近代量子力學(xué)疑難問題

1、近代量子力學(xué)疑難問題第1頁，共19頁，2022年，5月20日，18點56分，星期三1 第 二 講無限深方阱中粒子動量波函數(shù)的爭論 第2頁，共19頁，2022年，5月20日，18點56分，星期三2目 錄一，Pauli 和 Landau 的矛盾“量子力學(xué)的 數(shù)學(xué)是錯的”？！二，無限深方阱模型及基態(tài)動量波函數(shù) 1）無限深方阱模型 2）兩種基態(tài)動量波函數(shù)表達(dá)式三，矛盾分析與結(jié)論四，設(shè)想實驗的佐證五，問題的根源附錄第3頁，共19頁，2022年，5月20日，18點56分，星期三3一， Pauli 和 Landau 的矛盾 “量子力學(xué)的數(shù)學(xué)是錯的”？ ！ 最簡單的勢阱束縛態(tài)模型，一種近似數(shù)學(xué)模寫： 勢能不可

2、能真為無限大，也不會嚴(yán)格的階躍。 此模型的動量波函數(shù)先由Pauli，后由Landau等人給出了不同的結(jié)果。此后，這個模型動量波函數(shù)及其衍生問題先在國外少數(shù)學(xué)者中有過討論，接著被引進(jìn)國內(nèi)。近數(shù)年有過不大不小的爭論，并還導(dǎo)致嚴(yán)重誤解： “中國數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)物理學(xué) 量子力學(xué)邏輯自相矛盾” “文匯報”1997年12月10日，頭版重要通訊報導(dǎo)。以及不少文章、著作對量子力學(xué)的否定或曲解。 第4頁，共19頁，2022年，5月20日，18點56分，星期三4第5頁，共19頁，2022年，5月20日，18點56分，星期三5二，無限深方阱模型及基態(tài)動量波函數(shù) 1）無限深方阱模型 相應(yīng)的一維Schrdinger方程，Sc

3、hrdinger方程應(yīng)當(dāng)定義在整個 x 軸上。分為三個區(qū)域 ： 第 I 、 III 區(qū) V(x)=+。邊界條件(x)0 (|x|a) ； 求解坐標(biāo)波函數(shù)只需對第 II 區(qū)進(jìn)行。 有時這種邊界條件被簡單地寫為(x)0 (|x|=a)。這時對阱外情況未作規(guī)定，提法含混。矛盾即源生于此處7： 坐標(biāo)波函數(shù)邊條件這兩種不同提法，不影響求解阱內(nèi)坐標(biāo)波函數(shù)，但卻影響阱內(nèi)粒子動量波函數(shù)！第6頁，共19頁，2022年，5月20日，18點56分，星期三6 阱中粒子能級和波函數(shù)為將正弦波函數(shù)n(x)用復(fù)指數(shù)表示，并近似配以exp(-iEnt/h)僅就阱內(nèi)說，阱中粒子波函數(shù)是兩個反向傳播的de Broglie行波疊加

4、而成的駐波，類似于兩端固定的一段弦振動。 但這種說法雖然形象卻是近似的！ 因為這兩個行波僅僅存在于有限區(qū)間-a, a內(nèi)， 有限長度光波波列不會是嚴(yán)格單色波（5，也見4）。第7頁，共19頁，2022年，5月20日，18點56分，星期三7 2）兩種基態(tài)動量波函數(shù)表達(dá)式 坐標(biāo)波函數(shù)邊界條件設(shè)定的分歧 Landau 和Pauli 等人給出了不同結(jié)果。由此引發(fā)了混亂。 Pauli 等人求解1、2。求解基態(tài)粒子的動量波函數(shù)1(p)時，直接采用前面n=1基態(tài)兩個“單色波”的兩個“動量”。表明：阱中粒子動量譜是兩個（此式實際對應(yīng)全實軸相向運動的）單色de Broglie波疊加而成的駐波。第8頁，共19頁，20

