最新最全易錯(cuò)題復(fù)習(xí)匯編完整版

1、易錯(cuò)題匯編一、 三角部分1. 已知 sin()3 , 且(0,)454（ I） 求 sin(或 sin2)；(II)求 tan()344解（ I）sin()(0,) ，(0,)cos()4,444,545sinsin44sin4cos()cos sin()24232 , sin2 .44425251010（ sin 2cos2212sin 21187 ）42525（II ）()()，cos(32).444544(0,),(,) ，sin().tan()4445.244321t a nt a n4解法 2：sin，(0,) ，tant a n ()410.4.471tantan342右圖為函數(shù)y

2、A sin(x) 的一段圖象 .（ I）請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)的一個(gè)解析式；（ II ）求與（ I ）中函數(shù)圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱(chēng)的函數(shù)圖象的解析式，并作出它一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖.解：（ I） T134 ,21,又 A 3,33T2y3O13x由 y1x) 的圖象過(guò) (,0),3sin(2301),（為其中一個(gè)值） .3sin(326 y3sin( 1 x)為所求 .26-333（ II ）設(shè) (x, y) 為所求函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于直線x 2 對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 ( 4x, y) ，則點(diǎn) ( 4x, y)必在函數(shù) y3sin( 1 x) 的圖象上 .1261 y3sinx) ，即 y3sin(x)(4226

3、6與 y3 sin(1) 的圖象關(guān)于直線x 2對(duì)稱(chēng)的函數(shù)圖象的解析式是 y1x) .x3sin(2626列表：作圖：y3O11x25811333331 x6023222y0-3030二、 概率3（. 文科）一輛車(chē)要直行通過(guò)某十字路口， 此時(shí)前方交通燈為紅燈，且該車(chē)前面已有 4 輛車(chē)依次在同一車(chē)道上排隊(duì)等候（該車(chē)道只可以直行或左轉(zhuǎn)行駛） . 已知每輛車(chē)直行的概率是2 ，左轉(zhuǎn)行駛的概率是 1 ，該路口紅綠燈轉(zhuǎn)換間隔時(shí)間均為13分鐘 . 假設(shè)該車(chē)道3上一輛直行的車(chē)駛出停車(chē)線需要10 秒鐘，一輛左轉(zhuǎn)的車(chē)駛出停車(chē)線需要20 秒鐘，求：I）前 4 輛車(chē)恰有 2 輛車(chē)左轉(zhuǎn)行駛的概率；II ）該車(chē)在第一次綠燈

4、亮起時(shí)的1 分鐘內(nèi)通過(guò)該路口的概率（汽車(chē)駛出停車(chē)線就算通過(guò)路口）解：（）前 4 輛恰有 2 輛左轉(zhuǎn)行駛的概率 P1C42( 2)2(1)28332722116（）該車(chē)在第一次綠燈亮起時(shí)的1 分鐘內(nèi)通過(guò)該路口的概率P2C44 () 4C43 () 3.333274.（理科）甲、乙兩人參加一次英語(yǔ)口語(yǔ)考試，已知在備選的10 道試題中，甲能答對(duì)其中的6 道題，乙能答對(duì)其中的8 道題 .規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3 題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)2 題才算合格 .（）求甲答對(duì)試題數(shù) 的概率分布及數(shù)學(xué)期望；（）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.解：（）依題意，甲答對(duì)試題數(shù)的概率分布如下： 0123131

5、1P10263013119甲答對(duì)試題數(shù) 的數(shù)學(xué)期望E=0 +1 +2 +3 = .3010265（）設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、 B，則C62C41C6360202， P(B)=C82 C21C8356 56 14P(A)=C103=C103=.120312015因?yàn)槭录?A、B 相互獨(dú)立，方法一：甲、乙兩人考試均不合格的概率為P( AB )=P( A )P( B )=（ 1 2)(114)=1.31545甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為P=1P( A B )=1 1=44.454544答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.45方法二：甲、乙兩人至少有一個(gè)考試合格的概率為BAB

6、A2111421444B)+P(AB)=P(A)P()+ P() P(B)+P(A)P(B)=+ +=.P=P(A )+P(33153151545答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為三、 立體幾何44.5. 已知矩形 ABCD 中， AB= 2 ， AD=1. 將 ABD 沿 BD 折起，使點(diǎn) A 在平面 BCD 內(nèi)的射影落在DC 上.（）求證：平面ADC 平面 BCD；（）求點(diǎn) C 到平面 ABD 的距離；（）若 E 為 BD 中點(diǎn)，求二面角B-AC-E 的大小 .DCADCABE方法 1：B（）證明：點(diǎn)A 在平面 BCD 上的射影落在DC 上，即平面 ACD 經(jīng)過(guò)平面 BCD 的垂線，

