高等數(shù)學(xué)-第3章-3.4-函數(shù)的極值和最值

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)3.4 函數(shù)的極值與最值本節(jié)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的極值與最值的問題，具體來說，討論函數(shù)在局部與全局的最大值、最小值（簡稱最值）問題，它在實(shí)際應(yīng)用中有著重要的意義。一、函數(shù)的極值1. 極值的定義觀察圖3.11，可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在點(diǎn)的值比其鄰近點(diǎn)的值都大，曲線在該點(diǎn)處達(dá)到“峰頂”；在點(diǎn)的值比其鄰近點(diǎn)的值都小，曲線在該點(diǎn)處達(dá)到“谷底”。對于具有這種性質(zhì)的點(diǎn)，我們引入函數(shù)的極值的概念.圖3.11圖3.11定義3.3 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)（），恒有（或

2、），則稱是函數(shù)的極大值（或極小值），稱是函數(shù)的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).注：（1）函數(shù)的極值是一個局部性的概念，如果是函數(shù)的極大值（或極小值），只是就鄰近的一個局部范圍內(nèi)，是最大的（或最小的），而對于函數(shù)的整個定義域來說就不一定是最大的（或最小的）了。（2）函數(shù)的極值只能在定義域內(nèi)部取得。2. 極值的判別法繼續(xù)觀察圖3.4可以發(fā)現(xiàn)，在函數(shù)取得極值處，若曲線的切線存在（即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在），則切線一定是水平的，即函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于零。由此，有下面的定理.定理3.4 (極值存在的必要條件) 如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且在處取得極值，則=0. 證明

3、從略。定義3.4 使的點(diǎn),稱為函數(shù)的駐點(diǎn).根據(jù)定理3.4，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)，但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)。例如，函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于零，但如圖1.3所示，不是的極值點(diǎn)。此外，函數(shù)在它導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處也可能取得極值。例如，函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)（參見2.1例11），但如圖1.4所示，在點(diǎn)取得極小值。歸納起來，一方面，函數(shù)可能取得極值的點(diǎn)是駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；另一方面，駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)卻又不一定是極值點(diǎn)。因此，若要求函數(shù)的極值，首先要找出函數(shù)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，然后判定函數(shù)在這些點(diǎn)是否取得極值，以及是極大值還是極小值。對此，參考圖3.12和圖3.13，可得下面的定理。圖3.13圖3.12圖3.13

4、圖3.12定理3.5 (判別極值的第一充分條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)(在處可以不可導(dǎo))，則(1) 如果在點(diǎn)的左鄰域內(nèi)，；在點(diǎn)的右鄰域內(nèi)，則函數(shù)在取得極大值；(2) 如果在點(diǎn)的左鄰域內(nèi)，；在點(diǎn)的右鄰域內(nèi)，則函數(shù)在取得極小值。證明從略。注：如果在點(diǎn)的兩側(cè)，保持同號，則函數(shù)在點(diǎn)沒有極值。根據(jù)上述討論，利用定理3.5求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值的步驟如下：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求，求出的駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)；（3）用步驟（2）中求出的點(diǎn)將函數(shù)的定義區(qū)間劃分為若干個子區(qū)間，確定在各個子區(qū)間的符號，確定極值點(diǎn)和極值。例1 求函數(shù)的極值。解 （1）函數(shù)的定義域?yàn)?；?），令，得駐點(diǎn)：，； （3）用和將

5、定義域劃分為三個區(qū)間：、，列表確定的符號，函數(shù)的極值點(diǎn)和極值：表3.5-極大值極小值所以，函數(shù)的極大值為，極小值為。當(dāng)函數(shù)在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)存在且不為零時，也可以利用下述定理來判定在駐點(diǎn)處是取得極大值還是極小值。定理3.6 (判別極值的第二充分條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，則（1）當(dāng)時，函數(shù)在點(diǎn)取得極小值；（2）當(dāng)時，函數(shù)在點(diǎn)取得極大值。證明從略。注：定理3.5和定理3.6雖然都是判定極值點(diǎn)的充分條件，但在應(yīng)用時又有區(qū)別.定理3.5對駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)均適用，定理3.6只對二階導(dǎo)數(shù)存在且不為零的駐點(diǎn)適用，下列兩種情形，定理3.6不適用：(1) 不存在的點(diǎn)；(2) , 的點(diǎn).這時，可能是

