蘇教版九年級下冊數(shù)學(xué)(用相似三角形解決問題-知識點整理及重點題型梳理)(基礎(chǔ))

1、蘇教版九年級下冊數(shù)學(xué)重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習(xí)用相似三角形解決問題知識講解（基礎(chǔ)） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.以分析實際例子為背景，認識平行投影和中心投影的基本概念與性質(zhì)；2.通過典型實例認識現(xiàn)實生活中物體的相似，能運用圖形相似的知識解決一些簡單的實際問題（如何把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題）.【要點梳理】要點一、平行投影1.一般地，用光線照射物體，在某個平面(地面或墻壁等)上得到的影子，叫做物體的投影.只要有光線，有被光線照到的物體，就存在影子.太陽光線可看做平行的，象這樣在平行光的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為平行投影.由此我們可得出這樣兩個結(jié)論：(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在太陽

2、光下，它們的影子一樣長.(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.2. 物高與影長的關(guān)系（1）在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西西北北東北東，影長也是由長變短再變長.（2）在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例.即：利用上面的關(guān)系式可以計算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.注意：利用影長計算物高時，要注意的是測量兩物體在同一時刻的影長.要點詮釋：1平行投影是物體投影的一種，是在平行光線的照射下產(chǎn)生的.利用平行投影知識解

3、題要分清不同時刻和同一時刻.2物體與影子上的對應(yīng)點的連線是平行的就說明是平行光線.要點二、中心投影若一束光線是從一點發(fā)出的，在點光源的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為中心投影.這個“點”就是中心，相當(dāng)于物理上學(xué)習(xí)的“點光源”.生活中能形成中心投影的點光源主要有手電筒、路燈、臺燈、投影儀的燈光、放映機的燈光等.相應(yīng)地，我們會得到兩個結(jié)論：(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長.(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示.一般情況下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還短.在中心投影的情況下，還有

4、這樣一個重要結(jié)論：點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對應(yīng)點在同一條直線上，根據(jù)其中兩個點，就可以求出第三個點的位置.要點詮釋： 光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側(cè).要點三、中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系1.聯(lián)系：（1）中心投影、平行投影都是研究物體投影的一種，只不過平行投影是在平行光線下所形成的投影，通常的平行光線有太陽光線、月光等，而中心投影是從一點發(fā)出的光線所形成的投影，通常狀況下，燈泡的光線、手電筒的光線等都可看成是從某一點發(fā)射出來的光線.（2）在平行投影中，同一時刻改變物體的方向

5、和位置，其投影也跟著發(fā)生變化；在中心投影中，同一燈光下，改變物體的位置和方向，其投影也跟著發(fā)生變化.在中心投影中，固定物體的位置和方向，改變燈光的位置，物體投影的方向和位置也要發(fā)生變化.2.區(qū)別：（1）太陽光線是平行的，故太陽光下的影子長度都與物體高度成比例；燈光是發(fā)散的，燈光下的影子與物體高度不一定成比例.（2）同一時刻，太陽光下影子的方向總是在同一方向，而燈光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.要點詮釋：在解決有關(guān)投影的問題時必須先判斷準確是平行投影還是中心投影，然后再根據(jù)它們的具體特點進一步解決問題.要點四、相似三角形的應(yīng)用1.測量高度測量不能到達頂部的物體的高度，通常使用“在同一

6、時刻物高與影長的比例相等”的原理解決.【課程名稱：相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用 394500：應(yīng)用舉例及總結(jié)】要點詮釋：測量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測量法 影子測量法 手臂測量法 標(biāo)桿測量法2.測量距離測量不能直接到達的兩點間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解。 1如甲圖所示，通?？上葴y量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長度），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出AB的長. 2如乙圖所示，可先測AC、DC及DE的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算AB的長. 要點詮釋：1比例尺：表示圖上距離比實地距離縮小的程度，比例尺=；2太陽離我們非常遙遠，因此可以把太陽光近似看成平行光線在同一時刻，兩物體影子之比等于其

