淺談菲波納契數(shù)列的內(nèi)涵和應(yīng)用價值

1、 淺談菲波波納契數(shù)數(shù)列的內(nèi)內(nèi)涵和應(yīng)應(yīng)用價值值99數(shù)學(xué)學(xué)本四班班 莫少勇勇 指指導(dǎo)教師師 孫麗英英摘 要要 本文文從菲波波那契數(shù)數(shù)列出發(fā)發(fā)，通過過探究其其數(shù)學(xué)內(nèi)內(nèi)涵和它它在實際際生活中中的應(yīng)用用，提高高學(xué)生對對數(shù)學(xué)的的欣賞能能力，初初步建立立數(shù)學(xué)建建模的思思想，從從而提高高用數(shù)學(xué)學(xué)知識分分析實際際問題的的能力。 關(guān)鍵詞 Fibbonaaccii數(shù)列 黃金數(shù)數(shù) 優(yōu)選選法數(shù)學(xué)美不不僅有形形式的和和諧美，而且有有內(nèi)容的的嚴(yán)謹(jǐn)美美；不僅僅有語言言的簡明明、精巧巧美，而而且有公公式、定定理的結(jié)結(jié)構(gòu)整體體美；不不僅有邏邏輯、抽抽象美，而且有有創(chuàng)造應(yīng)應(yīng)用美。古希臘臘的畢達(dá)達(dá)哥拉斯斯學(xué)派，首先從從數(shù)的比比例中求

2、求出美的的形式，發(fā)現(xiàn)了了黃金數(shù)數(shù)。神奇奇的菲波波納契數(shù)數(shù)列正是是黃金數(shù)數(shù)之后的的一大發(fā)發(fā)現(xiàn)，它它又被譽(yù)譽(yù)為“黃金數(shù)數(shù)列”。Fiboonaccci數(shù)數(shù)列的由由來Fiboonaccci數(shù)數(shù)列的提提出，當(dāng)當(dāng)時是和和兔子的的繁殖問問題有關(guān)關(guān)的，它它是一個個很重要要的數(shù)學(xué)學(xué)模型。這個問問題是：有小兔兔一對，若第二二個月它它們成年年，第三三個月生生下小兔兔一對，以后每每月生產(chǎn)產(chǎn)一對小小兔，而而所生小小兔亦在在第二個個月成年年，第三三個月生生產(chǎn)另一一對小兔兔，以后后亦每月月生產(chǎn)小小兔一對對，假定定每產(chǎn)一一對小兔兔必為一一雌一雄雄，且均均無死亡亡，試問問一年后后共有小小兔幾對對？對于n=1，22，令FFn表示

3、第第n個月月開始時時兔子的的總對數(shù)數(shù)，Bnn、An分別是是未成年年和成年年的兔子子（簡稱稱小兔和和大兔）的對數(shù)數(shù),則FFn= AAn+Bn根據(jù)題設(shè)設(shè)，有月份n123456An112358Bn111235Fn11235813顯然，F(xiàn)F1=1，F(xiàn)2=1，而且從從第三個個月開始始，每月月的兔子子總數(shù)恰恰好等于于它前面面兩個月月的兔子子總數(shù)之之和，于于是按此此規(guī)律我我們得到到一個帶帶有初值值的遞推推關(guān)系式式：若我們規(guī)規(guī)定F00=1，則上式式可變?yōu)闉檫@就是FFiboonaccci數(shù)數(shù)列的通通常定義義，也就就是數(shù)列列1，11，2，3，55，8，13，21，34，55，89，這這串?dāng)?shù)列列的特點點是：其其中任

