高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))-第一章教案

1、 / 16第一章：函數(shù)、極限與連續(xù)教學(xué)目的與要求.解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。.解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。.了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。.理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小求極限。.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。.了解連續(xù)

2、函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。所需學(xué)時(shí)：18 學(xué)時(shí)（包括：6 學(xué)時(shí)講授與2 學(xué)時(shí)習(xí)題）第一節(jié)：集合與函數(shù)一般地我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡(jiǎn)稱集）。集合具有確定性（給定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，因?yàn)樗脑夭皇谴_定的。我們通常用大字拉丁字母A、 B、C、表示集合，用小寫拉丁字母a、 b、c表示集合中的元素。如果a是集合 A中的元素，就說a 屬于A，記作：a A，否則就說a不屬于 A，記作：a A。 TOC o

3、1-5 h z 、全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作N、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作N +或N+。、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作Z。、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作Q。、全體實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集。記作R。集合的表示方法、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“”括起來表示集合、描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合。集合間的基本關(guān)系、子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、 B，如果集合A 中的任意一個(gè)元素都是集合B 的元素，我們就說A、B 有包含關(guān)系，稱集合A 為集合 B 的子集，記作A B（或 BA）。相等：如何集合A 是集合 B 的子集，且集合

4、B 是集合 A 的子集，此時(shí)集合A 中的元素與集合B 中的元素完全一樣，因此集合A 與集合 B 相等，記作A B。、真子集：如何集合A 是集合 B 的子集，但存在一個(gè)元素屬于B 但不屬于A，我們稱集合A 是集合 B 的真子集。、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論：、任何一個(gè)集合是它本身的子集。即A A、對(duì)于集合A、B、 C，如果 A 是 B 的子集，B 是 C 的子集，則A 是 C 的子集。、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本運(yùn)算、 并集： 一般地， 由所有屬

5、于集合A 或?qū)儆诩螧 的元素組成的集合稱為A 與 B 的并集。 記作AB。 （在求并集時(shí)，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。）即 A Bx|xA，或x B。、交集：一般地，由所有屬于集合A 且屬于集合B 的元素組成的集合稱為A 與 B 的交集。記作A B。即A Bx|x A，且x B。、補(bǔ)集：全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集。通常記作U 。補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U 中不屬于集合A 的所有元素組成的集合稱為集合A 相對(duì)于全集U 的補(bǔ)集。簡(jiǎn)稱為集合 A 的補(bǔ)集，記作CUA。即CUAx|x U，且x A。集合中元素的個(gè)數(shù)、有限集：我們把

6、含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集。、用 card 來表示有限集中元素的個(gè)數(shù)。例如Aa,b,c，則card(A)=3。、一般地，對(duì)任意兩個(gè)集合A、 B ，有 card(A)+card(B)=card(A B)+card(A B)我的問題：1、學(xué)校里開運(yùn)動(dòng)會(huì)，設(shè)Ax|x 是參加一百米跑的同學(xué)，B x|x是參加二百米跑的同學(xué)，Cx|x 是參加四百米跑的同學(xué)。學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項(xiàng)，請(qǐng)你用集合的運(yùn)算說明這項(xiàng)規(guī)定，并解釋以下集合運(yùn)算的含義。、A B；、A B。2、在平面直角坐標(biāo)系中，集合C (x,y)|y=x 表示直線y x，從這個(gè)角度看，集合D=

7、(x,y)| 方程組：2x-y=1,x+4y=5 表示什么？集合C、 D 之間有什么關(guān)系？請(qǐng)分別用集合語言和幾何語言說明這種關(guān)系。3、已知集合A=x|1 x 3， B x|(x-1)(x-a)=0 。試判斷B 是不是 A 的子集？是否存在實(shí)數(shù)a 使A B 成立？4、對(duì)于有限集合A、 B、 C，能不能找出這三個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)與交集、并集元素個(gè)數(shù)之間的關(guān)系呢？5、無限集合A1，2，3，4，n，B2，4，6，8，2n，你能設(shè)計(jì)一種比較這兩個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)多少的方法嗎？2、區(qū)間、變量的定義：我們?cè)谟^察某一現(xiàn)象的過程時(shí)，常常會(huì)遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其稱之為 常量 ；有的量在

