數(shù)學(xué)建?；靖拍钫n件

1、 數(shù)學(xué)建模 實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)奧妙不是明擺在那里等著你去解決，而是暗藏在深處等著你去發(fā)現(xiàn)，終身的受益和無窮的樂趣是屬于你的！11999年9月 我校由徐州煤炭建筑工程學(xué)校更名為 徐州建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院2000年9月 我校首次參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（?？平M） 獲得江蘇賽區(qū)一等獎一個（兩個隊參賽）2001年9月 獲得全國二等獎一個（四個隊參賽） 該隊獲得獎金3000元 2 第一章 數(shù)學(xué)模型基本概念1 引言一、數(shù)學(xué)建模課程的重要性 1、科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)模型越來越起到重要作用； 2、數(shù)學(xué)建模課程建設(shè)在全國各大專院校蓬勃開展； 3、數(shù)學(xué)建模教育有利于學(xué)生解決實(shí)際問題的綜合能力的提高； 4、我們身邊許

2、多實(shí)際問題看起來與數(shù)學(xué)無關(guān)，但通過分析都可用簡捷數(shù)學(xué)方法完美的解決。3幾個簡單的實(shí)際問題。 問題 已知甲桶中放有10000個藍(lán)色的玻璃球，乙桶中放有10000個紅色的玻璃球。任取甲桶中100個球放入乙桶中，混合后再任取乙桶中100個球放入甲桶中，如此重復(fù)3次，問甲桶中的紅球多還是乙桶中的藍(lán)球多 怎樣用數(shù)學(xué)方法解決問題1？4解：設(shè)甲桶中有x個紅球; 乙桶中有y個藍(lán)球 因?yàn)閷λ{(lán)球來說，甲桶中的藍(lán)球數(shù)加上乙桶中的藍(lán)球數(shù)等于10000,所以 10000-x+y=10000 x=y 故甲桶中紅球與乙桶中藍(lán)球一樣多。5解法一： 將兩天看作一天，一人兩天的運(yùn)動看作一天兩人同時分別從山下和山頂沿同一路徑相反運(yùn)

3、動，因?yàn)閮扇送瑫r出發(fā)，同時到達(dá)目的地，又沿同一路徑反向運(yùn)動，所以必在中間某一時刻t兩人相遇，這說明某人在兩天中的同一時刻經(jīng)過路途中的同一地點(diǎn)。怎樣用數(shù)學(xué)方法解決？7解法二： 以時間t為橫坐標(biāo)，以沿上山路線從山下旅店到山頂?shù)穆烦蘹為縱坐標(biāo)，從山下到山頂?shù)目偮烦虨閐 ； 8 在坐標(biāo)系中分別作曲線x=F(t)及x=G(t)，如下圖：10 嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證： 令 H(t)=F(t)-G(t) 由F(t)、G(t)在區(qū)間8,17上連續(xù)，所以H(t)在區(qū)間8,17上連續(xù)， 又 H(8)=F(8)-G(8)=0-d=-d0 11 由零點(diǎn)定理知在區(qū)間8,17內(nèi)至少存在一點(diǎn)使即這人兩天在同一時刻經(jīng)過路途中的同一地

4、點(diǎn)。 這說明在早8點(diǎn)至晚5點(diǎn)之間存在某一時刻 使得路程相等， 12 問題 在一摩天大樓里有三根電線從底層控制室通向頂樓，但由于三根電線各處的轉(zhuǎn)彎不同而有長短，因此三根電線的長度均未知?，F(xiàn)工人師傅為了在頂樓安裝電氣設(shè)備，需要知道這三根電線的電阻。如何測量出這三根電線的電阻？電阻是怎樣測量的？14 方法不妨用a、b、c及a*、b*、c*分別表示三根電線的底端和頂端，并用aa*、bb*、cc*分別表示三根電線, 假設(shè)x,y,z分別是aa*,bb*,cc*的電阻，這是三個未知數(shù)。電表不能直接測量出這三個未知數(shù)。然而我們可以把a(bǔ)*和b*連接起來，在a和b處測量得電阻x+y為l；然后將b*和c*聯(lián)接起來，

5、在b和c處測量得y+z為m，聯(lián)接c*和a*可測得x+z為n。15說明： 此問題的難點(diǎn)也是可貴之處是用方程“觀點(diǎn)”、“立場”去分析，用活的數(shù)學(xué)思想使實(shí)際問題轉(zhuǎn)到新創(chuàng)設(shè)的情景中去。17問題 氣象預(yù)報問題 問題：在氣象臺A的正西方向300km處有一臺風(fēng)中心，它以40km/h的速度向東北方向移動；根據(jù)臺風(fēng)的強(qiáng)度，在距其中心250km以內(nèi)的地方將受到影響，問多長時間后氣象臺所在地區(qū)將遭受臺風(fēng)的影響？持續(xù)時間多長？18 現(xiàn)此問題是某氣象臺所遇到的實(shí)際問題，為了搞好氣象預(yù)報，建立解析幾何模型加以探討。19 以氣象臺A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)臺風(fēng)中心為B,如下圖:20由題意： B點(diǎn)的坐標(biāo)為(-300,

