數(shù)學(xué)分析習(xí)題集共發(fā)郵箱

1、習(xí)1 （1）z x5 6x4y2 y6（2）z x2ln(x2 y2)（4）z sin(xy)cos2(xy)x；（3）z xyy x2 （習(xí)1 （1）z x5 6x4y2 y6（2）z x2ln(x2 y2)（4）z sin(xy)cos2(xy)x；（3）z xyy x2 （5）z e (cosyxsiny)（6）z xy（8）z(1xy)y（7）z sin x cos y yxx （10）z y（12）u x（14）u xyz （9）z ln(x ln y)；12 2 （11）u ex(x y z ) 1(13)u ；x2 y2 znn（15）u ai （16）u aij xi yj a

2、ji （ai 為常數(shù)i, j2 f (xy) x y x y2 f (3,4f (3,4x3 設(shè)z ey ，驗證 0 x2 y曲線z 在點(2,4,5x4y 5 （1）f(xy) 3x2yxy2，在點(1,2)（2）f(xy) ln(1 x2 y2，在點(2,4sin（3）f (x,y) ，在點(0,1和 4,2y6 （1）z yx（2）z xyexyx y（3）z （4）z ；x x2 y（5）u x y2 z2 （6）u ln(x2 y2 z27 z xe2yP(1,0P(1,0到點Q(2,1zx2 xy y2，求它在點(1,1處的沿方向v (cossin9f (x, y在點(1,2)處的

3、從點(1,2)到點(2,2方向的方向?qū)?shù)為 2 1這個函數(shù)在點(1,2)點(1,2)處的從點(1,2)到點(4,6 xy2 （1）z x y sin(xy)（2）z 1 b2 a（3）ux2 2y2 3z2 3xy4yz6x2這個函數(shù)在點(1,2)點(1,2)處的從點(1,2)到點(4,6 xy2 （1）z x y sin(xy)（2）z 1 b2 a（3）ux2 2y2 3z2 3xy4yz6x2y5z，在點(1,1,1f (x, y) xy，在第象限（包括邊界）的每一點，f (x,y) 3 在原點(0,0連續(xù)且可偏導(dǎo)，但除方向ei 和ei （i 1,2）外，在原點的沿其它x2 y2 f (

4、x,y) x2 yx2 y2 在原點(0,0) 1y2)y xxxf (x, y) ,yx y2 fx (x, y), fy (x, y在原點(0,0) 2xyx y ,f (x, y) y y2 x在原點(0,0) 222y（1）z ，x2 xy yx222（2）z xsin(x y) ycos(x y)，x2 xy y33（3）z xexy ,；x2y xy4（4）u ln(ax by cz)，；x4 x2ypq （5）z (xa) yb) pq；pyq pqr （6）u xyzxy 。xpyqz2z xln(xy，求d2 z z sin2axby，求d3 z（3）uexyz(x2 y2

5、z2，求d3u（4）zexsiny，求dk z18z f (x, y1 sin y ，及 z xln(xy，求d2 z z sin2axby，求d3 z（3）uexyz(x2 y2 z2，求d3u（4）zexsiny，求dk z18z f (x, y1 sin y ，及 f(0y) 2sin y y31 f (x, y求192（1）z sin(ny) 滿足熱傳導(dǎo)方 x（2）u z滿足Laplace 方 0zyr20f (rt) t e 4t f 1 rrrr（1）f(x) (acosx,bsinx,cx) ，在x 點4T （2）f(x,y,z) (3xe cotz,x y tanyT，在1點4

6、（3）g(uv (ucosvusinvv)T，在(1,22f R3 R3（1）f1(xyz) x, f2 (xyz) y, f3(xyz) z f （2）f （3）f 的導(dǎo)數(shù)是對角陣diag(p(xqyr(z) 具習(xí)題1（1）z tan(3t 2x2 y2x 1tt ，求dz dy d2（2）z x2 x siny t ，3dteax(yd（3）w，y asin x，z cosx，da2 x（4）z u lnu v 3x2y，2x y3u x2y2z（5）u z y sinxx, y 2（6）w (x y zsin(x2 y2 z2x tesy etz est w, w 2（7）z x y c

7、os(x yx uvu x2y2z（5）u z y sinxx, y 2（6）w (x y zsin(x2 y2 z2x tesy etz est w, w 2（7）z x y cos(x yx uvy arcsinvu , vu ；以下假設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。xu （8）u f，yx y xy yu u u （9）u f(x2 y2 z2)，；x y z x2 w w 2（10）w f (xyzx uvy u vz uvu , v uv 2f (x, yf(xx21f x2fy (xx 3設(shè) f (xy) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 f (1,1) 1 ， fx (1,1) 2 ， fy (1

