北師大版數(shù)學(xué)(中考沖刺：動手操作與運動變換型問題-知識點整理及重點題型梳理)（提高）

1、北師大版數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習(xí)中考沖刺：動手操作與運動變換型問題知識講解（提高）【中考展望】1對于實踐操作型問題，在解題過程中學(xué)生能夠感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情趣與價值，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”和“再創(chuàng)造”的過程，不斷提高自己的創(chuàng)新意識與綜合能力，這是全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗稿)的基本要求之一，因此，近年來實踐操作性試題受到命題者的重視，多次出現(xiàn).2估計在今年的中考題中，實踐操作類題目依舊是出題熱點，仍符合常規(guī)題型，與三角形的全等和四邊形的性質(zhì)綜合考查需具備一定的分析問題能力和歸納推理能力圖形的設(shè)計與操作問題，主要分為如下一些類型： 1已知設(shè)計好的圖案，求設(shè)計方案(如：在什

2、么基本圖案的基礎(chǔ)上，進行何種圖形變換等) 2利用基本圖案設(shè)計符合要求的圖案(如：設(shè)計軸對稱圖形，中心對稱圖形，面積或形狀符合特定要求的圖形等) 3圖形分割與重組(如：通過對原圖形進行分割、重組，使形狀滿足特定要求) 4動手操作(通過折疊、裁剪等手段制作特定圖案) 解決這樣的問題，除了需要運用各種基本的圖形變換(平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、位似)外，還需要綜合運用代數(shù)、幾何知識對圖形進行分析、計算、證明，以獲得重要的數(shù)據(jù)，輔助圖案設(shè)計 另外，由于折疊操作相當(dāng)于構(gòu)造軸對稱變換，因此折疊問題中，要充分利用軸對稱變換的特性，以獲得更多的圖形信息必要時，實際動手配合上理論分析比單純的理論分析更為快捷有效從歷年中

3、考來看，動態(tài)問題經(jīng)常作為壓軸題目出現(xiàn)，得分率也是最低的.動態(tài)問題一般分兩類，一類是代數(shù)綜合題，在坐標(biāo)系中有動點，動直線，一般是利用多種函數(shù)交叉求解.另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設(shè)立動點、線以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對考生的綜合分析能力進行考查.所以說，動態(tài)問題是中考數(shù)學(xué)當(dāng)中的重中之重，只有完全掌握，才有機會拼高分. 【方法點撥】 實踐操作問題：解答實踐操作題的關(guān)鍵是要學(xué)會自覺地運用數(shù)學(xué)知識去觀察、分析、抽象、概括所給的實際問題，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)，并轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的數(shù)學(xué)問題解答實踐操作題的基本步驟為：從實例或?qū)嵨锍霭l(fā)，通過具體操作實驗，發(fā)現(xiàn)其中可能存在的規(guī)律，提出問題，檢驗猜想在解答過程

4、中一般需要經(jīng)歷操作、觀察、思考、想象、推理、探索、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納等實踐活動過程，利用自己已有的生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)知識去感知發(fā)生的現(xiàn)象，從而發(fā)現(xiàn)所得到的結(jié)論，進而解決問題動態(tài)幾何問題：1、動態(tài)幾何常見類型 （1）點動問題（一個動點）（2）線動問題（二個動點）（3）面動問題（三個動點）2、運動形式 平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動3、數(shù)學(xué)思想函數(shù)思想、方程思想、分類思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想4、解題思路 （1）化動為靜，動中求靜（2）建立聯(lián)系，計算說明（3）特殊探路，一般推證【典型例題】類型一、圖形的剪拼問題1直角三角形通過剪切可以拼成一個與該直角三角形面積相等的矩形方法如下(如圖所示)：請你用上面圖示的方

5、法，解答下列問題：(1)對下圖中的三角形，設(shè)計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個與原三角形面積相等的矩形；(2)對下圖中的四邊形，設(shè)計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個與原四邊形面積相等的矩形【思路點撥】 對于三角形的分割重組，要想拼成一個矩形，則分割時必須構(gòu)造出直角來，示例中通過作中位線的垂線段而分割出兩個直角三角形對于四邊形的分割重組，可以先把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形的問題，再利用三角形的分割重組方法進行【答案與解析】解：(1)如圖所示： (2)如圖所示： 【總結(jié)升華】按照三角形的剪拼方法，探索規(guī)律，將任意四邊形先分割成三角形，再進行剪拼，使學(xué)生經(jīng)歷由簡單到復(fù)雜的探索過程舉一反三：【變式】（

