2023線性代數(shù)教案

1、?線性代數(shù)?教案PAGE 教案2023-2023學(xué)年 第2學(xué)期課程名稱：線性代數(shù)任課教師：教師職稱：所在院系：PAGE 40裝 訂 線 裝 訂 線教學(xué)教案設(shè)計(jì)首頁課程名稱線性代數(shù)總課時(shí)34理論課時(shí)34實(shí)踐課時(shí)0主講教師職稱助教授課方式 課堂講授 實(shí)踐課考核方式 考試 考查課程類型 公共課 根底課 專業(yè)根底課 專業(yè)課 選修課教材名稱線性代數(shù)作者同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系出版社高等教育出版社指定參考書書名作者出版社模塊名稱考試范圍考試時(shí)間第一模塊行列式與矩陣的運(yùn)算1-80頁第10周第二模塊線性方程組及向量組81-120頁第17周教學(xué)目的及要求?線性代數(shù)?教案PAGE 1裝 訂 線 裝 訂 線教學(xué)教案設(shè)計(jì)續(xù)頁第

2、一 章 行列式1.1 n 階行列式定義教學(xué)目的：使學(xué)生了解和掌握n級(jí)排列、逆序逆序數(shù)奇排列偶排列n 階行列式定義及行列式的計(jì)算教學(xué)重點(diǎn)：n階行列式定義及計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)：n階行列式定義一、導(dǎo)入線性方程組和矩陣在工程技術(shù)領(lǐng)域里有著廣泛的應(yīng)用，而行列式就是研究線性方程組的求解理論和矩陣?yán)碚摰闹匾ぞ?。二、新授?二階、三階行列式對于二元線性方程組 1.1采用加減消元法從方程組里消去一個(gè)未知量來求解，為此：第一個(gè)方程乘以a22與第二個(gè)方程乘以a12相減得 a11a22a21a12x1= b1a22- b2a12第二個(gè)方程乘以a11與第一個(gè)方程乘以a21相減得 a11a22a21a12x2=a11b2-a

3、21b1假設(shè)a11a22a21a120，方程組的解為 1.2容易驗(yàn)證1.2式是方程組(1.1)的解。稱a11a22a21a12為二階行列式，它稱為方程組1.1的系數(shù)行列式，記為D。我們假設(shè)記方程組的解1.2式可寫成 對三元線性方程組 1.3與二元線性方程組類似，用加減消元法可求得它的解：(1.4)為方程組1.3的系數(shù)行列式, Dj (j=1,2,3)是將D的第j列換成常數(shù)列而得到的行列式。二階、三階行列式可用對角線法那么計(jì)算。為研究高階行列式的結(jié)構(gòu)，下面考察等式1.4：1.4式也可寫成如下形式 這里j1j2 j3是1，2，3的一個(gè)排列，表示對所有的3級(jí)排列求和。(二) n階行列式的定義1.定義

4、：把由n2個(gè)數(shù)排成n行n列的 1.5稱為n階行列式,它等于所有取自(1.5)中屬于不同行同列的n個(gè)元素的乘積 的代數(shù)和。這里j1 j2 jn是1，2，n的一個(gè)排列，當(dāng)(j1j2jn)是偶數(shù)時(shí)，乘積項(xiàng)前面取正號(hào)，當(dāng)(j1 j2jn)是奇數(shù)時(shí)，乘積項(xiàng)前面取負(fù)號(hào)。亦可以將這一定義寫成 (1.6) 等式1.6右邊表示此n階行列式的展開式，亦表示n階行列式的值。當(dāng)n=2或n=3時(shí)(1.6)式表示二階或三階行列式,我們還規(guī)定一階行列式|a|的值等于a。2. 例:計(jì)算行列式 (1) (2)解: 根據(jù)例中1，對于n階對角行列式可證得下面的結(jié)論：例5 求下面四階上三角行列式的值解：根據(jù)行列式的定義可知，假設(shè)乘積

5、項(xiàng)不為零，第一列只能取a11，第二列兩個(gè)非零元素只能取a22，第三列三個(gè)非零元素只能取a33，第四列四個(gè)非零元素只能取a44，故此對于n階上、下三角行列式，我們可以證得以下結(jié)論：。由此，設(shè)法將一般高階行列式化成三角行列式再求值，是計(jì)算行列式的一種簡單方便的方法。三n級(jí)排列及其奇偶性1.定義：由n個(gè)數(shù)1，2，3，組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n級(jí)排列。 例1 4321是一個(gè)4級(jí)排列，35241是一個(gè)5級(jí)排列123n是一個(gè)n級(jí)排列，它是唯一一個(gè)按著由小到大的次序組成的n級(jí)排列,稱它為n級(jí)標(biāo)準(zhǔn)排列2.定義：在一個(gè)排列中的兩個(gè)數(shù)，如果排在前面的數(shù)大于排在后面的數(shù)，那么稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序。在一個(gè)排列中逆