6、0)，單位為km，臺風(fēng)中心的運(yùn)動軌跡為直線BC,這里的CBA= ； 當(dāng)臺風(fēng)中心在運(yùn)動過程中處于以A為園心半徑為250km的園內(nèi)（即MN上）時，氣象臺A所在地區(qū)將遭受臺風(fēng)的影響。21 因?yàn)閳A的方程為 直線BC的方程為其中參數(shù)t為時間（單位為h）。當(dāng)臺風(fēng)中心處于園內(nèi)時，有解得 2.0t8.6 （精確到0.1）2224 幾道國際、全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽試題問題1：鎖具裝箱 某廠生產(chǎn)一種彈子鎖具，每個鎖具的鑰匙有5個槽，每個槽的高度從1，2，3，4，5，66個數(shù)（單位略）中任取一數(shù)。由于工藝及其它原因，制造鎖具時對5個槽的高度還有兩個限制：至少有3個不同的數(shù)，相鄰兩槽的高度之差不能為5。滿足以上條件制

7、造出來的所有互不相同的鎖具稱為一批。25 原來，銷售部門在一批鎖具中隨意地取每60 個裝一箱出售，團(tuán)體顧客往往購買幾箱到幾十箱，他們抱怨購的鎖具會出現(xiàn)互開的情形。現(xiàn)聘你為顧問，回答并解決以下的問題：1）每一批鎖具有多少個，裝多少箱。 2）為銷售部門提出一種方案，包括如何裝箱，（仍是60個鎖具一箱），如何給箱子以標(biāo)志，出售時如何利用這些標(biāo)志，使團(tuán)體顧客不再或減少抱怨。27 3）采取你提出的方案，團(tuán)體顧客的購買量不超過多少箱，就可以保證一定不會出現(xiàn)互開的情形。 4）按照原來的裝箱辦法，如何定量地衡量團(tuán)體顧客抱怨互開的程度（試對購買一、二箱者給出具體結(jié)果）。28問題2：排名問題 一些大學(xué)校長為難的是

8、，具有優(yōu)秀班級（簡稱ABC）大學(xué)中各學(xué)生的給分情況。通常，ABC班級中學(xué)生分?jǐn)?shù)都給得高（現(xiàn)給定平均分?jǐn)?shù)為），因此很難區(qū)分出優(yōu)秀學(xué)生和中等學(xué)生。一項(xiàng)豐厚的獎學(xué)金只能獎給大學(xué)中總?cè)藬?shù)的10%，并且是最優(yōu)秀的學(xué)生。所以需要班級學(xué)生總排名情況。29 院長認(rèn)為應(yīng)將各班的每一學(xué)生同本班其它學(xué)生進(jìn)行比較，并通過比較結(jié)果而得出最終排名情況。比如，如果一個班中所有學(xué)生均為A，則得A的同學(xué)只能列為“一般”，而如果一個班中只有一個學(xué)生得A，則這個學(xué)生被列為“超出一般”，將多個班級所得的信息綜合起來，則有可能將所有同學(xué)以百分?jǐn)?shù)的形式列出（一等10%，其次10%，等等）。30問題：1假設(shè)成績以A+，A - ，B+，B

9、- ，的等級形式給出，院長的設(shè)想能否實(shí)現(xiàn)？2假設(shè)成績以A，B，C的等級形式給出，院長的設(shè)想能否實(shí)現(xiàn)？3能否有其他排名的方法？4類似問題是如果只有一個班，則你的算法是否穩(wěn)定？數(shù)據(jù)集：各組應(yīng)設(shè)計出數(shù)據(jù)集來檢驗(yàn)和證明其算法，并且要給出算法適用范圍？312 數(shù)學(xué)模型基本概念一、模型什么叫模型？ 模型就是對現(xiàn)實(shí)原型的一種抽象或模仿。 模型既反映原型，又不等于原型，或者是原型的一種近似。 如地球這個模型，就是對地球這一原型的本質(zhì)和特征的一種近似和集中反映； 一個人的塑像就是這個人的一個模型。32 模型的含義非常廣泛，如自然科學(xué)和工程技術(shù)中的一切概念、公式、定律、理論，社會科學(xué)中的學(xué)說、原理、政策，甚至小說