6、2016綏化）把一張正方形紙片如圖、圖對折兩次后，再按如圖挖去一個三角形小孔，則展開后圖形是（）A B C D【答案】A .當(dāng)正方形紙片兩次沿對角線對折成為一直角三角形時，在直角三角形中間的位置上剪三角形，則直角頂點處完好，即原正方形中間無損，且三角形關(guān)于對角線對稱，三角形的AB邊平行于正方形的邊再結(jié)合C點位置可得答案為C故選C類型二、實踐操作2如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH（1）求證：APB=BPH；（2）當(dāng)點P在邊AD上移動時，PDH的周長是否

7、發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由 【思路點撥】（1）要證APB=BPH，由內(nèi)錯角APB=PBC，即證PBC=BPH，折疊后EBP=EPB=90，再由性質(zhì)等角的余角相等即可得證（2）PHD的周長為PD+DH+PH過B作BQPH構(gòu)造直角三角形，再利用三角形全等：ABPQBP和BCHBQH證明AP=QP， CH=QH，可得其周長為定值（3），關(guān)鍵是用x來表示BE、CF過F作FMAB，垂足為M，先由邊角關(guān)系得EFMBPA，得=x在RtAPE中可由勾股定理表示出BE，再由，很容

8、易用x表示出S，再配方求最值【答案與解析】解：（1）PE=BE，EBP=EPB 又EPH=EBC=90，EPH-EPB=EBC-EBP即PBC=BPH 又ADBC，APB=PBCAPB=BPH（2）PHD的周長不變，為定值 8 證明：過B作BQPH，垂足為Q由（1）知APB=BPH，又A=BQP=90，BP=BP，ABPQBPAP=QP, AB=BQ 又 AB=BC，BC = BQ又C=BQH=90，BH=BH，BCHBQH CH=QHPHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8. （3）過F作FMAB，垂足為M，則.又EF為折痕，EFBP.，又A=EMF=90，E

9、FMBPA=x 在RtAPE中，解得，又四邊形PEFG與四邊形BEFC全等，即：配方得，當(dāng)x=2時，S有最小值6【總結(jié)升華】本題將函數(shù)和幾何知識較好的綜合起來，對能力的要求較高本題考查了三角形全等、正方形的性質(zhì)、勾股定理、梯形的面積公式、折疊的性質(zhì)、二次函數(shù)等相關(guān)知識難度較大，是一道很好的壓軸題，通過此題能夠反映出學(xué)生的思維能力及數(shù)學(xué)知識的掌握程度，解答本題要學(xué)會將題目中的已知量與待求量聯(lián)系起來此題的關(guān)鍵是證明幾組三角形的全等，以及用x來表示S3劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動中，用硬紙片做了兩個直角三角形，見圖、圖中，B90，C60，A30，BC6 cm；圖中，D90，E45，DE4 cm圖是劉衛(wèi)同學(xué)

10、所做的一個實驗：他將DEF的直角邊DE與ABC的斜邊AC重合在一起，并將DEF沿AC方向移動在移動過程中，D、E兩點始終在AC邊上(移動開始時點D與點A重合)(1)在DEF沿AC方向移動的過程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F、C兩點間的距離逐漸_(填“不變”、“變大”或“變小”)(2)劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進一步地研究，編制了如下問題：問題：當(dāng)DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，F(xiàn)、C的連線與AB平行? 問題：當(dāng)DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形? 問題：在DEF的移動過程中，是否存在某個位置，使得FCD15？如果存在，求出AD的長度；如果不存在

11、，請說明理由請你分別完成上述三個問題的解答過程【思路點撥】 本題以動三角形為背景，考查特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理【答案與解析】 解：(1)變小(2)問題：B90，A30，BC6，AC12FDE90，DEF45，DE4，DF4連結(jié)FC，設(shè)FCAB， FCDA30在RtFDC中，DCADACDC即ADcm時，F(xiàn)CAB問題：設(shè)ADx，在RtFDC中，F(xiàn)C2DC2+FD2(12-x)2+16(i)當(dāng)FC為斜邊時，由AD2+BC2FC2得，(ii)當(dāng)AD為斜邊時，由得，(不符合題意，舍去)(iii)當(dāng)BC為斜邊時，由得，1442480，方程無解另解：BC不能為斜邊FCCDFC+AD12FC、AD中至少

12、有一條線段的長度大于6BC不能為斜邊由(i)、(ii)、(iii)得，當(dāng)cm時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形問題：解法一：不存在這樣的位置，使得FCD15理由如下：假設(shè)FCD15由FED45，得EFC30作EFC的平分線，交AC于點P，則EFPCFPFCP15，PFPCDFPDFE+EFP60PD，PCPF2FD8PC+PD8+不存在這樣的位置，使得FCD15解法二：不存在這樣的位置，使得FCD15假設(shè)FCD15，設(shè)ADx由FED45，得EFC30作EHFC，垂足為H HEEF，CEACADDE8-x，且FDCEHC90，DCF為公共角，CHECDF又，整理后，得到

