一幅圖弄清dft與dtft,dfs的關(guān)系

1、一幅圖弄清 DFT 與 DTFT,DFS 的關(guān)系ted on 2012-11-24 21:28 BitArt 閱讀(2390) 評論(3) 編輯 收藏很多同學(xué)學(xué)習(xí)了數(shù)字信號處理之后，被里面的幾個名詞搞的暈頭轉(zhuǎn)向，比如 DFT，DTFT，DFS，F(xiàn)FT，F(xiàn)T,FS 等，F(xiàn)T 和 FS 屬于信號與系統(tǒng)課程的內(nèi)容，是對連續(xù)時間信號的處理，這里就不過多討論，只解釋一下前四者的關(guān)系。首先說明一下，我不是數(shù)字信號處理釋問題，而不涉及到任何公式運算。，因此這里只站在學(xué)生的角度以最淺顯易懂的性質(zhì)來解學(xué)過卷積，都知道有時域卷積定理和頻域卷積定理，在這里只需要記住兩點：1.在一個域的相乘等于另一個域的卷積；2.與

2、脈沖函數(shù)的卷積，在每個脈沖的位置上將產(chǎn)生一個波形的鏡像。(在任何一本信號與系統(tǒng)里，此兩條性質(zhì)有詳細公式證明)下面，就用這兩條性質(zhì)來說明DFT，DTFT，DFS，F(xiàn)FT 之間的聯(lián)系：先看：首先來說圖（1）和圖（2），對于一個模擬信號，如圖(1)所示，要分析它的頻率成分，必須變變換即FT(Fourier Transform)得到的，于是有了模擬信號的頻譜，如換到頻域，這是通過圖(2)；注意 1：時域和頻域都是連續(xù)的！但是，計算機只能處理數(shù)字信號，首先需要將原模擬信號在時域離散化，即在時域?qū)ζ溥M行采樣，采樣脈沖序列如圖(3)所示，該采樣序列的頻譜如圖(4)，可見它的頻譜也是一系列的脈沖。所謂時域采樣

3、，就是在時域?qū)π盘栠M行相乘，(1)(3) 后可以得到離散時間信號xn，如圖(5)所示；由前面的性質(zhì) 1，時域的相乘相當(dāng)于頻域的卷積，那么，圖(2)與圖(4)進行卷積，根據(jù)前面的性質(zhì) 2 知，會在各個脈沖點處出現(xiàn)鏡像，于是得到圖(6)，它就是圖(5)所示離散時間信號xn的 DTFT(Discretetime Fourier Transform)，即離散時間時時域是離散的，而頻域依然是連續(xù)的。變換，這里強調(diào)的是“離散時間”。注意 2：此經(jīng)過上面兩個步驟，得到的信號依然不能被計算機處理，因為頻域既連續(xù)，又周期。自然就想到，既然時域可以采樣，為什么頻域不能采樣呢？這樣不就時域與頻域都離散化了嗎？沒錯，

4、接下來對頻域在進行采樣，頻域采樣信號的頻譜如圖(8)所示，它的時域波形如圖(7)?，F(xiàn)在進行頻域采樣，即頻域相乘，圖(6)圖(8)得到圖(10)，那么根據(jù)性質(zhì) 1，這次是頻域相乘，時域卷積了吧，圖(5)和圖(7)卷積得到圖(9)，不出所料的，鏡像會呈周期性出現(xiàn)在各個脈沖點處取圖（10）周期序列的主值區(qū)間，并記為 X(k)，它就是序列 xn的 DFT(Discrete Fourier Transform)，即變換?？梢?，DFT 只是為了計算機處理方便，在頻率域?qū)TFT 進行的采樣并截取主值離散而已。有人可能疑惑，對圖(10)進行 IDFT，回到時域即圖(9)，它與原離散信號圖(5)所示的xn不同

5、呀，它是 xn的周期性延拓！沒錯，因此你去查找一個 IDFT 的定義式，是不是對 n 的取值區(qū)間進行限制了呢？這一限制的含義就是，取該周期延拓序列的主值區(qū)間，即可還原 xn！FFT 呢？FFT 的提出完全是為了快速計算DFT 而已，它的本質(zhì)就是 DFT！常用的信號處理或者 DSP包中，包含的算法都是 FFT 而非 DFT。DFS,是針對時域周期信號，如果對圖(9）所示周期延拓信號進行 DFS，就會得到圖(10)，只要截取其主值區(qū)間，則與DFT 是完全的一一對應(yīng)的精確關(guān)系。這點對照DFS 和DFT 的定義式也可以輕易的看出。因此DFS 與 DFT 的本質(zhì)是一樣的，只不過描述的方法不同而已。不知道經(jīng)過上面的解釋，您是否明白各種 T 的關(guān)系了呢？如果您不是算法設(shè)計者，其實只要懂得如何使用 FFT