2021-2022學年山西大學高三二診模擬考試數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知、分別為雙曲線：（，）的左、右焦點，過的直線交于、兩點，為坐標原點，若，則的離心率為（ ）A2BCD2已知雙曲線的焦距是虛軸長的2倍，則雙曲線的漸近線方程為（ ）ABC

2、D3設，是雙曲線的左，右焦點，是坐標原點，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為若，則的離心率為（ ）ABCD4設，是非零向量，若對于任意的，都有成立，則ABCD5已知傾斜角為的直線與直線垂直，則（ ）ABCD6展開項中的常數(shù)項為A1B11C-19D517設，為兩個平面，則的充要條件是A內有無數(shù)條直線與平行B內有兩條相交直線與平行C，平行于同一條直線D，垂直于同一平面8已知m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出四個命題：若，則；若，則；若，則；若，則其中正確的是（ ）ABCD9給出下列三個命題：“”的否定；在中，“”是“”的充要條件；將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象其中假命題的

3、個數(shù)是（ ）A0B1C2D310已知，則（ ）ABCD11集合中含有的元素個數(shù)為（ ）A4B6C8D1212記為數(shù)列的前項和數(shù)列對任意的滿足.若，則當取最小值時，等于（ ）A6B7C8D9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知，且，則的最小值是_.14函數(shù)在處的切線方程是_.15已知下列命題：命題“x0R，”的否定是“xR，x213x”；已知p，q為兩個命題，若“pq”為假命題，則“”為真命題；“a2”是“a5”的充分不必要條件；“若xy0，則x0且y0”的逆否命題為真命題其中所有真命題的序號是_16如圖是一個算法流程圖，若輸出的實數(shù)的值為，則輸入的實數(shù)的值為_.三、解答題：

4、共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的值域.（2）設函數(shù)，若，且的最小值為，求實數(shù)的取值范圍.18（12分）如圖，在斜三棱柱中，平面平面，均為正三角形，E為AB的中點（）證明：平面；（）求斜三棱柱截去三棱錐后剩余部分的體積19（12分）已知橢圓C:（ab0）的兩個焦點分別為F1（，0）、F2（，0）.點M（1，0）與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直.（1）求橢圓C的方程；（2）已知點N的坐標為（3，2），點P的坐標為（m，n）（m3）.過點M任作直線l與橢圓C相交于A、B兩點，設直線AN、NP、BN的斜率分別為k1、k2、k3，若k1k3

5、2k2，試求m，n滿足的關系式.20（12分）已知拋物線，焦點為，直線交拋物線于兩點，交拋物線的準線于點，如圖所示，當直線經(jīng)過焦點時，點恰好是的中點，且.（1）求拋物線的方程；（2）點是原點，設直線的斜率分別是，當直線的縱截距為1時，有數(shù)列滿足，設數(shù)列的前n項和為，已知存在正整數(shù)使得，求m的值.21（12分）在平面直角坐標系中，曲線，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系（1）求曲線、的極坐標方程；（2）在極坐標系中，射線與曲線，分別交于、兩點（異于極點），定點，求的面積22（10分）某工廠的機器上有一種易損元件A，這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時，需要送維修處

6、維修工廠規(guī)定當日損壞的元件A在次日早上 8：30 之前送到維修處，并要求維修人員當日必須完成所有損壞元件A的維修工作每個工人獨立維修A元件需要時間相同維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數(shù)，具體數(shù)據(jù)如下表：日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日 元件A個數(shù) 9 15 12 18 12 18 9 9 24 12 日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日 元件A個數(shù) 12 24 15 15 15 12 15 15 15 24 從這20天中隨機選取一天，隨機變量X表示在維修處該

7、天元件A的維修個數(shù)（）求X的分布列與數(shù)學期望；（）若a，b，且b-a=6，求最大值；（）目前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個維修工人每天維修元件A的個數(shù)的數(shù)學期望不超過4個，至少需要增加幾名維修工人？（只需寫出結論）參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】作出圖象，取AB中點E，連接EF2，設F1Ax，根據(jù)雙曲線定義可得x2a，再由勾股定理可得到c27a2，進而得到e的值【詳解】解：取AB中點E，連接EF2，則由已知可得BF1EF2，F(xiàn)1AAEEB，設F1Ax，則由雙曲線定義可得AF22a+x，BF1BF2