8、過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為變量 。 注： 在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對(duì)于所研究的對(duì)象是極其微小的，我們則把它看作常量。、變量的表示：如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間 來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說，區(qū)間 是指介于某兩點(diǎn)之間 的線段上點(diǎn)的全體。區(qū)間的名稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號(hào)區(qū)間在數(shù)軸上的表示閉區(qū)間axba ， b開區(qū)間a x b( a， b)半開區(qū)間axb或axb(a， b 或 a ， b)以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間：a ， + )：表示不小于a的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：a x +；(- ， b)：表示小于b的

9、實(shí)數(shù)的全體，也可記為：-xb；(- ，+ )：表示全體實(shí)數(shù)，也可記為：-x 0. 滿足不等式x - 1 時(shí) , 在區(qū)間(0,1) 的值為負(fù)；在區(qū)間 (- ,+ )的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增.冪 函 數(shù)a 為任意實(shí)數(shù)這里只畫出部分函數(shù)圖形的一部分。令 a=m/na): 當(dāng)m為偶數(shù)n 為奇數(shù)時(shí),y 是偶函數(shù);b): 當(dāng) m,n 都是奇數(shù)時(shí),y 是奇函數(shù);c): 當(dāng)m奇n 偶時(shí) ,y 在 (- ,0) 無意義.三角函數(shù)( 正弦函數(shù))這里只寫出了正弦函數(shù)a): 正弦函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)b): 正弦函數(shù)是奇函數(shù)且反三角 函數(shù)( 反正弦函數(shù))這里只寫出了反正弦函數(shù)a): 由于此函數(shù)為多值函數(shù), 因此

10、我們此函數(shù)值限制在- /2, / 2 上 , 并稱其為反正弦函數(shù)的主值.、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個(gè)解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).5、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)(補(bǔ)充)、雙曲函數(shù)：在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：( 用表格來描述)函數(shù)的 名稱函數(shù)的表達(dá)式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)雙曲 正弦a） ：其定義域?yàn)?（- ,+ ）；b）：是奇函數(shù)；c） ：在定義域內(nèi)是單調(diào)增雙曲 余弦a） ：其定義域?yàn)?（- ,+ ）；b）：是偶函數(shù)；c）：其圖像過點(diǎn)（0,1） ；雙曲 正切a） ：其定義域?yàn)?（- ,+ ）；b）：是奇函數(shù)；c） ： 其圖形夾在水平直線

11、y=1 及 y=-1 之間；在定域內(nèi)單調(diào)增；課后作業(yè)及小結(jié)：1 、學(xué)習(xí)了集合概念與函數(shù)概念2、掌握復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)計(jì)算方法。作業(yè)： P9.1,7,8第二節(jié)：數(shù)列的極限1、引入、數(shù)列：若按照一定的法則，有第一個(gè)數(shù)a1，第二個(gè)數(shù)a2，依次排列下去，使得任何一個(gè)正整數(shù)n 對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的數(shù)an，那末，我們稱這列有次序的數(shù)a1， a2，an，為數(shù)列. 數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)。第n 項(xiàng)an叫做數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng).注： 我們也可以把數(shù)列an 看作自變量為正整數(shù)n 的函數(shù)，即：an=，它的定義域是全體正整數(shù)、極限：極限的概念是求實(shí)際問題的精確解答而產(chǎn)生的。例：我們可通過作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的

12、面積。設(shè)有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A1；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2；再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A3；依次循下去（ 一般把內(nèi)接正62n-1 邊形的面積記為An） 可得一系列內(nèi)接正多邊形的面積：A1，A2，A3，An，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，An 也無限接近某一確定的數(shù)值（ 圓的面積 ） ，這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù)列A1， A2， A3，An，當(dāng)n（讀作 n 趨近于無窮大）的極限。注： 上面這個(gè)例子就是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽（ 公元三世紀(jì)） 的割圓術(shù)。2、數(shù)列極限的概念（ 1 ）、數(shù)列的極限：一般地，對(duì)于數(shù)列x

13、1， x2， x3，xn，來說，若存在任意給定的正數(shù) （不論其多么?。?，總存在正整數(shù)N，使得對(duì)于n N 時(shí)的一切xn 不等式都成立，那末就稱常數(shù)a 是數(shù)列 xn的極限，或者稱數(shù)xn收斂于a .記作：或注： 此定義中的正數(shù) 只有任意給定，不等式才能表達(dá)出xn 與a 無限接近的意思。且定義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù) 是有關(guān)的，它是隨著 的給定而選定的。( 2)、數(shù)列的極限的幾何解釋：在此我們可能不易理解這個(gè)概念，下面我們?cè)俳o出它的一個(gè)幾何解釋，以使我們能理解它。數(shù)列 xn 極限為 a 的一個(gè) 幾何解釋：將常數(shù)a 及數(shù)列x1， x2， x3，xn在數(shù)軸上用它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示出來，再在數(shù)軸上作點(diǎn)a的

