專(zhuān)題49 與圓錐曲線相關(guān)的線段和（差）的最值-2023年高考數(shù)學(xué)核心壓軸題（新高考地區(qū)專(zhuān)用）

1、專(zhuān)題49 與圓錐曲線相關(guān)的線段和（差）的最值【方法點(diǎn)撥】動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A、B距離之和的最小值為|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線時(shí)成立，即|PA|+|PB|AB|；|AB|PA|PB|AB|.【典型題示例】例1 已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，P為雙曲線左支上一點(diǎn)，點(diǎn)，則APF周長(zhǎng)的最小值為( )【答案】B【分析】利用定義轉(zhuǎn)化為（其中為雙曲線的左焦點(diǎn)），再利用，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線成立.【解析】，APF的周長(zhǎng)為設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，則由雙曲線定義得，故又，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線成立所以，故APF周長(zhǎng)的最小值為.例2 阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱(chēng)為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深

2、刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B的距離之比為，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓、點(diǎn)和點(diǎn)，M為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi).【答案】【分析】逆用“啊圓”，將中系數(shù)2去掉化為“一條線段”， 從而將化為兩條線段的和，再利用“三點(diǎn)共線”求解.【解析】因?yàn)榘A的圓心、兩定點(diǎn)共線，且在該直線上的直徑的端點(diǎn)分別是兩定點(diǎn)構(gòu)成線段分成定比的內(nèi)外分點(diǎn)所以另一定點(diǎn)必在x軸上，且內(nèi)分該點(diǎn)與連結(jié)的線段的比為2故該點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)，則圓上任意一動(dòng)點(diǎn)M都滿(mǎn)足所以又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，等號(hào)成立所以的最小值為.點(diǎn)評(píng)：已知兩定點(diǎn)、啊圓的圓心三點(diǎn)共線

3、；啊圓的在已知兩定點(diǎn)所在直線上的直徑的兩端點(diǎn)，分別是兩定點(diǎn)構(gòu)成線段分成定比的內(nèi)、外分點(diǎn).例3 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線l于C交于A，B兩點(diǎn)，則|AF|+4|BF|取得最小值時(shí)，|AB|=( )【答案】A【分析】將|AF|+4|BF|利用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，,抓住為定值，運(yùn)用基本不等式解決.【解析】設(shè)，則由拋物線定義得，故，又因?yàn)楦鶕?jù)基本不等式有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立故.例4 已知為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則的最小值為ABCD【答案】D【分析】本題的關(guān)鍵點(diǎn)有二，一是利用拋物線的定義將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，這也是遇到拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、到準(zhǔn)線的距離的一種基本思

4、路；二是發(fā)現(xiàn)在一個(gè)“隱圓”上，即利用定線段張直角確定隱圓，最終將所求轉(zhuǎn)化為圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離最小來(lái)解決.【解析】由題可得拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，過(guò)點(diǎn)作與準(zhǔn)線垂直，交于點(diǎn)，直線整理得，聯(lián)立可得，即該直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)，連接，取中點(diǎn)，則，若，則在以為直徑的圓上，該圓方程為，又由，得，如圖，的最小值為圓上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的最小值，過(guò)點(diǎn)作與準(zhǔn)線垂直并交于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，則即為的最小值，即的最小值為故選D例5 已知點(diǎn)在拋物線上，是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，我們可以通過(guò)找對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的方法求解兩條線段之和的最小值，則的最小值為（ ）A8BCD【答案】D【分析】由題意，知拋物線的焦點(diǎn)，直

5、線是拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，利用兩點(diǎn)之間線段最短，可知的最小值等于，再利用兩點(diǎn)之間的距離即可求解.【解析】由題意，知拋物線的焦點(diǎn)，直線是拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作圖如下，利用對(duì)稱(chēng)性質(zhì)知：，則即點(diǎn)在位置時(shí)，的值最小，等于，利用兩點(diǎn)之間距離知，則的最小值為故選：D.點(diǎn)評(píng):本題考查利用對(duì)稱(chēng)求最短距離，“兩點(diǎn)之間線段最短”，是解決最短距離問(wèn)題的依據(jù)，在實(shí)際問(wèn)題中，常常碰到求不在一條直線上的兩條或三條線段和的最小值問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題，可借助軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，將不在同一直線上的線段轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題.【鞏固訓(xùn)練】1.已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)

