）=421575 （元）經(jīng)過(guò)上述一系列的計(jì)算，我們得出了一個(gè)比較滿意的結(jié)果，把總費(fèi)用降低到421575元，比原設(shè)計(jì)的總費(fèi)用降低了 313.4-42.1575=271.2425 （萬(wàn)元）七、模型推廣對(duì)于任何一位設(shè)計(jì)工程師來(lái)說(shuō)，總是愿意找出一個(gè)最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案，使所設(shè)計(jì)的工程 設(shè)施或產(chǎn)品具有最好的使用性能和

16、最底的材料消耗與制造成本。而本模型的建立也正是 為解決這種問(wèn)題，所以說(shuō)本模型具有廣泛的普遍性和適用性以及較高的推廣價(jià)值。就本題 來(lái)說(shuō)：粒子分離器某參數(shù)由7個(gè)零件的參數(shù)決定，但在現(xiàn)實(shí)生活中其影響參數(shù)的因素是不 定的，然而無(wú)論影響參數(shù)的因子有多少，我們都通過(guò)模型給出了一個(gè)比較滿意的方案。而 且在現(xiàn)實(shí)的工廠生產(chǎn)中，影響整品的因素N會(huì)非常的多，這樣如何利用比較合理的方法解 決這樣的問(wèn)題就顯得尤為重要，這也正是本模型的意義所在。也就是說(shuō)只要改變其中的部 分系數(shù)本模型就可以適用機(jī)械化工業(yè)部門的生產(chǎn)。另外，這種隨機(jī)搜索法沒(méi)有固定的移動(dòng)模式，而是在可行域內(nèi)，適應(yīng)目標(biāo)函數(shù)的下降 性質(zhì)，向最優(yōu)點(diǎn)作隨機(jī)移動(dòng)并靠近它

17、。八、模型評(píng)價(jià)在本模型中我們首先用網(wǎng)格法，由于所取每個(gè)變量有不止一個(gè)離散點(diǎn)，借用計(jì)算機(jī)編 程進(jìn)行計(jì)算，若計(jì)算次數(shù)較少，則在很短的時(shí)間內(nèi)就可運(yùn)行完畢。但無(wú)法滿足擬合的精度 要求若計(jì)算次數(shù)較大，也就是說(shuō)將其進(jìn)行較細(xì)的細(xì)化，例如 1010,據(jù)估計(jì)需要將近300 小時(shí)，那么我們這三天時(shí)間是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。所以這種計(jì)算方案是不太合理的。而隨 機(jī)搜索法恰恰避免了網(wǎng)格法的運(yùn)行時(shí)間長(zhǎng)的缺點(diǎn)，并且它的合理性較大，總費(fèi)用也較少。 然而它有個(gè)缺點(diǎn)是K值較難精確確定，在模型里，我們是用試算法確定的，相對(duì)來(lái)說(shuō)也有 一定的誤差，但誤差較小，在這里可忽略不記。九、模型改進(jìn)對(duì)于第一個(gè)模型，我們是非常易于理解的，它本質(zhì)就是要計(jì)算滿

18、足要求的點(diǎn)落在正 品、次品和廢品的概率，從而確定費(fèi)用的最小值。但是這種思想實(shí)現(xiàn)卻非常的麻煩，因?yàn)?對(duì)于題目所給定的數(shù)據(jù)，我們要解決的是一個(gè)七維的函數(shù)，我們首先要將其細(xì)化，將其分 成空間的n個(gè)小的立方體，近似的依它中點(diǎn)落在的某個(gè)區(qū)間的概率來(lái)確定出現(xiàn)正品、次品 和廢品的概率，計(jì)算過(guò)程中我們要計(jì)算的是一個(gè)七重的積分，即使利用計(jì)算機(jī)編程也要花 費(fèi)大量的時(shí)間和精力。而對(duì)于模型二，卻可以完全避免這種情況，因?yàn)槲覀儤?gòu)造的偽隨機(jī) 函數(shù)是非常簡(jiǎn)單的，即使通過(guò)改變步長(zhǎng)，也不會(huì)帶來(lái)太大的計(jì)算麻煩，雖然這個(gè)函數(shù)是我們隨機(jī)構(gòu)造的偽的隨機(jī)函數(shù)，但通過(guò)我們的計(jì)算，發(fā)現(xiàn)它的計(jì)算結(jié)果完全呈正態(tài)分布，而且通過(guò)計(jì)算所得的結(jié)果與用原

