常微分方程初值問題的數(shù)值解法

1、常微分方程初值問題的數(shù)值解法第1頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三考慮一階常微分方程的初值問題 /* Initial-Value Problem */:只要 f (x, y) 在a, b R1 上連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足 Lipschitz 條件，即存在與 x, y 無關(guān)的常數(shù) L 使對(duì)任意定義在 a, b 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，則上述IVP存在唯一解。（1）第2頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三對(duì)于問題(1),要求它的數(shù)值解第3頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三-(1)從(1)的表達(dá)式可以看出,求它的數(shù)值解的

2、關(guān)鍵在于而數(shù)值微分或數(shù)值積分問題我們都已經(jīng)學(xué)習(xí)過第4頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三要計(jì)算出解函數(shù) y(x) 在一系列節(jié)點(diǎn) a = x0 x1 xn= b 處的近似值節(jié)點(diǎn)間距 為步長，通常采用等距節(jié)點(diǎn)，即取 hi = h (常數(shù))。第5頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三1 歐拉方法 /* Eulers Method */ 歐拉公式：x0 x1向前差商近似導(dǎo)數(shù)記為亦稱為歐拉折線法 /* Eulers polygonal arc method*/ 第6頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三定義在假設(shè) yi = y(xi)，即第 i 步

3、計(jì)算是精確的前提下，考慮的截?cái)嗾`差 Ri = y(xi+1) yi+1 稱為局部截?cái)嗾`差 /* local truncation error */。定義若某算法的局部截?cái)嗾`差為O(hp+1)，則稱該算法有p 階精度。 歐拉法的局部截?cái)嗾`差：歐拉法具有 1 階精度。Ri 的主項(xiàng)/* leading term */第7頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三例1.解:由前進(jìn)Euler公式第8頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三得依此類推,有 0 1.0000 0.1000 1.1000 0.2000 1.1918 0.3000 1.2774 0.4000 1.3

4、582 0.5000 1.4351 0.6000 1.5090 0.7000 1.5803 0.8000 1.6498 0.9000 1.7178 1.0000 1.7848第9頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三 歐拉公式的改進(jìn)： 隱式歐拉法 /* implicit Euler method */向后差商近似導(dǎo)數(shù)x0 x1)(,()(1101xyxfhyxy+)1,.,0(),(111-=+=+niyxfhyyiiii第10頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三由于未知數(shù) yi+1 同時(shí)出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為隱式 /* implicit

5、*/ 歐拉公式，而前者稱為顯式 /* explicit */ 歐拉公式。一般先用顯式計(jì)算一個(gè)初值，再迭代求解。 隱式歐拉法的局部截?cái)嗾`差：即隱式歐拉公式具有 1 階精度。 Hey! Isnt the leading term of the local truncation error of Eulers method ? Seems that we can make a good use of it 第11頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三 梯形公式 /* trapezoid formula */ 顯、隱式兩種算法的平均注：的確有局部截?cái)嗾`差 ， 即梯形公式具有2 階精度

6、，比歐拉方法有了進(jìn)步。但注意到該公式是隱式公式，計(jì)算時(shí)不得不用到迭代法，其迭代收斂性與歐拉公式相似。第12頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三方 法顯式歐拉隱式歐拉梯形公式簡單精度低穩(wěn)定性最好精度低, 計(jì)算量大精度提高計(jì)算量大 Cant you give me a formula with all the advantages yet without any of the disadvantages? Do you think it possible? Well, call me greedy OK, lets make it possible.第13頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三 改進(jìn)歐拉法 /* modified Eulers method */Step 1: 先用顯式歐拉公式作預(yù)測(cè)，算出),(1iiiiyxfhyy+=+Step 2: 再將 代入隱式梯形公式的右邊作校正，得到1+iy),(),(2111+=iiiiiiyxfyxfhyy注：此法亦稱為預(yù)測(cè)-校正法 /* predictor-corrector met