7、平面 ADC 平面 BCD.（）解：依條件可知BC DC ，又平面 ADC平面 BCD ，且平面 ADC平面 BCD CD BC平面 ACD. DA平面 ACD ， BC DA. 依條件可知 DA AB. ABBC=B ，由、得DA 平面 ABC.A設(shè)點(diǎn) C 到平面 ABD 的距離為 d， DA 平面 ABC ， DA 是三棱錐 D-ABC 的高 .G由 VC-ABD =V D-ABC，得11ABC.2dSABD =DAS解得 d=.F332DC即點(diǎn) C 到平面 ABD 的距離為2.2（）解：取 AB 中點(diǎn) F ，連 EFE 為 BD中點(diǎn) EF / AD由（）中結(jié)論可知 DA 平面 ABC ，

8、 EF平面 ABC.過(guò) F 作 FG AC ，垂足為 G，連結(jié) EG，則 GF 為 EG 在平面 ABC 的射影，EG AC EGF 是所求二面角的平面角 .EBzA在ABC 中FGAC, BCAC FG / BCFG1BC 1,又EF/ 1AD ， EF12222DCy在 Rt EFG 中容易求出 EGF=45.即二面角 B-AC-E的大小是 45.EB方法 2：（）證明：如圖，以CB 所在直線為 x 軸， DCx所在直線為 y 軸，過(guò)點(diǎn) C，平面 BDC 方向向上的法向量為Z 軸建立空間直角坐標(biāo)系.所以 C(0，0， 0)， B(1， 0， 0)， D(0，2 ， 0)，設(shè) A(0, y,

9、 z)點(diǎn) A 在平面 BCD 上的射影落在DC 上，由DA AB 0且|DA| 12 yy2z20.,得22 y1z2y 20點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 A(0 ，22，).2n1=(0， 0， 1)是平面 BCD 的一個(gè)法向量 .而 CB =(1， 0， 0)是平面 ADC 的一個(gè)法向量 .n1CB = (0 ， 0，1) (1， 0， 0)=0 ，平面 ACD 平面 BCD .（）解：設(shè)點(diǎn)C 到平面 ABD 的距離為 d， AC =(0，2， -2)， AB =(1 ，2 ，2)， AD =(0 ，2，2)，222222容易求出平面ABD 的一個(gè)法向量為n2=(-2 ，1，-1) .0222 d=|

10、 AC |cos|=|122|=.12112即點(diǎn) C 到平面 ABD 的距離為2.2（）解：BA = (-1 ，-2 ，2) ， CB =(1， 0， 0)，22容易求出平面ABC 的一個(gè)法向量為n3= (0 ， 1， 1) .又 A(0 ，-2 ，2)，E(1 ， -2 ，0)， AE = (1 ，0，-2).222222容易求出平面AEC 的一個(gè)法向量為n4= (2 ，2 ，2 ) . n3n4=0+2 +2 =22 ， | n3|= 2 ，| n4|=22 ， cos=n3n42 22n3n4222=.2二面角 B-AC-E 的大小是 45.6* . 如圖，已知正三棱柱 ABC-A1B1

11、C1的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為1， M 是底面 BC 邊上的中點(diǎn)， N 是側(cè)棱CC1 上的點(diǎn)，且 CNNC1.（）求證： AM面 BCC1B1 ；（或若 E 為 AB1 的中點(diǎn)，求證：EM / 平面 AA1C1 C .）（）若二面角B AMN 的平面角的余弦值為5 ，求的值；15（）在第（）的前提下，求點(diǎn)B1 到平面 AMN 的距離 .解法 1：（）因?yàn)?M 是底面 BC 邊上的中點(diǎn)，且AB=AC，所以 AMBC，在正三棱柱ABC -A1B1C1中， CC1底面 ABC ,AMCC1又 CC1BCC .所以 AM平面BCC1 B1.(或：連結(jié) A1C ，EM / A1C又EM平面 A1C ,EM