4、一一個數(shù)都都是前兩兩數(shù)之和和。這個兔子子問題是是意大利利數(shù)學(xué)家家梁拿多多（Leeomaardoo）在他他所著的的算盤盤全集中提出出的，而而梁拿多多又名菲菲波納契契（Fiibonnaccci），所以這這個數(shù)列列稱作菲菲波納契契數(shù)列，其中每每一項稱稱作Fiibonnaccci數(shù)。它的通項項是Fnn=()n+11-()n+11，由由法國數(shù)數(shù)學(xué)家比比內(nèi)（BBineet）求求出的。二Fiibonnaccci數(shù)列列的內(nèi)涵涵（1）FFiboonaccci數(shù)數(shù)列的通通項的證證明我們們可以通通過求解解常系數(shù)數(shù)線性齊齊次遞推推關(guān)系或或者利用用生成函函數(shù)法來來實現(xiàn)。證法一： 菲波納納契數(shù)列列是一個個2階的的線性齊齊

5、次遞推推關(guān)系，它的遞遞推方程程是x22-x-1=00，特征根是是通解是是Fn=C1()n+C2()n代入初值值來確定定C1、C2，得方方程組解這個方方程組得得 C1=, C2=原遞推推關(guān)系的的解是 Fn=()n+11-()n+11證法二：設(shè)Fn的的生成函函數(shù)為 F(xx) ，則有 F(x)=F0+F1x+FF2x2+FFnxn+x(F(x)-F0)= FF1x2+F2x3+Fn-11xn+x2F(x)= F0 x2+F1x3+把以上式式子的兩兩邊由上上而下作作差得F(x)(1-x-xx2)+xx=F00+F1x+(F2-F1-F0)x2+(FF3-F2-F1)x3+=1+xx+0+0+F(xx

6、)=+由 解解得A=，B=F(xx)=-取x=1,kk=n，則Fnn=()n+11-()n+11（2）在在Fibbonaaccii數(shù)列中中，前后后兩項的的比值是是以黃金金數(shù)0.6188為極限限的。記bn=，則有有b0=1 b11=b2=b3=b4=b5= bbn=在求數(shù)列列的極限限之前我我們首先先來證明明以下兩兩個命題題：（i）引引理：FFiboonaccci數(shù)數(shù)列的任任意相鄰鄰四項滿滿足 FFn-22Fn+11-FnFn-11=(-1)nn ， n3證明：根根據(jù)行列列式與線線性方程程組的關(guān)關(guān)系，方程組 的解是是 x=()n-()n=FFn-11y=()n+11-()n+11=FFnFn-1、

7、FFn滿足原原方程組組，于是是有把以上方方程組的的兩邊對對應(yīng)相乘乘，得=整理得， Fn-12+FnFn-11-Fn2=(-1)nn+1 (Fnn-Fn-1)(Fn+Fn+1)-FnFn-11=(-1)nn FFn-22Fn+11-FnFn-11=(-1)nn 證證畢。（ii）數(shù)列存存在極限限。證明：由由引理可可知，當(dāng)當(dāng)n=22k+11，F(xiàn)kk-2FFk+11-FkFk-11=-110：當(dāng)n=2k，F(xiàn)k-2Fk+11-FkFk-11=10因此分別別有， 即數(shù)列遞遞增，數(shù)數(shù)列遞減減。 顯然然， 數(shù)列有界界。根據(jù)“單單調(diào)有界界數(shù)列必必有極限限”可知、存在極極限。設(shè)設(shè)=A, =B， 分別對bb2n=及

8、b2nn+1=兩邊取取極限有有A=, 與與B=即有與，則必必有A=BB0數(shù)列極極限的存存在性可可證。 于是由（ii）我們可可求。根據(jù)Fiibonnaccci數(shù)列列的通項項以及1得, =0.6618三Fiibonnaccci數(shù)列列的應(yīng)用用價值科學(xué)家發(fā)發(fā)現(xiàn)無論論在數(shù)學(xué)學(xué)領(lǐng)域還還是在自自然界中中都有很很多有趣趣的現(xiàn)象象與Fiibonnaccci數(shù)列列有關(guān)，現(xiàn)在舉舉例如下下：楊輝三角角對角線線上各數(shù)數(shù)之和構(gòu)構(gòu)成Fiibonnaccci數(shù)列列，即Fn=多米諾牌牌（可以以看作一一個21大小小的方格格）完全全覆蓋一一個n2的棋棋盤，覆覆蓋的方方案數(shù)等于于Fibbonaaccii數(shù)。從蜜蜂的的繁殖來來看，雄雄