14、 鄰域即開區(qū)間(a- ，a+ )，如下圖所示：與不等式等價(jià)， 故當(dāng) n 與不等式等價(jià)， 故當(dāng) n N時(shí)， 所有的點(diǎn)xn都落在開區(qū)間(a- ，a+ )內(nèi)，而只有有限個(gè) ( 至多只有N 個(gè) ) 在此區(qū)間以外。注： 有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數(shù)列(-1) n+1， 是有界的，但它是發(fā)散的。3、數(shù)列極限的計(jì)算(課本例子)1 ， -1 ， 1， -1 ，課后作業(yè)及小結(jié)：1、學(xué)習(xí)了數(shù)列極限概念2、掌握數(shù)列極限運(yùn)算方法。作業(yè)： P15.2前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取1內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于 TOC o 1-5

15、h z 正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的極限.函數(shù)的極值有兩種情況：a) ：自變量無限增大；b) ：自變量無限接近某一定點(diǎn)x 0，如果在這時(shí)，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)A，就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢?下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念!1、函數(shù)的極限( 分兩種情況)a): 自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限定義 ： 設(shè)函數(shù) y=f(x) ， 若對(duì)于任意給定的正數(shù) (不論其多么小) ， 總存在著正數(shù)X， 使得對(duì)于適合不等式的一切x，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y=f(x) 都滿足不等式那末常數(shù)A就叫做函數(shù)y=f(x) 當(dāng)x時(shí)的極限，

16、記作：下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對(duì)比一下：數(shù)列的極限的定義函數(shù)的極限的定義存在函數(shù)y=f(x) 與常數(shù)A，任給一正數(shù) 0，總可找到一正數(shù)X，對(duì)于適合的一切 x，都滿足存在數(shù)列an=f(x) 與常數(shù)A， 任給一正數(shù)找到一正數(shù)X，對(duì)于適合的一切 x，都滿足整數(shù)N，對(duì)于n N的所有an都滿足0；x 均滿足不等式。A ，其證明方法是怎樣的呢？b): 寫出不等式 ；c): 解不等式能否得出去心鄰域00，總能找出，當(dāng)0 時(shí)， 成立，因此2、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則與數(shù)列極限的運(yùn)算 規(guī)則相似。、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則若

17、已知xx0( 或 x) 時(shí)，則：推論：推論：在求函數(shù)的極限時(shí)，利用上述規(guī)則就可把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)化為若干個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來求極限。例題： 求種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。解答：例題：此題如果像上題那樣求解，則會(huì)發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在. 我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母都沒有極限，像這注： 通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒有極限時(shí)就不能運(yùn)用商的極限的運(yùn)算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分 子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運(yùn)用規(guī)則求之。3、左右極限定義定義： 如果 x 僅從左側(cè)(x x0) 趨近x0時(shí)，函數(shù) f(x)與常量 A無限接近，則稱 A為函數(shù)f(x)當(dāng)時(shí)的右極限. 記：注： 只有當(dāng)

18、xx 0時(shí)，函數(shù)f(x)的左、右極限存在且相等，方稱f(x)在xx0時(shí)有極限課后作業(yè)及小結(jié)：1、學(xué)習(xí)了函數(shù)數(shù)列極限概念2、掌握函數(shù)數(shù)列極限運(yùn)算方法。作業(yè)： P23.1 ， 2第四節(jié)：極限性質(zhì)1、數(shù)列極限的性質(zhì)定理1(極限的唯一性) 數(shù)列xn 不能收斂于兩個(gè)不同的極限證明 假設(shè)同時(shí)有l(wèi)im xn a 及 lim xn b 且 a0 存在充分大的正整數(shù)按極限的定義對(duì)于ba2a 0 存在充分大的正整數(shù)N 使當(dāng) nN 時(shí) 同時(shí)有 |xn a|ba2及|xn b|N 時(shí)的一切xn 不等式|xn a|N 時(shí)|xn| |(xn a) a| | xn a| |a|0 N N+ 當(dāng) n N 時(shí) 有 |xn a|