12、/ 平面 A1C .)（ II ）因?yàn)?AM平面 BCC 1 B1A1且 B1M平面 BCC 1B1，NM平面 BCC 1B1B1C 1 AMB1M, AMNM ，NB1 MN 為二面角 B1 AMN 的平面角 .Acos B MN5，設(shè)CN=x ，則CN=1 x5BMC又 B1M=B1B2BM 2115,MN =1(1x) 2 ,424連 B1N，得 B1N 1x2 ，51(1x) 2(1x2 )5在B1 MN 中，由余弦定理得44,25 1(1x) 2524得 x = 1.故=2.3（ III）過(guò) B 在面 BCCB內(nèi)作直線 BHMN ，為垂足 .又AM1111H平面 BCC1B1 ，所以

13、 AMB1H.于是 B1H平面 AMN ，故 B1 H 的長(zhǎng)即為 B1到平面 AMN的距離 .在 RtB1 HM 中，B1 H B1 M sin B1MH5111.故點(diǎn) B1 到平面 AMN 的距離為 1.25解法 2：（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B1（0，0，1），M （0，1 ，0）,2C(0,1,0), A (3 , 1 ,0 )，設(shè) N (0,1,a),所以，22AM(3 ,0,0) ， MB1(0,1 ,1) ,MN0, 1 , a222因?yàn)?MB1AM300 (1 )0 1 0所以 MB1AM ,同法可得 MN AM .22又 MNMB1M 故AM面 BC C1 B1.(I

14、I) 由（）知MB1, MN 為二面角 B1 AM N 的平面角 ,以下同法一 .( )設(shè) n=(x,y,z)為平面 AMN 的一個(gè)法向量，則由nAM , nMN 得，由 (II)知 MN0,1,2233x0 x042故可取 n0,4 .y,11 y2 z0z3323| MB1 n |5B1 到平面 AMN 的距離為 d31| n |53四、 解不等式7. 已知集合 A x | (x2) x (3 a1) 0 ， B x |x2a0 .x ( a21)（ I）當(dāng) a2時(shí)，求 AB；（II ）求使 B A 的實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .解：（ I）當(dāng) a2 時(shí)， A（ 2， 7）， B（ 4， 5）

15、 AB（ 4， 5）（ II ）解集合 B x |x2a0 ，a212ax (a21)當(dāng) a1，則 B=；當(dāng) a1，則 B（ 2a， a2 1），解集合 A x |( x2) x(3a1) 0當(dāng) a 1 時(shí)， A（ 3a 1， 2）；當(dāng) a 1 時(shí)， A；當(dāng) a 1 時(shí)， A（ 2， 3a1）；333要使 BA，當(dāng) a1，則 B= ,BA 成立；當(dāng) a1 ，則 B（ 2a，a2 1），當(dāng) a 1 時(shí)， A（ 3a 1， 2）要使 BA，必須2a3a1， 此時(shí) a 1；3a212當(dāng) a 1 時(shí)， A，而 B，故使 BA 的 a 不存在；3當(dāng) a 1 且 a1時(shí)， A（ 2， 3a 1），要使 B

16、A ，必須2a2， 此時(shí) 1 a3.a213a31綜上可知，使 BA 的實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 a |1 a3或 a18.* (理 )已知不等式： loga (a1)log 1 | x3|loga2( a 1)x-ax21 -x23x22x2mx10 -（ I）分別求不等式的解集 .（ II ）若同時(shí)滿(mǎn)足的x 的值也滿(mǎn)足不等式，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍 .（ III ）若滿(mǎn)足不等式的x 的值至少滿(mǎn)足中的一個(gè),求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 .(文 ) 已知不等式： x1 2 x21 -x23x22x2mx10 -（ I）分別求不等式的解集 .（ II ）若同時(shí)滿(mǎn)足的x 的值也滿(mǎn)足不等式，求實(shí)數(shù)m 的取值范

17、圍 .（ III ）若滿(mǎn)足不等式的x 的值至少滿(mǎn)足中的一個(gè),求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 .解： (I)的解集為 A= x| 1 x3( 理，且 x0)I的解集為 B=x | 0 x1或 2x4（II）由（ 1）: A B x | 0 x 1, 或 2x3, AB x |1x4 知要滿(mǎn)足題意的要求，則方程2x2+mx 1=0 的一根小于等于0（文：小于0），另一根大于等于 3.2+mx1，則f ( 0)0m17 （文f (0)0m17 ）設(shè) f(x)= 2xf (3)0f (3)033（ III ）要滿(mǎn)足題意的要求，則方程22x +mx1=0 的兩根應(yīng)在區(qū)間 (1， 4上 .設(shè) f(x) = 2x2