6、在圓：上，則的最小值為（ ）A4B5C7D82.已知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的一動(dòng)點(diǎn)，則|PF|PA|的最小值為_(kāi)3.設(shè)P是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)若B(3,2)，則|PB|PF|的最小值為_(kāi)4.設(shè)P是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)若B(3,4)，則|PB|PF|的最小值為_(kāi)5.設(shè)P是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)若B(3,2)，點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x1的距離之和的最小值為_(kāi)6.已知F是橢圓5x29y245的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A(1,1)是一定點(diǎn)，則|PA|PF|的最大值為_(kāi)，最小值為_(kāi)7.已

7、知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到直線和直線的距離和得最小值為_(kāi)8. 已知A（3，1），B（5，2），點(diǎn)P在直線x+y0上，若使|PA|+|PB|取最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A B C D9. 已知，點(diǎn)在拋物線上，則的最小值為A6BC5D10. 已知點(diǎn)P(t，t)，tR，點(diǎn)M是圓x2(y1)2eq f(1,4)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是圓(x2)2y2eq f(1,4)上的動(dòng)點(diǎn)，則|PN|PM|的最大值是()Aeq r(5)1 B2 C3Deq r(5)11. 已知P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和最小值是 【答案或提示】1.【答案】B【解析】易知圓心

8、為橢圓的右焦點(diǎn)，且，由橢圓的定義知：，所以，所以，要求的最小值，只需求的最大值，顯然三點(diǎn)共線時(shí)取最大值，且最大值為，所以的最小值為.故選：B.2.【答案】9【解析】因?yàn)镕是雙曲線的左焦點(diǎn)，所以F(4,0)，設(shè)其右焦點(diǎn)為H(4,0)，則由雙曲線的定義可得|PF|PA|2a|PH|PA|2a|AH|4459.3.【答案】4【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，則|P1Q|P1F|.則有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值為4.4.【答案】2【解析】由題意可知點(diǎn)B(3,4)在拋物線的外部|PB|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離，F(xiàn)(1,0)，|P

9、B|PF|BF|，即|PB|PF|的最小值為2.5.【答案】【解析】如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線是x1，由拋物線的定義知點(diǎn)P到直線x1的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離之和最小，顯然，連接AF與拋物線相交的點(diǎn)即為滿(mǎn)足題意的點(diǎn)，此時(shí)最小值為.點(diǎn)評(píng)：與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決與過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦有關(guān)問(wèn)題的重要途徑6.【答案】66【解析】橢圓方程化為，設(shè)F1是橢圓的右焦點(diǎn)，則F1(2,0)，|AF1|，|PA|PF|PA|PF1|6，

10、又|AF1|PA|PF1|AF1|(當(dāng)P，A，F(xiàn)1共線時(shí)等號(hào)成立)，6|PA|PF|6.7.【答案】28.【分析】求出A關(guān)于直線l：x+y0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，則P為直線BC與直線l的交點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足條件，進(jìn)而得到答案【解析】如下圖所示：點(diǎn)A（3，1），關(guān)于直線l：x+y0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C（1，3）點(diǎn)，由BC的方程為：，即x4y130，可得直線BC與直線l的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（，），即P點(diǎn)坐標(biāo)為：（，）時(shí)，|PA|+|PB|最小故選：D9.【答案】D【解析】根據(jù)題意，設(shè)，即，同時(shí)點(diǎn)在拋物線上，則有，則，設(shè)，因?yàn)樗?，?dāng)且僅當(dāng)且，三點(diǎn)共時(shí)等號(hào)成立故的最小值為；故選D10.【答案】2【解析】易知圓x2(y1)2eq f(1,4)的圓心為A(0,1)，圓(x2)2y2eq f(1,4)的圓心為B(2,0)，P(t，t)在直線yx上，A(0,1)關(guān)于直線yx