福建省廈門市普通高中2023學年高三下第一次測試數(shù)學試題（含解析）

1、2023學年高考數(shù)學模擬測試卷注意事項:1答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時請按要求用筆。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1如圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象，為了得到這個函數(shù)的圖象，只需將的圖象上的所有的點( )A向左平移個長度單位，再把所得各點的橫

2、坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變B向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變C向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變D向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變2如圖所示，已知雙曲線的右焦點為，雙曲線的右支上一點，它關(guān)于原點的對稱點為，滿足，且，則雙曲線的離心率是（ ）.ABCD3已知點為雙曲線的右焦點，直線與雙曲線交于A，B兩點，若，則的面積為（ ）ABCD4某四棱錐的三視圖如圖所示，記為此棱錐所有棱的長度的集合，則（ ）.A，且B，且C，且D，且5已知直線，則“”是“”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充

3、分也不必要條件6已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（ ）ABCD7已知集合則（ ）ABCD8已知符號函數(shù)sgnxf（x）是定義在R上的減函數(shù)，g（x）f（x）f（ax）（a1），則（ ）Asgng（x）sgn xBsgng（x）sgnxCsgng（x）sgnf（x）Dsgng（x）sgnf（x）9已知直線：（）與拋物線：交于（坐標原點），兩點，直線：與拋物線交于，兩點.若，則實數(shù)的值為（ ）ABCD10已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為（ ）ABCD11數(shù)列的通項公式為則“”是“為遞增數(shù)列”的（ ）條件A必要而不充分B充要C充分而不必要D即不充分也不必要12已知等差數(shù)列滿足，公差，且成等比數(shù)列，則A1B2

4、C3D4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13九章算術(shù)第七章“盈不足”中第一題：“今有共買物，人出八，盈三錢；人出七，不足四，問人數(shù)物價各幾何？”借用我們現(xiàn)在的說法可以表述為：有幾個人合買一件物品，每人出8元，則付完錢后還多3元；若每人出7元，則還差4元才夠付款.問他們的人數(shù)和物品價格？答：一共有_人；所合買的物品價格為_元14函數(shù)的極大值為_.15已知橢圓與雙曲線（,）有相同的焦點,其左、右焦點分別為、,若橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為,且,則雙曲線的離心率為_16過直線上一動點向圓引兩條切線MA，MB，切點為A，B，若，則四邊形MACB的最小面積的概率為_三、解答題：共70

5、分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）中國古代數(shù)學經(jīng)典數(shù)書九章中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽馬中，底面ABCD是矩形.平面，以的中點O為球心，AC為直徑的球面交PD于M（異于點D），交PC于N（異于點C）.（1）證明：平面，并判斷四面體MCDA是否是鱉臑，若是，寫出它每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請說明理由；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18（12分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；（2）若，問函數(shù)有無極值點？若有，請求出極值點的

6、個數(shù)；若沒有，請說明理由19（12分）某校共有學生2000人，其中男生900人，女生1100人，為了調(diào)查該校學生每周平均體育鍛煉時間，采用分層抽樣的方法收集該校100名學生每周平均體育鍛煉時間（單位：小時）.（1）應抽查男生與女生各多少人？（2）根據(jù)收集100人的樣本數(shù)據(jù)，得到學生每周平均體育鍛煉時間的頻率分布表：時間（小時）0,1(1,2(2,3(3,4(4,5(5,6頻率0.050.200.300.250.150.05若在樣本數(shù)據(jù)中有38名男學生平均每周課外體育鍛煉時間超過2小時，請完成每周平均體育鍛煉時間與性別的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育鍛煉時間與性別有

7、關(guān)”？男生女生總計每周平均體育鍛煉時間不超過2小時每周平均體育鍛煉時間超過2小時總計附：K2.P（K2k0）0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87920（12分）已知函數(shù).（1）若在上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍：（2）若，記的兩個極值點為，記的最大值與最小值分別為M，m，求的值.21（12分）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，在銳角中，E是邊PD上一點，且.（1）求證：平面ACE；（2）當PA的長為何值時，AC與平面PCD所成的角為？22（10分）橢圓：的離心率為，點 為橢圓上的一點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若斜率為的直線過點，且與橢圓交于兩點，

8、為橢圓的下頂點，求證：對于任意的實數(shù)，直線的斜率之積為定值.2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【答案解析】由函數(shù)的最大值求出，根據(jù)周期求出，由五點畫法中的點坐標求出，進而求出的解析式，與對比結(jié)合坐標變換關(guān)系，即可求出結(jié)論.【題目詳解】由圖可知，又，又，為了得到這個函數(shù)的圖象，只需將的圖象上的所有向左平移個長度單位，得到的圖象，再將的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變）即可.故選:A【答案點睛】本題考查函數(shù)的圖象求解析式，考查函數(shù)圖象間的變換關(guān)系，屬于中檔題.2、C【答案解