18、+mx 1， 拋物線開(kāi)口向上且f(0) 10, 故0則f ( 1)0311 .f (4)0mm444五、 數(shù)列9.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 an ， a1a(a 2) ， an 1an2其中 nN* ，2(an1)（ I）證明 an2；（ II ）設(shè) bnan，試證明 bn 1bn2 ；an2（ III ）若數(shù)列 cn 滿(mǎn)足 cnlg bn ，求數(shù)列 cn 的前 n 項(xiàng)和 Sn .（ I）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng) n1 時(shí)，由條件知a1a2 ，故命題成立；假設(shè)當(dāng) nk (kN* ) 時(shí)，有ak2 成立那么當(dāng) nk1時(shí)， ak 12ak22(ak2)22(ak0 故命題成立2( ak 1)1)綜

19、上所述，命題 an2對(duì)于任意的正整數(shù)n 都成立 .an2（ II ） bn 1an 12(an1)an22an 12224an4bnan2an2(an1)（III ）cn1 lg bn1lg bn22cn且 c1lga0aa2數(shù)列 cn 是以 c12 為公比的等比數(shù)列 .lg為首項(xiàng)，以a2Sn(2n1) lga.a210. 已知數(shù)列 a1 , a2 , a30 ，其中 a1 , a2 , a10 是首項(xiàng)為 1，公差為 1 的等差數(shù)列； a10 , a11 ,a20 是公差為 d 的等差數(shù)列； a20 , a21 , a30 是公差為 d 2 的等差數(shù)列（d0 ）.（ I）若 a2040 ，求

20、d ；（ II ）試寫(xiě)出 a30關(guān)于 d 的關(guān)系式，并求a30 的取值范圍；解 : （I） a1010.a201010d40,d3 .（ II ） a30a2010d 210 1d d 2(d0) ，a3010d123，24當(dāng) d(, 0 )( 0,) 時(shí)， a307.5,.六、 解析幾何已知三點(diǎn) P（ 5， 2）、 F1 （ 6， 0）、 F2 （ 6， 0） .（）求以F1 、 F2 為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P 的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)點(diǎn)P、 F1、 F2關(guān)于直線 y x 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為P 、 F1 、 F2 ，求以 F1 、 F2 為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 .解：（ I）由題意，可設(shè)所求橢

21、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y 21 (a b0) ，其半焦距 c 6 .a2+2b2a | PF1 | | PF2 |1122 212226 5 ， a3 5 ，b2a2c245 369 ，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x 2+ y21 ；459（ II ）點(diǎn) P（ 5，2）、 F1 （ 6， 0）、 F 2 （ 6， 0）關(guān)于直線y x 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為：P (2,5) 、 F1 （ 0，-6）、 F2 （ 0， 6）設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2x21( a10, b10) ，由題意知半焦距c1 6 ，a12b122a1| PF1| | P F2 |11222122 24 5 ， a12 5 ，22a12y2

22、x 2b1c136 2016 ，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.201612.已知定點(diǎn) F (a,0) (a0), 點(diǎn) P 在 y 軸上運(yùn)動(dòng)， M 在 x 軸上， N 為動(dòng)點(diǎn)，且PMPF0, PNPM0;（）求點(diǎn)N 的軌跡 C 的方程；（）過(guò)點(diǎn) F (a,0) 的直線 l（不與 x 軸垂直）與曲線C 交于 A ， B 兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) K ( a,0) ， KA與 KB 的夾角為 ，求證： 0.2解：（） N ( x, y), M (x0 ,0), P( 0, y0 ), PM (x0 ,y0 ), PF(a,y0 ), PN(x, y y0 ).由 PMPF0,得 ax0y020 xx00,x0 x,

23、PNPM0， 得 ( xx0 , y2 y0 )0，即yy2 y0即并代入，0,y0,2得 y 2 4ax 即為所求 .（）過(guò)點(diǎn) F (a,0) 的直線 l（不與 x 軸垂直）與曲線C 交于 A，B 兩點(diǎn)設(shè) l 的方程為 yk (x a) 且 k 0由 y 24ax消去 y，得 k 2 x22ak 24a xk 2 a20yk x a設(shè) A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 則 x1 x22a4a4a2k 2 ,y1 y2x1 x2a2KA ( x1 a, y1 ), KB( x2a, y2 ),KA KB x1 x2 a( x1x2 )a2y1 y2a2a (2 a4a24