5、22年，5月20日，18點56分，星期三8 L.D.Landau 等人做法3、5：將上面定義在全實軸上的基態(tài)坐標(biāo)波函數(shù)作富里葉積分變換，便得到無限深方阱中粒子的動量波函數(shù)1(p)：代入1(x)表達(dá)式，注意阱外1(x)為零，即得阱中粒子動量概率是連續(xù)分布 兩種結(jié)果很不同！ 那個正確？！ 兩個都對？ 兩個都錯？ 按幾年來文獻(xiàn)討論情況，4 種觀點全有表述，分歧明顯、爭論熱烈 6。第9頁，共19頁，2022年，5月20日，18點56分，星期三9三，矛盾分析與結(jié)論7 按QM基本原理，波函數(shù)、動量算符及Schrdinger方程都應(yīng)當(dāng)定義在整個（空間）實軸上，而不是只定義在（有限空間的）勢阱內(nèi)。事實上， 正

6、確的邊界條件應(yīng)當(dāng)是 (x)0(|x|a)； 而不是 (x)0(|x|=a)。 如果相反，認(rèn)為邊界條件可以用后者，并認(rèn)為物理量算符可以“只”定義在勢阱|x|a 內(nèi)，這不僅會給QM基本原理解釋以及很多算符（比如，動量算符及相關(guān)的動能算符、軌道角動量算符等）厄密性、完備性帶來許多不必要的混亂和麻煩，理論處理很煩瑣；而且動量波函數(shù)的解有兩種了結(jié)果！ 邊界條件的兩種不同提法，對求解阱內(nèi)坐標(biāo)波函數(shù)沒甚么影響，因為阱內(nèi)坐標(biāo)波函數(shù)是定域解； 但對求解阱內(nèi)粒子的動量波函數(shù)卻有影響。第10頁，共19頁，2022年，5月20日，18點56分，星期三10問題的關(guān)鍵是： 不象坐標(biāo)波函數(shù)是定域的， 動量波函數(shù)是非定域的！

7、即 阱內(nèi)動量波函數(shù)分布不僅僅依賴于阱內(nèi)坐標(biāo)波函數(shù)的形狀，而且依賴于阱外坐標(biāo)波函數(shù)的形狀。換句話說，它還取決于對阱外坐標(biāo)波函數(shù)的處理坐標(biāo)波函數(shù)邊界條件的正確擬定。第11頁，共19頁，2022年，5月20日，18點56分，星期三11 Pauli 錯誤處理了阱外坐標(biāo)波函數(shù)：由于并不影響阱內(nèi)坐標(biāo)波函數(shù)求解，含糊的“兩端點為零”邊界條件被下意識地推廣為“周期零點”邊界條件，得到了坐標(biāo)波函數(shù)的周期解。 Pauli解正是此周期解的動量分布這等于將阱內(nèi)坐標(biāo)波函數(shù)向全實軸作了周期性延拓。此周期解的阱外部分顯然不符合現(xiàn)在阱外要求，其動量分布當(dāng)然也就不符合阱內(nèi)現(xiàn)在問題。 可證（見后面附錄）： 當(dāng)比值 很大（或n很大

8、）向經(jīng)典趨近時， Landau 解將逐漸演變?yōu)镻auli 解。這充分說明 Pauli 解是對大阱寬、高激發(fā)態(tài)時的近似解。顯然，指數(shù)上的量nh/2a 也不是嚴(yán)格的物理動量（特別當(dāng)a 或n 較小時）。第12頁，共19頁，2022年，5月20日，18點56分，星期三12四，設(shè)想實驗的佐證 一塊無窮大并足夠厚的平板，取厚度方向為z軸，板上沿y方向開一條無限長的縫，沿x軸的縫寬為2a。電子束由板的下方入射。分離掉電子在y和z方向的自由運動，單就電子在x方向運動而言，便是一個（沿x方向）無限深方阱問題。在板上方放一接收電子的探測屏，觀察狹縫穿出的電子在此探測屏上沿x方向的偏轉(zhuǎn)，偏轉(zhuǎn)大小將和電子在x方向的動