19、始方法計(jì)算的結(jié)果也大致相同，同時(shí)還可以比較合理的檢驗(yàn)?zāi)骋唤M解的合理性。這充分說(shuō)明這種算法是非常合理的，但是由于它中間伴隨有人為的模糊控制的因素，使它不可能十分的精確，所以我們認(rèn)為可以通過(guò)第一個(gè)模型來(lái)確定解的大致位置以盡可能的縮小解的范圍，再用第一個(gè)模型解出一個(gè)比較精確的解，并代回第二個(gè)模型檢驗(yàn)。這樣可以達(dá)到減化計(jì)算的目的。十、模型優(yōu)缺點(diǎn)模型二隨機(jī)搜索法便于實(shí)現(xiàn)程序和實(shí)際使用，在較大的范圍內(nèi)模擬隨機(jī)進(jìn)行，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但精確性不高。模型一網(wǎng)格法通俗易懂，而且精確度高，但由于費(fèi)時(shí)費(fèi)工所以推廣價(jià) 值不大。參考文獻(xiàn)、北京鋼鐵學(xué)院機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法冶金工業(yè)出版社。、中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)主辦數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)。、 .周概容

20、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)高等教育出版社。4、劉惟信孟嗣宗機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)清化大學(xué)出版社附錄一 . 概率的計(jì)算程序清單 TOC o 1-5 h z 輸入?yún)?shù)說(shuō)明:duixi的標(biāo)定值;dfixi對(duì)應(yīng)的均方差;ni 區(qū)間的分割數(shù);(i=1,2,7)源程序 : s7du1_,df1_,n1_,du2_,df2_,n2_,du3_,df3_,n3_,du4_,df4_,n4_, du5_,df5_,n5_,du6_,df6_,n6_,du7_,df7_,n7_:=Module sc=0.0,xx1,s1=6.0*df1/n1,xx2,s2=6.0*df2/n2,xx3,s3=6.0*df3/n3, sf=0.0,

21、xx4,s4=6.0*df4/n4,xx5,s5=6.0*df5/n5,xx6,s6=6.0*df6/n6, sz=0.0,i1=0,i2=0,i3=0,xx7,s7=6.0*df7/n7,ddf,xc2,xc3,xc4,xc5, xc6,xc7,fyd,ddf=(df1*df2*df3*df4*df5*df6*df7);fyx1_,x2_,x3_,x4_,x5_,x6_,x7_:=174.42*(x1/x5)*(x3/(x2-x1)A0.85*Sqrt (1-2.62(1-0.36(x4/x2)A(-0.56)A1.5* (x4/x2)A1.16)/(x6*x7);fsx1_,x2_,x3_

22、,x4_,x5_,x6_,x7_:=0.0016083*s1*s2*s3*s4*s5*s6*s7*Exp(-0.5)*( (x1-du1)/df1)A2+(x2-du2)/df2)A2+(x3-du3)/df3)A2+ (x4-du4)/df4)A2+(x5-du5)/df5)A2+(x6-du6)/df6)A2+ (x7-du7)/df7)A2)/df;xx1=du1-3*df1+s1/2;xc2=du2-3*df2+s2/2;xc3=du3-3*df3+s3/2;xc4=du4-3*df4+s4/2;xc5=du5-3*df5+s5/2;xc6=du6-3*df6+s6/2;xc7=du7

23、-3*df7+s7/2;WhileAbsxx1-du13*df1,xx2=xc2;WhileAbsxx2-du23*df2,xx3=xc3;WhileAbsxx3-du33*df3,xx4=xc4;WhileAbsxx4-du43*df4,xx5=xc5;WhileAbsxx5-du53*df5,xx6=xc6;WhileAbsxx6-du63*df6,xx7=xc7;WhileAbsxx7-du73*df7,fyd=Absfyxx1,xx2,xx3,xx4, xx5,xx6,xx7-1.5;If0.1fyd=0.3, sf=sf+fsxx1,xx2,xx3,xx4, xx5,xx6,xx7;

24、 Iffyd=0.1,sz=sz+fsxx1,xx2,xx3,xx4,xx5,xx6,xx7;xx7=xx7+s7;xx6=xx6+s6;xx5=xx5+s5;xx4=xx4+s4;xx3=xx3+s3;i3=i3+1;Printi1, ,i2, ,i3;xx2=xx2+s2;i2=i2+1;xx1=xx1+s1;i1=i1+1;PrintSc= ,sc,Sf=,sf, Sz= ,sz運(yùn)行結(jié)果:Mathematica 2.0 for MS-DOS 386/7Copyright 1988-91 Wolfram Research, Inc.In1:= s7.mIn2:= s70.1,0.05*0.

25、1/3,5,0.3,0.05*0.3/3,5,0.0998,0.01*0.0998/3,5, 0.1,0.05*0.1/3,5,1.72266,0.1*1.72266/3,5,16,0.1*16/3,20, 0.75,0.05*0.75/3,50 0 10 0 20 0 30 0 40 0 50 1 64 23 1204 24 1214 24 1224 24 1234 24 1244 24 125Sc= 0.164209 Sf= 0.0000651423 Sz= 0.824317In3:= 1000(310+0.164209*1000+0.0000651423*9000)Out3= 474795.附錄 二s1 = 0: s