8、3x2ax2a，所以x2a，則EF22a，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2（2c）2，所以c27a2，則e故選：D【點睛】本題考查雙曲線定義的應用，考查離心率的求法，數(shù)形結合思想，屬于中檔題對于圓錐曲線中求離心率的問題，關鍵是列出含有 中兩個量的方程，有時還要結合橢圓、雙曲線的定義對方程進行整理，從而求出離心率.2A【解析】根據(jù)雙曲線的焦距是虛軸長的2倍，可得出，結合，得出，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由雙曲線可知，焦點在軸上，則雙曲線的漸近線方程為：，由于焦距是虛軸長的2倍，可得：，即：，所以雙曲線的漸近線方程為：.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質，以及雙曲線的

9、漸近線方程.3B【解析】設過點作的垂線，其方程為，聯(lián)立方程，求得，即，由，列出相應方程，求出離心率.【詳解】解：不妨設過點作的垂線，其方程為，由解得，即，由，所以有，化簡得，所以離心率故選：B.【點睛】本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關系等基礎知識，考查運算求解、推理論證能力，屬于中檔題4D【解析】畫出，根據(jù)向量的加減法，分別畫出的幾種情況，由數(shù)形結合可得結果.【詳解】由題意，得向量是所有向量中模長最小的向量，如圖，當，即時，最小，滿足，對于任意的，所以本題答案為D.【點睛】本題主要考查了空間向量的加減法，以及點到直線的距離最短問題，解題的關鍵在于用有向線段正確表示向量，屬于基礎題.

10、5D【解析】傾斜角為的直線與直線垂直，利用相互垂直的直線斜率之間的關系，同角三角函數(shù)基本關系式即可得出結果.【詳解】解：因為直線與直線垂直，所以，.又為直線傾斜角，解得.故選：D.【點睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關系，同角三角函數(shù)基本關系式，考查計算能力，屬于基礎題.6B【解析】展開式中的每一項是由每個括號中各出一項組成的，所以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項為常數(shù)項，有3種情況：（1）5個括號都出1，即；（2）兩個括號出，兩個括號出，一個括號出1，即；（3）一個括號出，一個括號出，三個括號出1，即；所以展開項中的常數(shù)項為，故選B.【點睛】本題考查二項式定理知識的生成過程，考查定

11、理的本質，即展開式中每一項是由每個括號各出一項相乘組合而成的.7B【解析】本題考查了空間兩個平面的判定與性質及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質定理即可作出判斷【詳解】由面面平行的判定定理知：內兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質定理知，若，則內任意一條直線都與平行，所以內兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯誤8D【解析】根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷；根據(jù)空間面面平行的判定定理可判斷；根據(jù)線面平行的判定定理可判斷；根據(jù)面面垂直的判定定理

12、可判斷.【詳解】對于，若，兩平面相交，但不一定垂直，故錯誤；對于，若，則，故正確；對于，若，當，則與不平行，故錯誤；對于，若，則，故正確；故選：D【點睛】本題考查了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，屬于基礎題.9C【解析】結合不等式、三角函數(shù)的性質,對三個命題逐個分析并判斷其真假,即可選出答案.【詳解】對于命題,因為,所以“”是真命題,故其否定是假命題,即是假命題;對于命題,充分性:中,若,則,由余弦函數(shù)的單調性可知,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,若,結合余弦函數(shù)的單調性可知,即,可得到,即必要性成立.故命題正確;對于命題,將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,

13、可得到的圖象,即命題是假命題故假命題有.故選:C【點睛】本題考查了命題真假的判斷,考查了余弦函數(shù)單調性的應用,考查了三角函數(shù)圖象的平移變換,考查了學生的邏輯推理能力,屬于基礎題.10C【解析】利用二倍角公式,和同角三角函數(shù)的商數(shù)關系式,化簡可得,即可求得結果.【詳解】，所以，即.故選:C.【點睛】本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應用和弦化切化簡三角函數(shù),難度較易.11B【解析】解：因為集合中的元素表示的是被12整除的正整數(shù)，那么可得為1，2,3,4，6，,12故選B12A【解析】先令，找出的關系，再令，得到的關系，從而可求出，然后令，可得，得出數(shù)列為等差數(shù)列，得，可求出取最小值.【詳解】解法

