解答-華南農(nóng)業(yè)大學(xué)2013高等代數(shù)1期末試卷

1、 . 計(jì)算行列式解：行列式特點(diǎn)：每一行的和相等為111x111x1111113. 求向量組111x11x11111x1112. 計(jì)算行列式解：行列式特點(diǎn)：每一行的和相等為111x111x1111113. 求向量組111x11x11111x111x111x1111x，c1ci(i2,3, 4)11x111x111x11112 分）1x111x1111r2 r1r3 r1r4 r11000 x15 分）10004x.7 分）1 (2,1,3, 1),2 (3, 1,2,0),3 (1,3,4, 2),4 (4, 3,1,1)解 將向量 按列排 成矩陣A ，并對(duì)它作等行變換 化為行 最簡(jiǎn)形 矩陣 .

2、23141133A1133r1r22314r2 2r1r3 3r1r4 r1324132411021102111331133102105510r2 1 250112r1 r2011205510r3 5r2r4 r200000000011200000000最簡(jiǎn)形所以 ,R 1,2,所以 ,R 1,2,3,421, 2是所求的一個(gè)極大無關(guān)組，6 分）且 3=2 1且 3=2 1-2,4=- 1 +2 2 .7 分)注意： “求極大無關(guān)組，并將極大無關(guān)組以外的向量用極大無關(guān)組線性表示”這種題目的解題步驟：將向量按列排成矩陣A，對(duì) A 作等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣，再根據(jù)最簡(jiǎn)形矩 TOC o 1-5 h

3、 z x1 x2 kx31,討論 k 取何值時(shí)，線性方程組x1 x2 2x31,2x1 kx2 x3 k有唯一解；(2) 無解； (3) 有無窮多個(gè)解，并求出此方程組的通解.解 對(duì)增廣矩陣作行變換化為階梯形 .k1r32 r2r3 k1r32 r2r3 211k* 2k2k(k 1)(4 k)k1k2kk110k2 1102(k 1)(k 1)2 分)(1)(2)(3)k 1 時(shí)，R(A) R(A) 2 3 n, 方程組有無窮多個(gè)解.5 分)(1)(2)(3)k 1 時(shí)，R(A) R(A) 2 3 n, 方程組有無窮多個(gè)解.5 分)此時(shí)1232 0 x11最簡(jiǎn)型 ，得一般解x232 x3x3

4、x312 x3( x3 為自由未知量)，令x3k,得通解為x1x2xx1x2x31 0k 012122k 為任意常數(shù).7 分）注意： 此題和 12 年四（3） ， 11 年四（ 3）為同類型題。13年和 11 年答案是同一種做法；12年是一種做法。作非退化線性替換X CY 化實(shí)二次型f (x1, x2, x3 ) x12 x22 4x2x3為規(guī)范形 .解 二次型的矩陣為A(1)分r3 +2r2c3+2c21r32312C00 對(duì)角矩陣c3+2c21C 2作非退化線性變換X CY，得所求實(shí)二次型的規(guī)范形為f ( x1 , x2 , x3 ) 201126 分）可逆矩陣C22y1- y2 +. y

5、37分）說明：化二次型為規(guī)范形的方法：A 作相同的 行 ,列 變換， E 作相同的 列變換 ，當(dāng) A 化為對(duì)角元為“ 1， -1”的對(duì)角陣時(shí)，E 化為 “ C” . TOC o 1-5 h z 五、證明題（本大題共4 小題，共25 分）（ 本小題 7 分） 證明： n 維向量組1, 2, n線性無關(guān)的充要條件是任一n維向量都可由1, 2 , n 線性表出.證 明 必 要 性 . 設(shè)1, 2, , n 線 性 無 關(guān) ， 對(duì) 任 一 n 維 向 量 ， 因 為2, n, 是 n 1 個(gè) n 維向量，必線性相關(guān)，而1, 2, n 是線性無關(guān)的，故可由 1, 2, n線性表出.（ 4分）充分性 .

6、設(shè)任一 n 維向量都可由1, 2, , n 線性表出，則單位向量組裝2, n 可由 1, 2, n 線性表出，又1, 2, n 可由 1, 2, n線性表出，所以向量組1, 2, n與向量組1, 2, n 等價(jià)， 故有相同的訂秩 n ，即1, 2, , n 線性無關(guān).（ 7 分）（本小題6分）設(shè) A是 n級(jí)方陣且A 0，證明：存在一個(gè)非零矩陣B 使得AB O .證明： 由 A 0知，齊次線性方程組AX 0有非零解1，（ 2 分）線 TOC o 1-5 h z 作 B （ 1, 2, , n） , 其中 2, n均為零向量, 則 B 0，（ 4分）于是AB A（ 1, 2, , n） （ A 1

7、, A 2, , A n） =（0, 0, , 0） O （ 6分）（本小題6分）設(shè) A是 n 級(jí)方陣且A 0， B是 n m矩陣，證明 : R AB R B .證明 因?yàn)?R AB R B ，（ 2分）又由 A 0知，方陣A可逆. 所以B A 1AB=A 1 AB ，從而 R（B） RA 1 AB R（AB），綜合可知R AB R B .另法證明：由 A 0知，方陣A可逆，再由課本180頁定理4R A B R B （與可逆矩陣相乘不改變矩陣的秩）A1 OB1 O（本小題6分）設(shè) A 1, B 1. 證明： 如果A1 與 B1 合同，A2與O A2O B2B2合同，則A與 B合同 .證明 由于A1 與 B1合同，A2與 B2合同，存在可逆陣C1,C2 使得B1CT1AC1,1B 2CTA2C ，22分）C1令C 1OOC2C 可逆，且3分）CTACC1O T A1OC1OC2 OA2OOC2C1T