9、峰只有有母親，沒有父父親，因因為蜂后后產(chǎn)的卵卵，受精精的孵化化為雌蜂，未受受精的孵孵化為雄雄峰。人人們在追追溯雄峰峰的祖先先時，發(fā)發(fā)現(xiàn)一只只雄峰的的第n代代祖先的的數(shù)目剛剛好就是是Fibbonaaccii數(shù)列的的第n項項Fn。 鋼琴的113個半半音階的的排列完完全與雄雄峰第六六代的排排列情況況類似，說明音音調(diào)也與與Fibbonaaccii數(shù)列有關(guān)關(guān)。自然界中中一些花花朵的花花瓣數(shù)目目符合于于Fibbonaaccii數(shù)列，也就是是說在大大多數(shù)情情況下，一朵花花瓣瓣的數(shù)目目都是33，5，8，113，221，334，。如果一根根樹枝每每年長出出一根新新枝，而而長出的的新枝兩兩年以后后，每年年也長出出

10、一根新新枝，那么歷年年的樹枝枝數(shù)，也也構(gòu)成一一個Fiibonnaccci數(shù)列列。 Fiboonaccci數(shù)數(shù)列的重重要價值值還在于于它能作作為一些些實際問問題的數(shù)數(shù)學(xué)模型型，從而而使復(fù)雜雜的實際際問題轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化到我我們熟悉悉的數(shù)學(xué)學(xué)問題的的解決上上。問題一：有一條條n級樓樓梯，如如果每步步只能跨跨上一級級或兩級級，問欲欲登上去去，共有有幾種走走法？分析：由由于登上上n級臺臺階可以以從第nn-2直直接上來來，也可可以通過過第n-1級分分步上來來，這樣樣登上nn級臺階階的走法法不僅與與登上nn-1級級走法有有關(guān)，且且也與登登上n-2級臺臺階的走走法有關(guān)關(guān)，故這這里可以以考慮通通過二階階遞推式式來進(jìn)行行

11、求解。解：登上上第一級級只有一一種走法法，記aa1=1，登上第二二級，有有兩種走走法，記記a2=2，如果要登登上第nn級，那那么可能能是第nn-1級級走上來來，也可可能是第第n-22級跨上上兩級上上來的，故有 ann=an-1+aan-22顯然這是是缺了FF0項的FFiboonaccci數(shù)數(shù)列，它它的通項項為 Fnn=()n+11-()n+11所以要登登上第nn級樓梯梯，共有有Fn種不同同的走法法。問題二：某一種種產(chǎn)品的的質(zhì)量取取決于它它的溫度度，這個個溫度估估計在110000C15000C之之間，怎怎樣試驗驗才能找找到最好好的溫度度？ 有有人從110011C開始始做試驗驗，一直直做到1149

12、99C，共共做4999次試試驗，找找到了最最好溫度度，這叫叫均分法法。顯然然這是一一種很笨笨的方法法。若我我們利用用Fibbonaaccii數(shù)列的的知識只只須做113次實實驗就可可達(dá)到同同樣的效效果。 這這里我們們利用FFiboonaccci數(shù)數(shù)列中的的極限，因為它它是無理理數(shù)不好好計算，所以取取它的三三位不足足近似值值0.6618來來代替它它。 我我們用一一張有刻刻度的紙紙條上寫寫上10000CC15000C，在15500CC的點記記為Fnn，第一一次試驗驗在紙條條總長的的0.6618處處即13309CC處取第第一個試試驗點記記為Fnn-1，使得=0.6618 第第二次試試驗,將將紙條對對折

13、，找找到與113099C（即即Fn-1）相相重合的的點，即即11991C點點記為FFn-22，顯然然Fn-2=FFn-Fn-1，取取Fn-2作第第二個試試驗點，比較FFn-11和Fn-2，如如果Fnn-2處處比Fnn-1處處好，就就將Fnn-1的的右邊的的紙條剪剪去（反反之，剪剪去Fnn-2左左邊的一一段）。 第第三次試試驗，將將剩下的的紙條再再對折，在與111911C（FFn-22）重合合的點，即在111188C（FFn-33）點處處做，做做完后進(jìn)進(jìn)行比較較，如仍仍是11191CC處好，則剪去去11118C左左邊的一一段（反反之，剪剪去11191CC右邊的的一段）第四次試試驗，將將11118