14、一：由，所以，由條件可得，對任意的，所以是等差數(shù)列，要使最小，由解得，則.解法二：由賦值法易求得，可知當時，取最小值.故選：A【點睛】此題考查的是由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項，采用了賦值法，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。131【解析】先將前兩項利用基本不等式去掉，再處理只含的算式即可【詳解】解：，因為，所以，所以，當且僅當，時等號成立，故答案為：1【點睛】本題主要考查基本不等式的應用，但是由于有3個變量，導致該題不易找到思路，屬于中檔題14【解析】求出和的值，利用點斜式可得出所求切線的方程.【詳解】，則，.因此，函數(shù)在處的切線方程是，即.故答案為：.【點睛】本題考查

15、利用導數(shù)求函數(shù)的切線方程，考查計算能力，屬于基礎題.15【解析】命題“xR，x213x”的否定是“xR，x213x”，故錯誤；“pq”為假命題說明p假q假，則(p)(q)為真命題，故正確；a5a2，但a2/ a5，故“a2”是“a5”的必要不充分條件，故錯誤；因為“若xy0，則x0或y0”，所以原命題為假命題，故其逆否命題也為假命題，故錯誤16【解析】根據(jù)程序框圖得到程序功能，結合分段函數(shù)進行計算即可.【詳解】解：程序的功能是計算，若輸出的實數(shù)的值為，則當時，由得，當時，由，此時無解.故答案為：.【點睛】本題主要考查程序框圖的識別和判斷，理解程序功能是解決本題的關鍵，屬于基礎題.三、解答題：共

16、70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）；（2）.【解析】（1）令，求出的范圍，再由指數(shù)函數(shù)的單調性，即可求出結論；（2）對分類討論，分別求出以及的最小值或范圍，與的最小值建立方程關系，求出的值，進而求出的取值關系.【詳解】（1）當時， 令，而是增函數(shù)，函數(shù)的值域是.（2）當時，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為，在上單調遞增，最小值為，而的最小值為，所以這種情況不可能.當時，則在上單調遞減且沒有最小值，在上單調遞增最小值為，所以的最小值為，解得（滿足題意），所以，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查復合函數(shù)的值域與分段函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)圖像和性質

17、是解題的關鍵，屬于中檔題.18（）見解析；（）【解析】（）要證明線面平行，需先證明線線平行，所以連接，交于點M，連接ME，證明；（）由題意可知點到平面ABC的距離等于點到平面ABC的距離，根據(jù)體積公式剩余部分的體積是.【詳解】（）如圖，連接，交于點M，連接ME，則因為平面，平面，所以平面（）因為平面ABC，所以點到平面ABC的距離等于點到平面ABC的距離如圖，設O是AC的中點，連接，OB因為為正三角形，所以，又平面平面，平面平面，所以平面ABC所以點到平面ABC的距離，故三棱錐的體積為而斜三棱柱的體積為所以剩余部分的體積為【點睛】本題考查證明線面平行，計算體積，意在考查推理證明，空間想象能力，

18、計算能力，屬于中檔題型，一般證明線面平行的方法1.證明線線平行，則線面平行，2.證明面面平行，則線面平行，關鍵是證明線線平行，一般構造平行四邊形，則對邊平行，或是構造三角形中位線.19（1）；（2）mn10【解析】試題分析：（1）利用M與短軸端點構成等腰直角三角形，可求得b的值，進而得到橢圓方程；（2）設出過M的直線l的方程，將l與橢圓C聯(lián)立，得到兩交點坐標關系，然后將k1k3表示為直線l斜率的關系式，化簡后得k1k32，于是可得m，n的關系式.試題解析：（1）由題意，c，b1，所以a故橢圓C的方程為（2）當直線l的斜率不存在時，方程為x1，代入橢圓得，y不妨設A（1，），B（1，）因為k1k32又k1k32k2，所以k21所以m，n的關系式為1，即mn10當直線l的斜率存在時，設l的方程為yk（x1）將yk（x1）代入，整理得：（3k21）x26k2x3k230設A（x1，y1），B（x2，y2），則又y1k（x11），y2k（x21）所以k1k32所以2k22，所以k21所以m，n的關系式為mn10綜上所述，m，n的關系式為mn10.考點：橢圓標準方程，直線與橢圓位置關系，20（1）（2）【解析】(1) 設出直線的方程，再與拋物線聯(lián)立方程組，進而求得點的坐標，結合弦長即可求得拋物線的方程；(2) 設直線的方程，運用韋達定理可得，可得之間的關系，再運用進行裂項，可求得，解