10、、美術(shù)、表格、語言等都是某種現(xiàn)實(shí)原型的一種模型。 如：牛頓第二定律 就是“物體在力作用下，其運(yùn)動規(guī)律”這個原型的一種模型（數(shù)學(xué)模型）。 “吃飯”這句話就是人往嘴里送東西到達(dá)充饑的動作的抽象，如此等等都可看作是模型。33二、數(shù)學(xué)模型的幾個簡單例子341、冷卻問題 將溫度為T。=150的物體放在溫度為24的空氣中冷卻，經(jīng)10分鐘后，物體溫度降為T=100，問t=20分鐘時，物體的溫度是多少？35牛頓冷卻定律： 物體在空氣中的冷卻速度與該物體溫度和空氣溫度之差成正比36解：設(shè)物體的溫度T隨時間t的變化規(guī)律為T=T(t)則由冷卻定律及條件可得：其中K 0為比例常數(shù)，負(fù)號表示溫度是下降的，這就是所要建立

11、的數(shù)學(xué)模型。37 由于這個模型是一階線性微分方程，很容易求出其特解為由T(10)=100 ,可定出K0.05當(dāng)t=20時38 思考題： 估計兇殺的作案時間 某天晚上11:00時，在一住宅內(nèi)發(fā)現(xiàn)一受害者的尸體，法醫(yī)于11:35分趕到現(xiàn)場，立刻測量死者的體溫為30.8，一小時后再次測量體溫為29.1，法醫(yī)還注意到當(dāng)時室溫為28，試估計受害者的死亡時間。392、七橋問題18世紀(jì)著名古典數(shù)學(xué)問題之一。在哥尼斯堡的一個公園里，有七座橋?qū)⑵绽赘駹柡又袃蓚€島及島與河岸連接起來 1).能否不重復(fù)的一次走完七座橋？2).能否不重復(fù)的一次走完七座橋又回到原地？40歐拉方法島A、B和陸地C、D無非都是橋的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，因

12、此不妨把A、B、C、D看成4個點(diǎn)，把七橋看成聯(lián)結(jié)這些點(diǎn)的七條線，如圖。 41 這樣當(dāng)然不改變問題的實(shí)質(zhì)，于是一人能否不重復(fù)一次通過七座橋的問題等價于其網(wǎng)絡(luò)圖能否一筆畫成的問題（這是思維的飛躍），此網(wǎng)絡(luò)圖就是七橋問題的數(shù)學(xué)模型。 歐拉證明了七橋問題是無解的，并給出了一般結(jié)論： 1)聯(lián)接奇數(shù)個橋的陸地僅有一個或超過兩個以上，不能實(shí)現(xiàn)一筆畫。 2)聯(lián)接奇數(shù)個橋的陸地僅有兩個時，則從兩者任一陸地出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)一筆畫而停在另一個陸地。42 3)每個陸地都聯(lián)接有偶數(shù)個橋是，則從任一陸地出發(fā)都能實(shí)現(xiàn)一筆畫，而回到出發(fā)點(diǎn)。 說明： (1)數(shù)學(xué)模型不一定都是數(shù)學(xué)表達(dá)式，如七橋問題的數(shù)學(xué)模型是一個網(wǎng)絡(luò)圖。43 (

13、2)歐拉解決七橋問題時，超出了過去解決問題所用數(shù)學(xué)方法的范疇，充分發(fā)揮自己的想象力，用了完全嶄新的思想方法（可稱為幾何模擬方法），從而使問題解決得十分完美，結(jié)論明確而簡捷。由于他的開創(chuàng)性的工作，產(chǎn)生了“圖論”這門學(xué)科，歐拉是人們公認(rèn)的圖論的創(chuàng)始人。 (3)圖論是一門非常有用的學(xué)科，很多實(shí)際問題都可化為圖論問題決。44問題： 某倉庫要存放7種化學(xué)藥品，用 分別表示7種藥品; 已知不能存放在一起的藥品為: 問至少應(yīng)把倉庫分成多少隔離區(qū)才能確保安全？ 45解：先把各種藥品作為節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)集為 然后把不能存放在一起的藥品用邊相連，這樣就構(gòu)成一個圖，如下圖：46 為了決定分區(qū)，要對藥品進(jìn)行分區(qū)編號，規(guī)則如