13、方程(不符合題意，舍去)，(不符合題意，舍去)不存在這樣的位置，使得FCD15【總結(jié)升華】本題的突破點是將圖形靜止于所要求的特殊位置，根據(jù)題中條件得出相應(yīng)的結(jié)論本題涉及分類討論思想、方程思想，有一定的難度舉一反三：【變式】如圖，直角梯形OBCD是某市將要籌建的高新技術(shù)開發(fā)區(qū)用地示意圖，其中DCOB，OB=6,CD=BC=4，BCOB于B,以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，開發(fā)區(qū)綜合服務(wù)管理委員會（其占地面積不計）設(shè)在點P（4,2）處.為了方便駐區(qū)單位準(zhǔn)備過點P修一條筆直的道路（路寬不計），并且是這條路所在的直線將直角梯形OBCD分成面積相等的兩部分，你認為直線是否存在？若存

14、在求出直線的解析式,若不存在，請說明理由. 【答案】解：如圖，存在符合條件的直線， 過點D作DAOB于點A，則點P（4，2）為矩形ABCD的對稱中心 過點P的直線只要平分的面積即可.易知，在OD邊上必存在點H，使得直線PH將面積平分，從而，直線PH平分梯形OBCD的面積.即直線PH為所求直線 設(shè)直線PH的表達式為且過點直線OD的表達式為解之，得點H的坐標(biāo)為PH與線段AD的交點F的坐標(biāo)為解之，得直線的表達式為類型三、平移旋轉(zhuǎn)型操作題4兩個全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起，其中A60，AC1固定ABC不動，將DEF進行如下操作：(1)如圖所示，DEF沿線段AB向右平移(即D點在線段AB內(nèi)移

15、動)，連結(jié)DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀在不斷地變化，但它的面積不變化，請求出其面積(2)如圖所示，當(dāng)D點移動到AB的中點時，請你猜想四邊形CDBF的形狀，并說明理由(3)如圖所示，DEF的D點固定在AB的中點，然后繞D點按順時針方向旋轉(zhuǎn)DEF，使DF落在AB邊上，此時，點恰好與B點重合，連結(jié)AE，請你求出sin的值 【思路點撥】平移時，CFAD，ADBE，根據(jù)等底等高的特征，將求梯形面積轉(zhuǎn)化為求，旋轉(zhuǎn)時需知道ABE90，BECB，運用相似等知識解答【答案與解析】 【解析】(1)過C點作CGAB于G，如圖 在RtAGC中，AB2，(2)菱形CDBF，F(xiàn)CBD，四邊形CDBF是平行四邊形

16、DFAC，ACB90，CBDF，四邊形CDBF是菱形(3)解法一：過D點作DH AE于H，如圖， 則，又，在RtDHE中，解法二：ADHAEB，即，【總結(jié)升華】 本題是平移和旋轉(zhuǎn)類型的操作題，需知道平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，這兩種變換都是全等變換.類型四、動態(tài)數(shù)學(xué)問題5（2015石峰區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點C的坐標(biāo)為（0，4），動點A以每秒1個單位長的速度，從點O出發(fā)沿x軸的正方向運動，M是線段AC的中點將線段AM以點A為中心，沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90，得到線段AB，過點B作x軸的垂線，垂足為E，過點C作y軸的垂線，交直線BE于點D，運動時間為t秒（1）當(dāng)點B與點D重合時，求t的值；（2）當(dāng)t

17、為何值時，SBCD=？【思路點撥】（1）由于CAB=90，易證得RtCAORtABE；當(dāng)B、D重合時，BE的長已知（即OC長），根據(jù)AC、AB的比例關(guān)系，即可得到AO、BE的比例關(guān)系，由此求得t的值（2）求BCD的面積時，可以CD為底、BD為高來解，那么表示出BD的長是關(guān)鍵；RtCAORtABE，且知道AC、AB的比例關(guān)系，即可通過相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出BE的長，進一步得到BD的長，在表達BD長時，應(yīng)分兩種情況考慮：B在線段DE上，B在ED的延長線上【答案與解析】解：（1）CAO+BAE=90，ABE+BAE=90，CAO=ABERtCAORtABEt=8（2）由RtCAORtABE可知：BE=t，AE=2當(dāng)0t8時，SBCD=CDBD=（2+t）（4）=t1=t2=3當(dāng)t8時，SBCD=CDBD=（2+t）（4）=