19、 取 K N 則當(dāng) k K時(shí)nk k K N 于是 |xnk a|這就證明了lim xnaknk2、函數(shù)極限的性質(zhì)定理 1(函數(shù)極限的唯一性)如果極限lim f (x) 存在 那么這極限唯一x x0定理 2(函數(shù)極限的局部有界性) 如果 f(x) A(x x0) 那么存在常數(shù)M 0 和 使得當(dāng) 0 |x x0| 時(shí) 有 |f(x)| M證明 因?yàn)?f(x) A(x x0) 所以對(duì)于10 當(dāng) 0 |x x0| 時(shí) 有 |f(x) A| 1于是 |f(x)| |f(x) A A| |f(x) A| |A| 1 |A| 這就證明了在x0的去心鄰域x| 0 |x x0|內(nèi) f(x)是有界的定理 3(函

20、數(shù)極限的局部保號(hào)性) 如果 f(x) A(x x0) 而且 A 0(或A 0) 那么存在常數(shù)0 使當(dāng) 0 |x x0| 時(shí) 有 f(x) 0(或f(x) 0)1定理 3 如果 f(x) A(x x0)(A 0) 那么存在點(diǎn)x0的某一去心鄰域在該鄰域內(nèi)有 | f (x)| 1 |A|推論 如果在 x0 的某一去心鄰域內(nèi)f(x) 0(或 f(x) 0) 而且 f(x) A(x x0) 那么 A 0(或 A 0)證明 設(shè) f(x) 0 假設(shè)上述論斷不成立即設(shè) A0 那么由定理1 就有x0 的某一去心鄰域在該鄰域內(nèi)f(x) 0 這與 f(x) 0 的假定矛盾 所以 A 0 TOC o 1-5 h z

21、定理 4( 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)如果當(dāng) xx0時(shí)f(x)的極限存在xn為f(x)的定義域內(nèi)任一收斂于x0的數(shù)列且滿足xnx0(nN ) 那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列f(xn)必收斂 且 lim f(xn)lim f (x)nx x0證明 設(shè) f(x) A(x x0) 則 00 當(dāng) 0 |x x0|時(shí) 有 |f(x) A| 又因?yàn)閤n x0(n) 故對(duì) 0 N N 當(dāng) n N 時(shí) 有|xn x0|由假設(shè)xn x0(n N ) 故當(dāng) n N 時(shí) 0 |xn x 0| 從而 |f(xn) A| 即 lim f (xn) lim f(x)nx x0課后作業(yè)及小結(jié)：1、學(xué)習(xí)了極限的相關(guān)定理與函數(shù)列相關(guān)定理

22、作業(yè)： P30.8第五節(jié)：兩個(gè)重要的極限1、準(zhǔn)則I如果數(shù)列xn、 yn及 zn滿足下列條件(1) yn xn zn(n 1 2 3)(2) lim yn a limnnzn a那么數(shù)列 xn 的極限存在且 lim xn an證明lim yn na lim znna 以根據(jù)數(shù)列極限的定義0 N 10 當(dāng)n N1時(shí) 有|yn a|又 N 20當(dāng) n N 2時(shí)有 |z na|現(xiàn)取 N maxN 1 N 2 則當(dāng) n N時(shí)有|yn a| 同時(shí)成立|zn a|即ayn a同時(shí)成立a zn又因yn xn zn 所以當(dāng)nNayn xn即zn a|xna|這就證明了lim xn an即有這就證明了注意：簡(jiǎn)要證

23、明|yn(2)N0當(dāng) nN時(shí) 有(1)準(zhǔn)則 Ia| 及 |znyn aa|zn ayn xn|xn a|lim xnnzn如果函數(shù)f(x)、 g(x)及h(x)滿足下列條件(1) g(x) f(x) h(x)(2) lim g(x) A lim h(x) A那么 lim f(x)存在且 lim f(x) A注 如果上述極限過程是x x0定義要求函數(shù)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義上述極限過程是x 要求函數(shù)當(dāng)|x| M 時(shí)有準(zhǔn)則 I 及準(zhǔn)則 I 稱為夾逼準(zhǔn)則 2、第一重要極限下面根據(jù)準(zhǔn)則I 證明第一個(gè)重要極限sinx limx0 x證明 首先注意到函數(shù) sin x 對(duì)于一切 xx0 都有定義參看附圖