6、極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn).例2 求函數(shù)的極值。解 （1）的定義域?yàn)?；?） ，；令 求得駐點(diǎn)，沒有不可導(dǎo)點(diǎn)； （3）因?yàn)?所以在處取得極小值 極小值為;因?yàn)?用定理3.6無法判定，改用定理3.5判定。因?yàn)樵诘淖笥亦徲騼?nèi) 所以在處沒有極值；同理，在處也沒有極值。綜上所述，函數(shù)只有極小值.二、函數(shù)的最值函數(shù)的極值是函數(shù)在局部范圍內(nèi)的最大值或最小值，本節(jié)討論函數(shù)在其定義域或指定范圍上的最大值或最小值。1閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值由定理1.5知道，若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上必有最大值與最小值。參照圖3.11可知，函數(shù)的最值只能在駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)、端點(diǎn)取得。因此，求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值與最小值的方法如下

7、：（1）求函數(shù)的定義域；（2）求，求出函數(shù)的駐點(diǎn)以及不可導(dǎo)點(diǎn)；（3）計算在駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)、端點(diǎn)的函數(shù)值，比較大小，即可得函數(shù)的最大值與最小值。例3 求函數(shù)在上的最大值和最小值。解 （1）指定的區(qū)間為； （2）令，得內(nèi)的駐點(diǎn)為； （3），比較可得，函數(shù)的最大值為，最小值為。如圖3.14、圖3.15所示，如果函數(shù)在某個連續(xù)區(qū)間內(nèi)只有唯一的極值點(diǎn)，可以斷定，當(dāng)是的極大(小)點(diǎn)時， 就是函數(shù)在該區(qū)間上的最大(小)值,這是實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常遇到的情況.圖3.15圖3.14圖3.15圖3.142 實(shí)際問題的最值在實(shí)際應(yīng)用中，常常會遇到求最大值或最小值的問題（稱為最優(yōu)化問題），比如，制作一個容積一定的容器，要求

8、用料最少；生產(chǎn)中投入同樣多的人力、物力、財力，要求產(chǎn)出最大、利潤最大，等等。這類問題在數(shù)學(xué)上往往可歸結(jié)為求某一函數(shù)（通常稱為目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值問題。應(yīng)用極值和最值理論解決最優(yōu)化問題時，首先要弄清要求最大值或最小值的量，該量與問題中其它量的關(guān)系怎樣，以要最優(yōu)化的量為目標(biāo)，建立目標(biāo)函數(shù)，并確定函數(shù)的定義域；其次，應(yīng)用極值和最值理論求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值；最后應(yīng)按問題的要求給出結(jié)論。圖3.16例4 如圖3.16所示，設(shè)工廠到鐵路的垂直距離為20km，垂足為，鐵路線上距點(diǎn)100km處有一原料供應(yīng)站，現(xiàn)在要在線上選定一點(diǎn)修建一個原料中轉(zhuǎn)車站，再由車站向工廠修筑一條公路。已知每噸公里鐵路的運(yùn)費(fèi)

9、與公路的運(yùn)費(fèi)之比為3:5，為了使原料從供應(yīng)站運(yùn)到工廠的運(yùn)費(fèi)最省，問點(diǎn)應(yīng)選在何處？圖3.16解 首先，建立目標(biāo)函數(shù)。設(shè)(km)，則，；又設(shè)公路運(yùn)費(fèi)為5(是正數(shù))，鐵路運(yùn)費(fèi)為3，從點(diǎn)到點(diǎn)需要的總運(yùn)費(fèi)為（元），則目標(biāo)函數(shù)為 ，即 （）。其次，將實(shí)際問題的最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。問題轉(zhuǎn)化為：求函數(shù)在上的最小值。求導(dǎo)數(shù)，得，令 得駐點(diǎn)（舍去）。因?yàn)檫\(yùn)費(fèi)問題中必有最小值，現(xiàn)在又只有一個駐點(diǎn)，由此知為函數(shù)的最小值點(diǎn)。因此，當(dāng)車站建于、之間與相距15km處時，運(yùn)費(fèi)最省。注：在實(shí)際問題中，如果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有唯一的駐點(diǎn)，而且從實(shí)際問題本身又可知道在該區(qū)間內(nèi)必定有最大值或最小值， 則就是的最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)。例5 如圖3.17所示，把一根直徑為的圓木鋸成截面為矩形的梁，問矩形截面的高和寬應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大?d hbd hb圖3.17