6、序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)。排列 j1j2jn的逆序數(shù)記為(j1 j2 jn)。逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。例3 在4級(jí)排列中，(3412)=2+2=4，故4級(jí)排列3412為一個(gè)偶排列。(2341)=1+1+1=3，故4級(jí)排列2341為一個(gè)奇排列。定理1.1：一個(gè)排列中的任何兩個(gè)元素對換，排列改變奇偶性1.2 n階行列式的根本性質(zhì)教學(xué)目的：了解和掌握n階行列式的根本性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)： n階行列式的根本性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：n階行列式根本性質(zhì)及利用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式一、導(dǎo)入：復(fù)習(xí)第一節(jié)內(nèi)容二、新授一定義：將行列式D的行列位置互換后所得的行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為DT

7、。即 , 二性質(zhì)性質(zhì)1：行列式D與它的轉(zhuǎn)置行列式DT值相等，即D=DT。性質(zhì)1說明行列式中行與列的地位是相同的，所以凡對行成立的性質(zhì)，對列也成立。性質(zhì)2：行列式中任意兩行列互換后，行列式的值僅改變符號(hào)。假設(shè)設(shè) ， 那么D=D1。證明：，根據(jù)定理1，性質(zhì)3：假設(shè)行列式中有兩行列元素完全相同，那么行列式值等于零。證明： 設(shè)行列式將i行與j行交換，由性質(zhì)2得 D=D，于是2D=0，即D=0。 由行列式的定義可直接證得：性質(zhì)4：以數(shù)k乘行列式的某一行列中所有元素，就等于用k去乘此行列式。即或者說，假設(shè)行列式的某一行列中所有元素有公因子，那么可將公因子提取到行列式記號(hào)外面。性質(zhì)5：假設(shè)行列式中有一行列的

8、元素全為零，那么行列式的值等于零。根據(jù)性質(zhì)3、性質(zhì)4可推出：性質(zhì)6：假設(shè)行列式中有兩行列的元素成比例，那么行列式的值等于零。由行列式定義可證得：性質(zhì)7：假設(shè)行列式的某一行列的元素都是兩數(shù)之和，那么這個(gè)行列式等于兩個(gè)行列式之和。即 根據(jù)性質(zhì)4、6、7可證得：性質(zhì)8：假設(shè)在行列式的某一行列元素上加上另一行列對應(yīng)元素的k倍，那么行列式的值不變。即在計(jì)算行列式時(shí)，為了便于檢查運(yùn)算的正確性，一般注明每一步運(yùn)算的依據(jù)。為此我們約定采用如下的記號(hào)：用ri+krj表示在行列式的第i行元素上加上減去第j行對應(yīng)元素的k倍。用ci+kcj表示在行列式的第i列元素上加上減去第j列對應(yīng)元素的k倍。三 例1計(jì)算解：例2

9、計(jì)算解：這個(gè)行列式的特點(diǎn)是各列4個(gè)數(shù)之和都是7，所以有例3 計(jì)算行列式解：根據(jù)行列式的性質(zhì)有例4 計(jì)算行列式解：例5 解以下方程1；2解：1這是一個(gè)用n階行列式表示的方程，在這個(gè)方程中，未知量x的最高次是n，所以方程有n個(gè)根。解這類方程的根本思路是先用行列式的性質(zhì)將其化簡，寫出未知中量x的多項(xiàng)式，然后再求出它的根。這個(gè)方程左端是一個(gè)n階字母行列式設(shè)為Dn，計(jì)算時(shí)需要一些技巧。先化簡行列式。于是原方程式為 x+n1bxbn-1=0解得原方程的解為 x1=1nb，x2=x3=xn=b 。2 因?yàn)?于是原方程式為 5x4x+5=0，解得x1=4，x2=-5。練習(xí)用行列式的性質(zhì)證明：1 23. 小結(jié)：