9、量 px 數(shù)值有關(guān)。由此知：如a 值較小，必定是一個單縫衍射分布。只當(dāng)a值較大向宏觀過渡時，分布才逐漸過渡到兩條（平行y 軸的）細(xì)線。第13頁，共19頁，2022年，5月20日，18點56分，星期三13五，問題的根源 無限深阱問題只是個模型而已。此模型中用到位勢的突變和無窮高勢壘假設(shè)。其實，物理學(xué)中許多常用的數(shù)學(xué)和物理概念，如：質(zhì)點、無頭無尾巴的平面波、其小無內(nèi)的點、其大無外的，等等，都只是一些人為抽象出來的、理想化的、絕對化的概念。雖然用起來時常是簡便的，但其實它們在自然界中并不真實存在，有時甚至還會惹出麻煩。 Henri Poincare 說：幾何點其實是人的幻想。甚至說：“幾何學(xué)不是真實

10、的，但是有用的?！? 第14頁，共19頁，2022年，5月20日，18點56分，星期三14按照他對幾何學(xué)的深刻認(rèn)識，我們也可以說： V = 不是真實的，但是有用的。從思想方法來說，全部困惑的根源正在此處：將勢壘V = 這件事看成是物理真實的了。對它過度的執(zhí)著干擾了我們對實際物理問題的認(rèn)識，并且?guī)碓S多不必要的困惑和煩惱。 文小剛也說9： 理論物理中的很多概念并不代表真實。 所以，每當(dāng)遇到由數(shù)學(xué)簡單化、絕對化帶來問題的時候，注重物理、返回自然界的物理真實，再行考察。記住這點有時是很重要的。 第15頁，共19頁，2022年，5月20日，18點56分，星期三15附錄 當(dāng) 時，Landau結(jié)果趨近于P

11、auli結(jié)果證：利用 -函數(shù)的一個表達(dá)式：由Landau結(jié)果出發(fā)(注意最后極限時 )：第16頁，共19頁，2022年，5月20日，18點56分，星期三16參考文獻(xiàn)1 W. Pauli ，Handbuch der Physik, eds. by H. Geiger and K. Scheel, Vol. 24/1, Springer, Berlin, 1933。 中譯本 “Pauli物理學(xué)講義”，第五卷：波動力學(xué)。洪銘熙等 譯，人民教育出版社，1983年。他于1956-1958年在蘇黎世 聯(lián)邦工業(yè)大學(xué)物理學(xué)位課程兩次授課中，依然如此講法。2 ,物理世界（上、下），楊基方等譯，海洋 出版社，198

12、4。第184頁，3 .朗道，E.M.栗弗席茨，非相對論量子力學(xué)，俄 文第一版為1947年。4 W. Pauli ，“Pauli物理學(xué)講義”，第五卷：波動力學(xué)。 洪銘熙等譯，人民教育出版社，1983年。第15頁及注1。5 Fermi 于1954年所寫的量子力學(xué)講稿，羅吉庭譯，西 安交大出版社，1984。 第60-61頁。第17頁，共19頁，2022年，5月20日，18點56分，星期三176 國內(nèi)自1983.6起，見大學(xué)物理、光子學(xué)報等雜志： 一維無限深勢阱內(nèi)粒子的動量分布，兩篇文章， 1994，7； 關(guān)于同一問題的不同解法； 編者的話； 談?wù)劻孔恿W(xué)中的動量算符； 也談?wù)齽t動量算符之爭； 編者的話； 也談一維無限深勢阱內(nèi)粒子（基態(tài)）的動量概率分布 ，1998，7； 關(guān)于量子力學(xué)基礎(chǔ)的一個質(zhì)疑，光子學(xué)報，1997，