24、圖中的圓為單位圓BC OA DA OA 圓心角AOB x (0 x ) 顯然sin x cb x AB tan xAD 因?yàn)镾 AOB S 扇形 AOB S AOD 所以1sin x21x 1tan x22sin x x tan x不等號(hào)各邊都除以sin x 就有1x 1sin x cosx或cosx sinx 1x注意此不等式當(dāng)x 0 時(shí)也成立而 lim cosx 1 根據(jù)準(zhǔn)則I lim sin x 12x0 x0 x簡(jiǎn)要證明參看附圖設(shè)圓心角AOB x ( 0 簡(jiǎn)要證明參看附圖設(shè)圓心角AOB x ( 0 x )2顯然 BC AB AD 因此 sin x x tan x 從而 cosxsinx

25、x1 （此不等式當(dāng)x 0 時(shí)也成立）因?yàn)?lim cosx 1 根據(jù)準(zhǔn)則 I lim sin x 1 x0 x0 x應(yīng)注意的問題在極限 lim sin (x) 中 只要(x)是無窮小就有 lim sin (x) 1(x)(x)這是因?yàn)榱?u (x) 則 u 0 于是 lim sin (x) lim sinu 1(x) u 0 usinx sin (x)lim 1 lim1 ( (x) 0) TOC o 1-5 h z x 0 x(x)tanx例 1 求 lim x0 x解 lim tanx lim sinx 1 lim sinx lim 11x 0 x x 0 x cosx x 0 x x 0

26、 cosx例 2 求 lim 1 co2sxx 0 x2lxim01 cosxx22x 2sin2lim 2 2x 0 x22x sin212 lim 22x12lximsinx12121 lim2x 0sin 2xx212123、準(zhǔn)則 II單調(diào)有界數(shù)列必有極限xxn xn 1 就稱數(shù)列xn是單調(diào)增加的單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列如果數(shù)列x n滿足條件x 1 x 2 x 3xn xn 1 就稱數(shù)列xn是單調(diào)減少的如果數(shù)列 xn滿足條件x 1 x 2 x 3在第三節(jié)中曾證明收斂的數(shù)列一定有界有界 并且是單調(diào)的那么這數(shù)列的極限必定存在在第三節(jié)中曾證明收斂的數(shù)列一定有界有界 并且是單調(diào)的那么

27、這數(shù)列的極限必定存在單調(diào)增加數(shù)列的點(diǎn)只可能向右一個(gè)方向移動(dòng) 者情況發(fā)生但那時(shí)也曾指出有界的數(shù)列不一定收斂現(xiàn)在準(zhǔn)則II 表明 如果數(shù)列不僅也就是這數(shù)列一定收斂準(zhǔn)則 II 的幾何解釋或者無限向右移動(dòng)或者無限趨近于某一定點(diǎn)A 而對(duì)有界數(shù)列只可能后4、第二重要極限根據(jù)準(zhǔn)則II 可以證明極限lim (1 1)n存在nn設(shè)xn(1n1)n現(xiàn)證明數(shù)列xn 是單調(diào)有界的按牛頓二項(xiàng)公式xn1(1 n)n 1n1!1 n(n 1)2!1n2n(n 1)(n 2) 1n(n 1) (n n 1) 1121!(11n)31!(11n)(12n)3!n3n!nnxn11 121!(1n11)31!(1 n11)(1(n

28、1(1 1)!1n 1)(12n 1)比較 xnxn1xnn1!(11n)(1n2)n21)n1!(1(1n112n11)(1 n21)(1nn 11)n(1 n 1)的展開式可以看出除前兩項(xiàng)外x n 的每一項(xiàng)都小于x n 1 的對(duì)應(yīng)項(xiàng)并且 x n 1 還多了最后一項(xiàng)其值大于0 xn 1這就是說數(shù)列xn 是單調(diào)有界的這個(gè)數(shù)列同時(shí)還是有界的xn 的展開式中各項(xiàng)括號(hào)內(nèi)的數(shù)用較大的數(shù)1 代替 得根據(jù)準(zhǔn)則II 數(shù)列 xn必有極限xn 11112! 3! n!1 1212212n3112132n 1這個(gè)極限我們用來表示lim (1 n1)n n我們還可以證明lim (1 1 )x e e是個(gè)無理數(shù)xx它