8、,1) 3 。如果(x) f (x, f (xx，求(11 1 y4z f (tf (t) 0。f (x2 y2x y 5z arctan x x uvy u vyu。6設(shè) 和 vux（1）u y(x y 滿足y x xy yu（2）u (x at) (x at)滿足波動方 2。227設(shè)z f (x, y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，寫在坐標(biāo)變u x2 y2v x 22y 28設(shè)f (x,y) dt ， t。22y09f (x, y滿足：對于任意的實數(shù)tx, yf(txty) tn f(xy，那么 f n 次齊次函數(shù)。（1） nf xf y nf 4（2） z x y xx yy x x2 其中f 具

9、有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)求xyyy11f R2（2） z x y xx yy x x2 其中f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)求xyyy11f R2R3xu2 v2y v z 向量值函數(shù)g R2 R2 的坐標(biāo)分量函數(shù)u rcosv rsinf gw w 12w f (xuvu gyzv h(x, yx , y , z 13設(shè)z uv，u y2 ，v arctan y ，求dzxxarctan 214設(shè)z (x2 y2x ，求dz。（1）u （2）u （3）u f(ax2 by2 cz2)f (x y,xy)fln(1x2y2 z2exyzf (t具有任意階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而u f

10、 (ax by cz。對任意正整數(shù)k，求dk u z f (xyxfx (x,y) yfy (x,y) 0f (x, y) 18設(shè)nf Rnx (y y1y2,yn R ，成立下述Hadamard 公式nn)n1f (y f (x) y xi x (xt(y x)dt i0i習(xí)1f (x, y) sin xcos y 應(yīng)用中值定理證明：存在 0136f(xy) 3x3 y3 2x2y2xy2 6x8y9在點(1,2)Taylorf (x, y) sin xln(1 y在(0,0Taylor 展開式（展開到三階導(dǎo)數(shù)為止f(xy) exy在(0,0nTaylor 設(shè)f(x,y) cosyx 0 x

11、5f(xy在(1,0)Taylor展開式（展開到二階導(dǎo)數(shù)R2f(xy在(1,0)點的kTaylor展開式，并證明在(1,0)點的某個領(lǐng)域內(nèi)，余Rk k Rk 0。6Taylor 公式近似計算8.96203（展開到二階導(dǎo)數(shù)7f (xyR2l l R2(x,y) 0， i 1,2R2f (xy) i8f (xy) f(xy在(1,0)Taylor展開式（展開到二階導(dǎo)數(shù)R2f(xy在(1,0)點的kTaylor展開式，并證明在(1,0)點的某個領(lǐng)域內(nèi)，余Rk k Rk 0。6Taylor 公式近似計算8.96203（展開到二階導(dǎo)數(shù)7f (xyR2l l R2(x,y) 0， i 1,2R2f (xy

12、) i8f (xy) sin y （x 0 xxx yy f(xy) 0k 1習(xí)題sinyex xy2 0d y dxy yxd y dx2 y2 arctan y d y xdx d2yd y0d（4）和dx2；axx（5） ，zy22（6）ez xyz 0，；22（7）z3 3xyz a3，；（8）f (x y, y zz x) 0 x y 2（9）z f (xzz y22（10）f (x,x y,x y z) 0，。2y tan(x yy xd3y 2(3y 8y 。dy3設(shè)是可微函數(shù)，證明由(cxazcy bz) 0z f (xyaz bc64設(shè)方程(x zy1y zx10z f (x

13、yxz y z xy5zx2 y2 d2d2 d dydddx2d；x 2y 3z 4a2222xu4設(shè)方程(x zy1y zx10z f (xyxz y z xy5zx2 y2 d2d2 d dydddx2d；x 2y 3z 4a2222xu yv 和xyx y x（2）yu xv u f(ux,v （3）v g(u x,v 2x u（4） y uz u v 2 x eu cos（5）y e sinux y z u2 v26（1）x2y zxyz 0，求dz（2） sinu求du與dvsinF(yx, yz) x x(z 7是由方程組Gxy, y z z(F 和Gdx dz x rcosf