10、本節(jié)學(xué)習(xí)了n級(jí)排列、逆序逆序數(shù)奇排列偶排列n 階行列式定義及行列式的計(jì)算，n階行列式的根本性質(zhì)，應(yīng)掌握利用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式的方法1.3n階行列式的按行(列)展開教學(xué)目的：使學(xué)生了解和掌握n階行列式的按行(列)展開教學(xué)重點(diǎn)：n階行列式的按行(列)展開教學(xué)難點(diǎn)：n階行列式的按行(列)展開導(dǎo)入新授一造零降階法1. 定義：在n階行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列劃去后所留下的n-1 階行列式稱作元素aij的余子式，記作Mij，并記 Aij =-1i+j MijAij稱作元素aij的代數(shù)余子式。2. 例1 在四階行列式 中元素的余子式和代數(shù)余子式分別為A23 = 12+3M23 =M23在

11、三階行列式 中元素的余子式和代數(shù)余子式分別為A31=13+1M31=3二. 定理1：一個(gè)n階行列式，如果其中第i行所有元素除aij外都為零，那么這個(gè)行列式等于元素aij與它的代數(shù)余子式Aij的乘積，即D=aij Aij證明：分兩種情形來證。首先證明位于第1行第1列的情形，此時(shí)行列式為由行列式定義，并注意到第可1行中除第1列外其余列元素全為零?？蓪n表示為而按行列式定義又有于是Dn= a11M11又A11 = 11+1M11 = M11從而Dn=a11 A11再證一般情形。此時(shí)行列式可設(shè)為把Dn行列作如下的調(diào)換：把Dn的第i行依次與第i-1行、第i-2行、第1行對調(diào)，這樣aij就調(diào)到原來a1j

12、的位置上，調(diào)換的次數(shù)為i-1。再把第j列依次與第j-1列、第j-2列、第1列對調(diào)，這樣元素就調(diào)到左上角a11位置，調(diào)換次數(shù)為j-1。最終經(jīng)過i+j-2次調(diào)換，把元素調(diào)到a11位置，而所得的行列式應(yīng)為D1=1i+j-2D= -1i+jD由于aij位于D1的左上角，利用前面的結(jié)果，有D1 =aijMij于是Dn= -1i+jD1 =-1i+jaijMij = aij Aij 。例2 計(jì)算行列式解：利用定理1，先對第三行進(jìn)行造零，那么有例3 計(jì)算行列式解：這個(gè)行列式從第二行開始，每一行元素之和都等于零，故此將第2、3、4、5列分別加到第1列上得例4計(jì)算行列式解：本行列式具有每一行列元素之各都相同，因

13、此把第2、3、n-1列都加到第一列上，可得到例5 證明范德蒙vandermonde行列式：證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)n=2時(shí)，有命題成立。假設(shè)命題對n-1階范德蒙行列式成立。下面證明命題對n-1階范德蒙行列式也成立。 由命題假設(shè)代入上式，得 .三行列式按某一行列展開定理定理2：n階行列式Dn的值等于它任一行列的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即i=1，2，n或者j=1，2，n證明：類似地，可證明Dn=a1j A1j+ a2j A2j +anj Anj j=1，2，n定理2叫做行列式按行列展開法那么。利用這一法那么并結(jié)合行列式性質(zhì)，可以化簡行列式的計(jì)算。例6 計(jì)算行列式解：根據(jù)行列式的特點(diǎn)，

14、對第一列用定理2的方法展開可得推論：n階行列式Dn的任一行列元素與另一行列的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即ai1Aj1 +ai2Aj2 +ainAjn=0 ija1iA1j+a2iA2j+aniAnj =0 ij綜合定理1和推論可得出如下表達(dá)式：或1.4克拉默法那么教學(xué)目的：克拉默法那么及其應(yīng)用、n元齊次線性方程組教學(xué)重點(diǎn)：克拉默法那么及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：克拉默法那么的證明一、導(dǎo)入二、新授一定理1.4(克萊姆法那么)：如果線性方程組1.6的系數(shù)行列式不等于零，即那么方程組1.6有唯一解， (1.7) 其中Dj(j=1,2,n)是把系數(shù)行列式D中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到

15、的n階行列式,即證明：用系數(shù)行列式D中第j列元素的代數(shù)余子式A1j,A2j,Anj依次乘方程組(1.6)的n個(gè)方程,再把它們相加,得根據(jù)定理3的推論可知,上式中xj 的系數(shù)等于D,而其余的系數(shù)均為零,等式右端即為Dj。于是有 Dxj=Djj=1，2，n (1.8)當(dāng)D0時(shí)，方程組1.6有唯一的一個(gè)解(1.7)。由于方程1.8與方程(1.6)是同解方程,故此,方程(1.6)的解一定是方程(1.8)的解。而方程1.8僅有一個(gè)解1.7，故方程1,6如果有解只可能是解1.7。下面驗(yàn)證解1.7是方程1.6的唯一解。取一個(gè)兩行相同的n+1階行列式i =1，2，n它的值為0，把它按第一行展開，得0=biD