29、的值是e7045指數(shù)函數(shù)y ex 以及對(duì)數(shù)函數(shù)y ln x 中的底 e 就是這個(gè)常數(shù)在極限 lim11(x) (x)只要(x)是無窮小就有 lim 1(x)1(x)這是因?yàn)榱?u1(x)則u于是 lim11(x) (x)lim (1 uu1)ulim (1 x1)x e x1lim 1(x) (x) e (x) 0)例 3 求 lim (1x1xx)x解 令tx于是lim (1 xx)xlim (11t)tlim1(11t)t或 lim (1xx)xlim (1 x1)xx(1)lim (1x1x) x1課后作業(yè)及小結(jié)：1、學(xué)習(xí)了兩個(gè)重要極限2、了解單調(diào)有界準(zhǔn)則3、綜合運(yùn)用夾逼準(zhǔn)則作業(yè)： P3

30、8.1,2,3第六節(jié)：無窮小與無窮大1、無窮小如果函數(shù)f(x)當(dāng) x x0(或 x)時(shí)的極限為零那么稱函數(shù)f(x)為當(dāng) x x0(或 x )時(shí)的無窮小特別地 以零為極限的數(shù)列 xn稱為n 時(shí)的無窮小例如11因?yàn)?lim 0 所以函數(shù)為當(dāng) x 時(shí)的無窮小xxx因?yàn)?lim(x 1) 0 所以函數(shù)為x 1 當(dāng) x 1 時(shí)的無窮小x111因?yàn)?lim 0 所以數(shù)列 為當(dāng) n 時(shí)的無窮小n n1n1討論 很小很小的數(shù)是否是無窮??？0 是否為無窮小？提示 無窮小是這樣的函數(shù)在 x x0(或 x)的過程中極限為零很小很小的數(shù)只要它不是零作為常數(shù)函數(shù)在自變量的任何變化過程中其極限就是這個(gè)常數(shù)本身不會(huì)為零無窮

31、小與函數(shù)極限的關(guān)系定理 1 在自變量的同一變化過程定理 1 在自變量的同一變化過程x x0(或x)中 函數(shù) f(x)具有極限A的充分必要條件是f(x) A其中 是無窮小證明 設(shè) lim f (x) A 證明 設(shè) lim f (x) A 0 x x00 使當(dāng) 0 |x x0|時(shí) 有 |f(x) A|令 f(x) A 則 是 x x0時(shí)的無窮小且 f(x) A 這就證明了f(x)等于它的極限A與一個(gè)無窮小之和反之 設(shè) f(x) A 其中 A 是常數(shù)是 xx0時(shí)的無窮小于是 |f(x) A| | |因 是 xx0 時(shí)的無窮小00 使當(dāng) 0 |x x0|有 | | 或 |f(x) A| 這就證明了A

32、是 f(x) 當(dāng) xx0時(shí)的極限簡(jiǎn)要證明令 f(x) A 則 |f(x) A| | |如果00 使當(dāng) 0 |x x0|有 f(x) A| 就有 | |反之如果00 使當(dāng) 0 |x x0|有 | | 就有 f(x) A|這就證明了如果A 是 f(x) 當(dāng) xx0時(shí)的極限則 是 x x0時(shí)的無窮小如果 是 x x0時(shí)的無窮小則 A 是 f(x) 當(dāng)xx0 時(shí)的極限類似地可證明x 時(shí)的情形1 x311例如 因?yàn)? x112x31 x311例如 因?yàn)? x112x322x3而 lim 0 所以 limx2x3x2x32、無窮大如果當(dāng) x x0(或x)時(shí) 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值|f(x)|無限增大就稱函數(shù)

33、f(x)為當(dāng)xx如果當(dāng) x x0(或xlim f(x)(或 lim f (x)x x0 x應(yīng)注意的問題當(dāng) x x0(或 x)時(shí)為無窮大的函數(shù)f(x) 按函數(shù)極限定義來說極限是不存在的但為了便于敘述函數(shù)的這一性態(tài)我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”并記作lim f (x)(或 lim f(x) )x x0 x討論 無窮大的精確定義如何敘述？很大很大的數(shù)是否是無窮大?提示 lim f (x) M 00 當(dāng) 0 |x x0 | 時(shí) 有 |f(x)| M 正無窮大與負(fù)無窮大x x0lim f(x)lim f(x)x x0 x x0(x )(x )例 2 證明 lim1x證 因?yàn)?M 01 當(dāng) 0 |x 1|