9、析】易得，又，平方計算即可得到答案.【題目詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點為E，易得為平行四邊形，所以，又，故，所以，即，故離心率為.故選：C.【答案點睛】本題考查求雙曲線離心率的問題，關(guān)鍵是建立的方程或不等關(guān)系，是一道中檔題.3、D【答案解析】設(shè)雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，設(shè)，得，求出的值，即得解.【題目詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，所以，.設(shè)，則，又.故，所以.故選：D【答案點睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.4、D【答案解析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體

10、，根據(jù)三視圖的長度，進一步求出個各棱長.【題目詳解】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為四棱錐體，如圖所示：所以：，.故選：D.【答案點睛】本題考查三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，主要考查運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【答案解析】先得出兩直線平行的充要條件，根據(jù)小范圍可推導出大范圍，可得到答案.【題目詳解】直線，的充要條件是，當a=2時，化簡后發(fā)現(xiàn)兩直線是重合的，故舍去，最終a=-1.因此得到“”是“”的充分必要條件.故答案為C.【答案點睛】判斷充要條件的方法是：若pq為真命題且qp為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；若pq為假命題且qp為真命題，則命題p是命題q的

11、必要不充分條件；若pq為真命題且qp為真命題，則命題p是命題q的充要條件；若pq為假命題且qp為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系6、B【答案解析】對分類討論，代入解析式求出，解不等式，即可求解.【題目詳解】函數(shù)，由得或解得.故選:B.【答案點睛】本題考查利用分段函數(shù)性質(zhì)解不等式，屬于基礎(chǔ)題.7、B【答案解析】解對數(shù)不等式可得集合A，由交集運算即可求解.【題目詳解】集合解得由集合交集運算可得，故選：B.【答案點睛】本題考查了集合交集的簡單運算，對數(shù)不等式解法，屬于基礎(chǔ)題.8、A【答案解析

12、】根據(jù)符號函數(shù)的解析式，結(jié)合f（x）的單調(diào)性分析即可得解.【題目詳解】根據(jù)題意，g（x）f（x）f（ax），而f（x）是R上的減函數(shù)，當x0時，xax，則有f（x）f（ax），則g（x）f（x）f（ax）0，此時sgng （ x）1，當x0時，xax，則有f（x）f（ax），則g（x）f（x）f（ax）0，此時sgng （ x）0，當x0時，xax，則有f（x）f（ax），則g（x）f（x）f（ax）0，此時sgng （ x）1，綜合有：sgng （ x）sgn（x）；故選：A【答案點睛】此題考查函數(shù)新定義問題，涉及函數(shù)單調(diào)性辨析，關(guān)鍵在于讀懂定義，根據(jù)自變量的取值范圍分類討論.9、D【答案解

13、析】設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去、列出韋達定理，再由直線與拋物線的交點求出點坐標，最后根據(jù)，得到方程，即可求出參數(shù)的值；【題目詳解】解：設(shè)，由，得，解得或，.又由，得，或，又，代入解得.故選：D【答案點睛】本題考查直線與拋物線的綜合應用，弦長公式的應用，屬于中檔題.10、A【答案解析】用排除法，通過函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個選項進行判斷，找出不符合函數(shù)解析式的圖像，最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【題目詳解】設(shè)，由于，排除B選項；由于，所以，排除C選項；由于當時，排除D選項.故A選項正確.故選：A【答案點睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬于中檔題.11、A【答案解析】根據(jù)遞增數(shù)列的特點可知，解得，由此得到若

14、是遞增數(shù)列，則，根據(jù)推出關(guān)系可確定結(jié)果.【題目詳解】若“是遞增數(shù)列”，則，即，化簡得：，又，則是遞增數(shù)列，是遞增數(shù)列，“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件故選：.【答案點睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷，涉及到根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍，屬于基礎(chǔ)題.12、D【答案解析】先用公差表示出，結(jié)合等比數(shù)列求出.【題目詳解】,因為成等比數(shù)列，所以，解得.【答案點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式.屬于簡單題，化歸基本量，尋求等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7 53 【答案解析】根據(jù)物品價格不變，可設(shè)共有x人，列出方程求解即可【題目詳解】設(shè)共有人，由題意知