14、C13009C這這段紙條條再對折折，又可可找到與與11991C重重合的點點12336C(Fn-4)，在12236CC處做第第四次試試驗。然后再比比較、剪剪裁，依依次做下下去，直直至達(dá)到到所要求求的精度度為止。試驗中中依次所所取的試試驗點就就構(gòu)成了了一個FFiboonaccci數(shù)數(shù)列。為什么這這里只要要做133次試驗驗就可抵抵用均分分法做4499次次試驗?zāi)啬?？我們們下面來來探討這這種試驗驗方法的的原理。一方面，在試驗驗中我們們是通過過用折紙紙法也就就是來回回調(diào)試法法來縮短短試驗的的范圍，減少試試驗次數(shù)數(shù)的。它它比均分分法優(yōu)化化得多。例如，取Fiibonnaccci數(shù)列列的F55點為第第一個試試驗

15、點，則用對對稱來回回調(diào)試法法做5次次試驗。相當(dāng)于于均分法法做133次試驗驗。一般般地，取取Fm-1為第第一個試試驗點，用對稱稱來回調(diào)調(diào)試法做做m-11次試驗驗。相當(dāng)當(dāng)于均分分法做FFm-11次試驗驗。m越越大，效效果越佳佳，由于于0.6188而=，因此此，從00.6118出發(fā)發(fā)做133次試驗驗相當(dāng)于于均分法法做6000多次次試驗，這就是是它的優(yōu)優(yōu)越性所所在。如如果我們們將區(qū)間間0，1均均分為nn+1份份，做nn次試驗驗，可以以知道最最優(yōu)點在在長的區(qū)區(qū)間內(nèi)，叫做精精度，記記為=。對折折紙法而而言，做做n次試試驗最優(yōu)優(yōu)點在長長度為(0.6618)n-11的區(qū)間間內(nèi)。題題中做4499次次試驗，設(shè)試驗

16、驗區(qū)間長長度為11，則=由(0.6188)n-1= 解得得n13另一方面面，我們們在試驗驗中每次次剪去一一段后，最優(yōu)點點是不會會丟掉的的，這是是試驗有有效的前前提保證證。設(shè)每每個試驗驗點對應(yīng)應(yīng)的試驗驗結(jié)果是是試驗點點的函數(shù)數(shù)，我們們假定它它滿足以以下定義義：設(shè)ff(x)是區(qū)間間a,b上上的一個個函數(shù)，如有一一點m屬屬于aa,b使f(x11)ff(x22)ff(m)，當(dāng)aax11x2m時時；f(m)f(x1)ff(x22)，當(dāng)當(dāng)mxx1x2b時時，則f(xx)叫做做區(qū)間a,bb上的的一個單單峰函數(shù)數(shù)，點mm叫做好好點，也也就是我我們要找找的最優(yōu)優(yōu)點。因此我們們在試驗驗中某段段區(qū)間a,bb上比比較兩個個點Fmm和Fm-1時，如果ff(Fmm)ff(Fmm-1)，則可可丟區(qū)間間a,Fm；如如果f(Fm)ff(Fmm-1)，則可可丟區(qū)間間Fmm-1,b；如果ff(Fmm)=ff(Fmm-1)，則可可丟區(qū)間間a,Fm和Fm-1,bb。以上這種種試驗方方法是今今天科學(xué)學(xué)領(lǐng)域上上所謂的的優(yōu)選法法，它體體現(xiàn)了FFiboonaccci數(shù)數(shù)列在現(xiàn)現(xiàn)代最優(yōu)優(yōu)化理論論中重要要的應(yīng)用用價值?？傊現(xiàn)Fiboonaccci數(shù)數(shù)列的內(nèi)內(nèi)涵