34、 時(shí) 有Mx11所以 limx 1x 1111提示 要使 | M 只要 例 2 證明 lim1x證 因?yàn)?M 01 當(dāng) 0 |x 1| 時(shí) 有Mx11所以 limx 1x 1111提示 要使 | M 只要 |x 1|x 1 |x 1|M鉛直漸近線如果 lim f (x)x x0鉛直漸近線則稱直線x x0 是函數(shù)y f(x)的圖形的鉛直漸近線1例如 直線 x 1 是函數(shù) y 的圖形的 x13、無窮小與無窮大的關(guān)系定理(無窮大與無窮小之間的關(guān)系) 在自變量的同一變化過程中如果f(x)為無窮大則 1 為無窮小反之 如果 f(x)f(x)為無窮小且 f(x) 0 則 1 為無窮大f (x)證明1如果

35、lim f (x) 0 且 f(x) 0 那么對(duì)于x x0M0 當(dāng) 0 |x x0 | 時(shí) 有 | f(x)|1M 由于當(dāng) 0 |x x0 | 時(shí)f(x) 0 從而|1f (x)|M1所以 1 為 x x0 時(shí)的無窮大f (x)如果 limx x0f (x)1那么對(duì)于M10 當(dāng) 0 |x x0 | 時(shí) 有 | f(x)| M 即1| f(x)|所以為 x x 時(shí)的無窮小課后作業(yè)及小結(jié)：1、學(xué)習(xí)了無窮大與無窮小的概念 2、掌握無窮大與無窮小之間的關(guān)系作業(yè)： P45.4,5第七節(jié)：函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長(zhǎng)等都是連續(xù)地變化著的. 這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，

36、就是函數(shù)的連續(xù)性1、連續(xù)的概念在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個(gè)概念 增量設(shè)變量 x 從它的一個(gè)初值x1 變到終值x2，終值與初值的差x2-x 1 就叫做 變量 x 的增量 ，記為： x 即： x=x2-x 1 增量 x可正可負(fù).我們?cè)賮砜匆粋€(gè)例子：函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn) x0的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在領(lǐng)域內(nèi)從x0變到x0+ x時(shí)， 函數(shù) y 相應(yīng)地從f(x0)變到，其對(duì)應(yīng)的增量為：這個(gè)關(guān)系式的幾何解釋如下圖：現(xiàn)在我們可對(duì)連續(xù)性的概念這樣描述：如果當(dāng) x 趨向于零時(shí)，函數(shù)y 對(duì)應(yīng)的增量 y 也趨向于零，即：，那末就稱函數(shù)y=f(x) 在點(diǎn)x0處連續(xù)。函數(shù)連續(xù)性的定義：設(shè)函數(shù) y=f(x

37、)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果有稱函數(shù) y=f(x)在點(diǎn) x0處 連續(xù) ，且稱 x0為函數(shù)的y=f(x) 的 連續(xù)點(diǎn) .下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間 (a,b 內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于f(b)，即：= f(b)，那末我們就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)b 左連續(xù) . 設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間 a,b) 內(nèi)有定義，如果右極限存在且等于f(a)，即：= f(a)，那末我們就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)a 右連續(xù) .一個(gè)函數(shù)在開區(qū)間(a,b) 內(nèi)每點(diǎn)連續(xù), 則為在 (a,b) 連續(xù)，若又在a 點(diǎn)右連續(xù)，b 點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間a ， b 連續(xù)，如果

38、在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。注：一個(gè)函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，否則在此點(diǎn)不連續(xù).注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時(shí)我們可以想到若函數(shù)在某一點(diǎn)要是不連續(xù)會(huì)出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來學(xué)習(xí)這個(gè)問題：函數(shù)的間斷點(diǎn)2、函數(shù)的間斷點(diǎn)定義： 我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱之為間斷點(diǎn). 它包括三種情形： f(x)在x0無定義；： f(x)在 xx 0時(shí)無極限；： f(x)在xx0時(shí)有極限但不等于f(x0)；下面我們通過例題來學(xué)習(xí)一下間斷點(diǎn)的類型：例 1： 正切函數(shù)y=tanx 在x= /2 處沒有定義，所以點(diǎn) x= /2 是函數(shù) y=tanx 的間斷點(diǎn)，因， 我們就稱x= /2 TOC o 1-5 h z 為函數(shù) y=tanx 的 無窮間斷點(diǎn)；例 2： 函數(shù) y=sin(1/x) 在點(diǎn) x=0 處沒有定義；故當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)值在-1 與 +1 之間