24、a24a2k2 ) ak2 0 (k 0) .KA KB0,0.cos2|KA| |KB|七、 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)13.已知函數(shù) yf ( x) 和 yg( x) 的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，且 f ( x)2x24x（ I）求函數(shù) yg( x) 的解析式；（ II ）解不等式f ( x)g ( x)| x1| ；2解：（ I ）設(shè)點(diǎn) P( x, y) 為函數(shù) y g (x) 的圖象上任意一點(diǎn)，則點(diǎn) P 關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 P ( x, y) ，因?yàn)楹瘮?shù)yf ( x) 和 yg ( x) 的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)P ( x, y) 一定在函數(shù)yf (x) 圖象上，代入得y2x24x ，所以 g(x)

25、2x24 x .（ II ） f ( x)g ( x)| x1|222x1x12x2 | x 1|2x x 1或 2x 1 x21 x1 .x或x10 x10112x所以不等式的解集為 1,1214.如圖，等腰梯形 ABCD 的三邊 AB , BC , CD 分別與函數(shù) y1x22 ， x2,2 的圖象切于點(diǎn)P,Q , R .求梯形 ABCD 面積的最小值 .2解 :設(shè)梯形 ABCD 的面積為 s ，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (t,1 t22)(0 t 2) .2由題意得，點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 (0, 2) ，直線 BC 的方程為 y2 .y1 x22,yxy |x tt2直線 AB 的方程為 y (1

26、t 22)t( xt ),1 t 22即： ytx22令 y 0 得，令 y 2 得，xt 24t 242t,A(,0).2tx1 tB( 1 t,2)22S 2SOABQ2 1( 1 tt 24 ) 22(t2 )4 22222tt，即 t2 時(shí)，取 “ =且”20,2，當(dāng)且僅當(dāng) tt2 時(shí)， S有最小值為 4 2 .梯形 ABCD 的面積的最小值為42 .八、應(yīng)用題15.某機(jī)床廠今年年初用98 萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)數(shù)控機(jī)床，并立即投入生產(chǎn)使用，計(jì)劃第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用12萬(wàn)元，從第二年開(kāi)始，每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4 萬(wàn)元，該機(jī)床使用后，每年的總收入為萬(wàn)元，設(shè)使用x 年后數(shù)控機(jī)床的盈利額

27、為y 萬(wàn)元 .50I）寫(xiě)出 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；II ）從第幾年開(kāi)始，該機(jī)床開(kāi)始盈利（盈利額為正值）III ）使用若干年后，對(duì)機(jī)床的處理方案有兩種：（ 1）當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以30 萬(wàn)元價(jià)格處理該機(jī)床；（ 2）當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以12 萬(wàn)元價(jià)格處理該機(jī)床 .問(wèn)用哪種方案處理較為合理？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（ I）依題得： y 50 x12 xx( x 1)4982x240 x98.(x N * )2（ II ）解不等式2x240 x980, 得 :1051 x1051x N * ,3x17, 故從第 3年開(kāi)始盈利。y2x409898402 29812（ III ）（ 1）40

28、 (2 x)xxx98當(dāng)且僅當(dāng) 2x時(shí)，即 x=7 時(shí)等號(hào)成立 .x到 2015 年，年平均盈利額達(dá)到最大值，工廠共獲利127+30 114 萬(wàn)元 .（ 2） y2x240 x98( x10)2102,當(dāng) x10時(shí)， y max102故到 2018 年，盈利額達(dá)到最大值，工廠獲利102+12 114 萬(wàn)元因?yàn)橛~達(dá)到的最大值相同，而方案所用的時(shí)間較短，故方案比較合理.16*. 甲、乙兩人用農(nóng)藥治蟲(chóng)，由于計(jì)算錯(cuò)誤，在A 、 B 兩個(gè)噴霧器中分別配制成12%和 6%的藥水各 10千克，實(shí)際要求兩個(gè)噴霧器中的農(nóng)藥的濃度是一樣的，現(xiàn)在只有兩個(gè)容量為1 千克的藥瓶，他們從 A 、 B兩個(gè)噴霧器中分別取1 千克的藥水， 將 A 中取得的倒入 B 中， B 中取得的倒入 A 中，這樣操作進(jìn)行了 n 次后， A 噴霧器中藥水的濃度為an %， B 噴霧器中藥水的濃度為bn % （）證明 an