專題4-6-導(dǎo)數(shù)大題（恒成立問題3）-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練

1、專題4.6導(dǎo)數(shù)大題（恒成立問題3）1已知函數(shù)，（1）若，證明：；（2）若，求的取值范圍解：（1）證明：若，則，即證，只需證，設(shè)，則，顯然在，上恒成立，在，上單增，在，上單增，即得證；（2）令，依題意，對任意，恒成立，則，解得，又在，上恒成立，顯然成立，在上恒成立，即，解得，故；下面證明：當(dāng)時，在，上恒成立，令，則，（a），（a）在，上單減，則，由（1）知，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，故在，上恒成立，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，2已知函數(shù)，（）當(dāng)時，求證：在上單調(diào)遞增；（）當(dāng)時，求的取值范圍解：（）證明：當(dāng)時，則，又在上單調(diào)遞增，且，且（1），使得，當(dāng)時，當(dāng)，時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞

2、增；（）當(dāng)時，問題等價于（記為在，上恒成立，令，（1），要使式在，上恒成立，則必須（1），下面證明當(dāng)時，在，上恒成立，又，當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，（1），即式在，上恒成立，故的取值范圍為，3已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1）的定義域是，當(dāng)時，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增；分當(dāng)時，令，得，在，上有，在，上有，在，上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)分（2）當(dāng)時，即令，則，若，由（1）知，當(dāng)時，在上是增函數(shù)，故有，即，得，故有（由（1）可判斷，此不等式為常見不等式，熟記更利于解題）（當(dāng)且僅當(dāng)，即，且時取等號）函數(shù)在，單調(diào)遞增，式成立分若，令則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立在區(qū)間，上單調(diào)遞增

3、，使得，則當(dāng)時，即，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，即，式不恒成立綜上所述，實(shí)數(shù)的范圍是，分4已知函數(shù)，（）當(dāng)時，求證：；（）若不等式在，上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍（）證明：令，（1）當(dāng)時，因?yàn)?，所以在，上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以；（2）當(dāng)時，則，所以綜上所述，當(dāng)時，（）解：令，則，由題意得在，上恒成立，因?yàn)?，所以，所以，下證當(dāng)時，在，上恒成立，因?yàn)?，令，只需證明在，上恒成立，（1）當(dāng)時，因?yàn)樵?，上單調(diào)遞減，所以，所以在，上單調(diào)遞減，所以，所以在，上單調(diào)遞減，所以；（2）當(dāng)時，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，5已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：為自然對

4、數(shù)的底數(shù)）恒成立解：（1）的定義域?yàn)?，分?dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；分當(dāng)時，令，得到所以，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時，則在，上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減分（2）證明：記函數(shù)，則，分易知在上單調(diào)遞增，又由（1），（2）知，在上有唯一的實(shí)數(shù)根，分且，則，即，分當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)，時，則在，上單調(diào)遞增，所以，結(jié)合，知，分所以，分則，即，所以為自然對數(shù)的底數(shù)）恒成立分6已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，（1）若對任意的，總存在，使得，求的取值范圍；（2）若函數(shù)的圖象始終在函數(shù)的圖象上方，求的取值范圍解：（1）對任意的，總存在，使得，在，上單調(diào)遞增，（1），時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，（1），解得時，不成立，舍去時，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，而，舍去綜上可得：的取值范圍是，（2）函數(shù)的圖象始終在函