14、(x, y具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。在極坐標(biāo) y r82f 2 9f u xv x222C（AC B2 0A207并說明此時A2Bt Ct2 0 x ey 2z 2222 0， abcu x2 y11通過自變量變換v xy22z 1 yy 0并說明此時A2Bt Ct2 0 x ey 2z 2222 0， abcu x2 y11通過自變量變換v xy22z 1 yy 0,2 u x2 y2（1）11w ln z x yv yz x (y x)zu （2）w x y zv x 2z 2y22xy 10 x 2yz（3）用v 及w x 變換方x2z 220213y f (xt，而tF(x, yt) 0 x

15、, yf F 都具f F f x t 。f F t 14. f (xyR2 R 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明：存在一對一的連續(xù)的向量值函數(shù)G(t) : R R2 ，使得f G 習(xí)題1y x21（1）z 在1,12點.1 8x t siny 1cos在t 對應(yīng)的點2z 42tx y z x y z x t siny 1cos在t 對應(yīng)的點2z 42tx y z x y z x2 y2 R2 R 在x z R22x ty t2z t3x2y z 10平x sin2t, y sintcost, z cos2t 在t 2（1）z 2x4 3y3，在點(2,1,35)xy（2）ez ez 4，在點(ln2ln2

16、,1（3）x uv, y u2 v2z u3 v3，在點u 0, v 1z xyx3y z90垂直，并寫出此x2 2y2 3z2 498x3y5z 7x2 y2 a2與馬鞍面bz xy8已知曲面x2 y2 3z 0求經(jīng)過點A(0,0,1)且與直線x z 平行的切平面的y9設(shè)橢球面 2x23y2z2 6 上點 P(1,1,1) 處指向外側(cè)的法向量為 n ，求函數(shù)6x2 8yu Pnz證明曲面 x y z a (a 0)上任一點的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和等于a。x aet cosy ae sintz ax2 y2 z212f (ax bzay cz) 0f 連續(xù)abc 不同時為零。13z xf

17、 y (x 0) x z x y 0的所有切平面都過某一定點，其中函數(shù)F 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) y z x2z 0。進(jìn)一步，設(shè) k 為正整數(shù)，15F(x, yz) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且9F(x, yz) k 次齊次函數(shù)，即對于任意的實數(shù)t和(x, yz) F(txtytz) tkF(xF(x, yz) k 次齊次函數(shù)，即對于任意的實數(shù)t和(x, yz) F(txtytz) tkF(xyzF(x, yz) 0（xFx (x, yz) yFy (x, yz) zFz (x, yz) kF(x, yz) 習(xí)題（1）f(x,y) x4 2y4 2x2 12y2 6（2）f(x,y) x4 y4 x2 2xy

18、y2（3）f(x,y,z) x2 y2 z2（4）f(x,y) (yx2)(y x4)a3（5）f (x,y) xy，其中常數(shù)a b 0yz2（6）f (xyz) x（x, yz 0f(xyz) x2 3y2 2z2 2xy2xzf 的最小值為0f(xy1eycosx yeyf (x, y) sin x sin y sin(x yD(x, y)| x0, y 0, x y 2在0,1上用怎樣的直線 axby x21J(a,b) (y) 206RRH ，及圓錐的高h(yuǎn)x2 2xy2y2 1y y(x求由方程2x2 2y2 z2 8yz z8 0z z(xy在Oxy x 0y 0 x 2y 16 0

19、的距離的平方證明：圓的所有內(nèi)接nn13證明：當(dāng)0 x 10 y yxy(1xe1(3xy)x 和 (4x2y（ 0（在教師的指導(dǎo)下，編制程序在電子計算機上實際計算1x表示零件在第一道工序中出現(xiàn)的疵點數(shù)（y 8x與 y 如下：y axb2xy(%) y xx 與鋼包容積增大 y 之間的關(guān)系，并畫出擬合曲線。（提示：假設(shè) y ax2 bxc5在研究化學(xué)反應(yīng)速度時，得到下列數(shù)據(jù)。找出實驗開始后的時間t與反應(yīng)物的量m之間（提示m與tm aebt 習(xí)1（1）f (x, y) xyx y 1（2）f (xy1x表示零件在第一道工序中出現(xiàn)的疵點數(shù)（y 8x與 y 如下：y axb2xy(%) y xx 與鋼包容積增大 y 之間的關(guān)系，并畫出擬合曲線。（提示：假設(shè) y ax2 bxc5在研究化學(xué)反應(yīng)速度時，得到下列數(shù)據(jù)。找出實驗開始后的時間t與反應(yīng)物的量m之間（提示m與tm aebt 習(xí)1（1）f (x, y) xyx y 1（2）f (xyz) x2y 2zx2 y2 z2 x2 y2 z2 xyz（3）f (xyz) ab2ca b c 0AxByCz