15、 ，解得，可知商品價格為53元.即共有7人，商品價格為53元.【答案點睛】本題主要考查了數(shù)學文化及一元一次方程的應用，屬于中檔題.14、【答案解析】對函數(shù)求導，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可容易求得函數(shù)的極大值.【題目詳解】依題意，得.所以當時，；當時，.所以當時，函數(shù)有極大值.故答案為：.【答案點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查運算求解能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.15、【答案解析】先根據(jù)橢圓得出焦距,結(jié)合橢圓的定義求出,結(jié)合雙曲線的定義求出雙曲線的實半軸,最后利用離心率的公式求出離心率即可.【題目詳解】解: 因為橢圓,則焦點為,又因為橢圓與雙曲線（,）有相同的焦點,橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)

16、的交點為,且,在橢圓中: 由橢圓的定義: 在雙曲線中: ,所以雙曲線的實軸長為: ,實半軸為則雙曲線的離心率為: .故答案為: 【答案點睛】本題主要考查橢圓與雙曲線的定義,考查離心率的求解,利用定義解決綜合問題.16、.【答案解析】先求圓的半徑, 四邊形的最小面積,轉(zhuǎn)化為的最小值為，求出切線長的最小值,再求的距離也就是圓心到直線的距離,可解得的取值范圍,利用幾何概型即可求得概率【題目詳解】由圓的方程得，所以圓心為，半徑為，四邊形的面積，若四邊形的最小面積，所以的最小值為，而，即的最小值，此時最小為圓心到直線的距離，此時，因為，所以，所以的概率為【答案點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,及與長度有

17、關(guān)的幾何概型,考查了學生分析問題的能力,難度一般.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，是，；（2）【答案解析】（1）根據(jù)是球的直徑，則，又平面， 得到，再由線面垂直的判定定理得到平面，進而得到，再利用線面垂直的判定定理得到平面.（2）以A為原點，所在直線為x，y，z軸建立直角坐標系，設(shè)，由，解得，得到，從而得到，然后求得平面的一個法向量，代入公式求解.【題目詳解】（1）因為是球的直徑，則，又平面， ，.平面，平面.根據(jù)證明可知，四面體是鱉臑. 它的每個面的直角分別是，. （2）如圖，以A為原點，所在直線為x，y，z軸建立直角坐標系，則，. M為

18、中點，從而.所以，設(shè)，則. 由，得.由得，即.所以. 設(shè)平面的一個法向量為. 由.取，得到.記與平面所成角為，則.所以直線與平面所成的角的正弦值為.【答案點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理和線面角的向量求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.18、（1） （2）沒有，理由見解析【答案解析】（1）求導，研究函數(shù)在x=0處的導數(shù)，等于切線斜率，即得解；（2）對f(x)求導，構(gòu)造，可證得，得到，即得解【題目詳解】（1）由題意得，曲線在點處的切線與直線平行，切線的斜率為，解得（2）當時，設(shè)，則，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又函數(shù)，故恒成立，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)

19、不存在極值點【答案點睛】本題考查了導數(shù)在切線問題和函數(shù)極值問題中的應用，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.19、（1）男生人數(shù)為人，女生人數(shù)55人.（2）列聯(lián)表答案見解析，有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關(guān).【答案解析】（1）求出男女比例，按比例分配即可；（2）根據(jù)題意結(jié)合頻率分布表，先求出二聯(lián)表中數(shù)值，再結(jié)合公式計算，利用表格數(shù)據(jù)對比判斷即可【題目詳解】（1）因為男生人數(shù)：女生人數(shù)900：11009：11，所以男生人數(shù)為，女生人數(shù)1004555人，（2）由頻率頻率直方圖可知學生每周平均體育鍛煉時間超過2小時的人數(shù)為：（10.3+10.25+1

20、0.15+10.05）10075人，每周平均體育鍛煉時間超過2小時的女生人數(shù)為37人，聯(lián)表如下：男生女生總計每周平均體育鍛煉時間不超過2小時71825每周平均體育鍛煉時間超過2小時383775總計4555100因為3.8923.841，所以有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關(guān).【答案點睛】本題考查分層抽樣，獨立性檢驗，熟記公式，正確計算是關(guān)鍵，屬于中檔題.20、（1）；（2）【答案解析】（1）求導.根據(jù)單調(diào)，轉(zhuǎn)化為對恒成立求解（2）由（1）知，是的兩個根，不妨設(shè)，令. 根據(jù)，確定，將轉(zhuǎn)化為. 令，用導數(shù)法研究其單調(diào)性求最值.【題目詳解】（1）的定義域為，.因為單調(diào)，所以對恒成立，所以，恒成立，因