7、對應(yīng)高的比；3視點：觀察事物的著眼點（一般指觀察者眼睛的位置）；4. 仰（俯）角：觀察者向上（下）看時，視線與水平方向的夾角【典型例題】類型一、投影的應(yīng)用1（2015秋無錫校級月考）如圖，小華在晚上由路燈A走向路燈B當(dāng)他走到點P時，發(fā)現(xiàn)他身后影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部；當(dāng)他向前再步行12m到達點Q時，發(fā)現(xiàn)他身前影子的頂部剛好接觸到路燈B的底部已知小華的身高是1.6m，兩個路燈的高度都是9.6m，且AP=QB（1）求兩個路燈之間的距離（2）當(dāng)小華走到路燈B的底部時，他在路燈A下的影長是多少？【思路點撥】（1）如圖1，先證明APMABD，利用相似比可得AP=AB，再證明BQNBAC，利用相似

8、比可得BQ=AB，則AB+12+AB=AB，解得AB=18（m）；（2）如圖1，他在路燈A下的影子為BN，證明NBMNAC，利用相似三角形的性質(zhì)得=，然后利用比例性質(zhì)求出BN即可【答案與解析】解：（1）如圖1，NMBD，APMABD，=，即=，AP=AB，F(xiàn)QAC，BNFBAC，=，即=，BQ=AB，而AP+PQ+BQ=AB，AB+12+AB=AB，AB=18答：兩路燈的距離為18m；（2）如圖2，他在路燈A下的影子為BN，BMAC，NBMNAC，=，即=，解得BN=3.6答：當(dāng)他走到路燈B時，他在路燈A下的影長是3.6m【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三

9、角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決舉一反三【變式】（2014秋昆明校級期末）已知：如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB=5m，某一時刻，AB在陽光下的投影BC=4m（1）請你在圖中畫出此時DE在陽光下的投影；（2）在測量AB的投影長時，同時測出DE在陽光下的投影長為6m，請你計算DE的長【答案】解：（1）作法：連接AC，過點D作DFAC，交直線BE于F，則EF就是DE的投影（畫圖（1分），作法1分）（2）太陽光線是平行的，ACDFACB=DFE又ABC=DEF=90，ABCDEF=，AB=5m，BC=4m，EF=6m，DE=7.5（m）2如圖，王琳同學(xué)在

10、晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)他行到P處時發(fā)現(xiàn)，他在路燈B下的影長為2米，且恰好位于路燈A的正下方，接著他又走了6.5米到Q處，此時他在路燈A下的影子恰好位于路燈B的正下方（已知王琳身高1.8米，路燈B高9米）（1）標(biāo)出王琳站在P處在路燈B下的影子；（2）計算王琳站在Q處在路燈A下的影長；（3）計算路燈A的高度【答案與解析】解：（1）線段CP為王琳在路燈B下的影長；（2）由題意得RtCEPRtCBD，解得：QD=1.5米；（3）RtDFQRtDAC，解得：AC=12米答：路燈A的高度為12米【總結(jié)升華】此題考查的是中心投影；相似三角形的應(yīng)用類型二、相似三角形的應(yīng)用3. 如圖，我們想要測量河兩岸相對

11、應(yīng)兩點A、B之間的距離(即河寬) ，你有什么方法？ 【答案與解析】如上圖，先從B點出發(fā)與AB成90角方向走50m到O處立一標(biāo)桿，然后方向不變，繼續(xù)向前走10m到C處，在C處轉(zhuǎn)90，沿CD方向再走17m到達D處，使得A、O、D在同一條直線上那么A、B之間的距離是多少？解：ABBC，CDBCABO=DCO=90又 AOB=DOCAOBDOC.BO=50m，CO=10m，CD=17mAB=85m 即河寬為85m【總結(jié)升華】這是一道測量河寬的實際問題，還可以借用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，比例式中四條線段，測出了三條線段的長，必能求出第四條.4. 如圖：小明欲測量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時他距離該塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影長是2 m(1)圖中ABC與ADE是否相似?為什么? (2)求古塔的高度【思路點撥】本題考查的是相似三角形的實際應(yīng)用，要注意的是小明和古塔都與地面垂直，是平行的.【答案與解析】(1)ABCADE BCAE，DEAE，ACB=AED=90 A=A，ABCADE (2)由(1)得ABCADE AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m， DE=16m 即古塔的高度為16m?！究偨Y(jié)升華】解決相似三角形的實際應(yīng)用題的關(guān)鍵是題中相似三角形的確定.舉一反三【變式】