14、下：1、各邊的兩個節(jié)點(diǎn)不能編在同一區(qū)號； 2、為節(jié)省分區(qū)，以A區(qū)、B區(qū)、C區(qū)順序編號，且盡量使用小的區(qū)號。 A區(qū)： B區(qū)： C區(qū)： 對于n種藥品，同樣可根據(jù)上述規(guī)則，通過計算機(jī)依次編區(qū)。 47、最佳場址的選擇問題 設(shè)有n個車間位于不同的地點(diǎn)，現(xiàn)擬建一倉庫P，長期向各車間運(yùn)送原材料和產(chǎn)品，問P應(yīng)建在何處，才能使總運(yùn)費(fèi)在一定時期內(nèi)達(dá)到最小？48 問題變?yōu)閷で驪(x,y)，使C(x,y)達(dá)到最小，這便是此問題的數(shù)學(xué)模型。 是否還有其它方法？ 49 5、走路問題 問題：人在恒速行走時，步長多大才最省勁？ 假設(shè)人的體重為M，腿重為m，腿長為 ，速度為v，單位時間步數(shù)為n，步長為x，其中 vnx 。 人行

15、走時所作的功可以認(rèn)為由兩部分組成：即抬高人體重心所需的勢能與兩腿運(yùn)動所需動能之和。下面分別計算兩部分的做功： 50(1) 重心升高所需的勢能將人的行走簡化成如圖所示:若記重心升高為，則 51 單位時間重心升高所需勢能W為 WnMg (其中v=nx) (2) 腿運(yùn)動所需的動能 將人行走視為均勻直桿（腿）繞腰部轉(zhuǎn)動， 則在單位時間內(nèi)所需動能E為： 52其中轉(zhuǎn)動慣量 角速度 所以 于是，單位時間所作的功P為 53 因?yàn)樽鞴ι倬褪牛詥栴}就變成尋求步長x使單位時間內(nèi)作的功P最小 ，若以 M:m4:1 L米代入上式可得 n5即每秒5步，這顯然太快了。 54對模型（）作如下修改： 假設(shè)腿重集中在腳上，

16、這樣腿的運(yùn)動所需動能即為腳作直線運(yùn)動所需動能， 于是從而 求極值可得這是比較符合實(shí)際情況的。 55 三、數(shù)學(xué)模型基本概念1、數(shù)學(xué)模型的定義 數(shù)學(xué)模型就是指對于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對象，為了某個特定的目的，做出一些必要的簡化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)性態(tài)，或者能預(yù)測對象的未來狀況，或者能提供處理對象的最優(yōu)決策或控制等。 562、建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟 1）觀察 ）現(xiàn)實(shí)問題的理想化 ）建立數(shù)學(xué)模型 建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： (1) 分清變量類型，恰當(dāng)使用數(shù)學(xué)工具。 （2）抓住問題本質(zhì)，簡化變量之間的關(guān)系。 (3) 建立數(shù)學(xué)模型時要有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理。

17、 (4) 建模要有足夠的精度。 57）模型求解 ）模型的分析、驗(yàn)證 ）模型的修改 以上步驟也可用下框圖表示： 現(xiàn)實(shí)問題 簡化 假設(shè) 建立模型 模型求解 驗(yàn)證分析模型 合理 模型應(yīng)用 不合理 583、數(shù)學(xué)模型的分類）按變量性質(zhì)分： ）按時間關(guān)系分： ）按研究方法分： 初等模型、 微分方程模型、 概率統(tǒng)計模型、 運(yùn)籌學(xué)模型等。 59）按研究對象所在領(lǐng)域分： 經(jīng)濟(jì)模型、生態(tài)模型、人口模型、交通模型等。 60問題 崖高的估算假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功 能的計算器，你也許會出于好奇心想用扔下 一塊石頭聽回聲的方法來估計山崖的高度， 假定你能準(zhǔn)確地測定時間，你又怎樣來推算 山崖的高度呢，請你分

18、析一下這一問題。我有一只具有跑 表功能的計算器。61方法一假定空氣阻力不計，可以直接利用自由落體運(yùn)動的公式來計算。例如， 設(shè)t=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h78.5米。 我學(xué)過微積分，我可以做 得更好，呵呵。 62除去地球吸引力外，對石塊下落影響最大的當(dāng) 屬空氣阻力。根據(jù)流體力學(xué)知識，此時可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系 數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得： 令k=K/m，解得 代入初始條件 v(0)=0，得c=g/k，故有 再積分一次，得： 63若設(shè)k=0.05并仍設(shè) t=4秒，則可求 得h73.6米。 聽到回聲再按跑表，計算得到的時間中包含了 反應(yīng)時間 進(jìn)一步深入考慮不妨設(shè)平均反應(yīng)時間 為0.1秒 ，假如仍 設(shè)t=4秒，扣除反應(yīng)時間后應(yīng) 為3.9秒，代入 式，求得h69.9米。 多測幾次，取平均值再一步深入考慮代入初始條 件h(0)=0，得到計算山崖高度的公式： 將e-kt用泰勒公式展開并 令k 0+ ，即可得出前面不考慮空氣阻力時的結(jié)果。64