16、ai1D1ainDn由于D0，所以i=1，2，n。二 例1 解線性方程組解：利用克拉默法那么求方程組的解。所以方程組有唯一解；又于是方程組的解是。 例2 一個(gè)土建師，一個(gè)電氣師，一個(gè)機(jī)械師，組成一個(gè)技術(shù)效勞隊(duì)，假設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)，每人收入1元人民幣需要其它兩人的效勞費(fèi)用和實(shí)際收入如表一，問這段時(shí)間內(nèi)，每人的總收入分別是多少？ 被效勞者效勞者土建師范電氣師機(jī)械師實(shí)際收入土建師 0 0.2 0.3 500電氣師 0.1 0 0.4 700機(jī)械師 0.3 0.4 0 600表一解：設(shè)土建師、電氣師、機(jī)械師的總收入分別是x1，x2，x3。根據(jù)題意，列出以下方程組： 即 , , .答：這段時(shí)間內(nèi)，土建師的

17、總收入是1256.48元，電氣師的總收入是1448.13元,機(jī)械師的總收入是556.20元。三n元齊次線性方程組1. 在線性方程組1.6中,當(dāng)常數(shù)項(xiàng)b1,b2,bn全都為零時(shí),即 (1.9) 稱為n元齊次線性方程組。零解：當(dāng)系數(shù)行列式D不等于零時(shí)， x1=0，x2=0，xn=0 ?；蚍Q為平凡解非零解：或稱為非平凡解2. 定理1.5：含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的齊次線性方程組(1.9)有非零解的充分且必要條件是：方程組的系數(shù)行列式D=0。證明：如果D0，那么方程組(1.9)只有唯一解是零解，因而沒有非零解。反之，如果D=0那么方程組(1.9)不是有唯一解，那么方程組(1.9)或者有解或者無解。但方程

18、組(1.9)至少零解，因此，方程組(1.9)有無窮多解，從而除了零解之外還有非零解。 3. 例3 求下面齊次線性方程組的解解： 所以方程組只有零解。即x1=x2=x3=x4=0例4 問k為何值時(shí)，方程組有非零解？解：將方程組整理得根據(jù)定理5，當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)行列式等于零時(shí)，齊次線性方程組有非零解，即 ， 3k21=0故當(dāng)k=2和k=4時(shí)方程組有非零解.。三、練習(xí)1 2. k取何值時(shí)，以下齊次線性方程組可能有非零：3. 小結(jié)：本節(jié)學(xué)習(xí)了n階行列式的按行(列)展開，克萊姆克拉默法那么及其應(yīng)用第二 章 矩陣2.1 矩陣及其運(yùn)算教學(xué)目的：使學(xué)生學(xué)習(xí)矩陣相關(guān)的概念及運(yùn)算教學(xué)重點(diǎn)：矩陣的概念及運(yùn)算，幾種特殊的

19、矩陣教學(xué)難點(diǎn)：矩陣的的乘法運(yùn)算，一、導(dǎo)入矩陣是從實(shí)際問題的計(jì)算中抽象出來的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，是數(shù)學(xué)研究中常用的工具，它不僅在數(shù)學(xué)中的地位十分重要，而且在工程技術(shù)各領(lǐng)域中也有著廣泛的應(yīng)用。矩陣的運(yùn)算在矩陣的理論中起著重要的作用。它雖然不是數(shù)，但用來處理實(shí)際問題時(shí)往往要進(jìn)行矩陣的代數(shù)運(yùn)算。二、新授1定義1：由個(gè)數(shù)排成的行列的表稱為行列矩陣matrix,簡稱矩陣。一般用大寫黑體字母表示：記為A、B、C。為了表示行和列，也可簡記為或矩陣中數(shù)稱為矩陣的第行第列元素。注意：m=n時(shí)是方陣，此時(shí)矩陣稱為n階方陣或n階矩陣。n=1 稱為列矩陣或列向量 。m=1 稱為行矩陣或行向量 。定義2 ：如果兩個(gè)矩陣有相同的

20、行數(shù)，相同的列數(shù)，并且對應(yīng)位置上的元素均相等。那么稱兩個(gè)矩陣相等。記為A=B。把有相同行數(shù)，相同列數(shù)的兩個(gè)矩陣稱為同型矩陣。某廠向三個(gè)商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量可列成矩陣其中為工廠向第店發(fā)送第種產(chǎn)品的數(shù)量。這四種產(chǎn)品的單價(jià)及單價(jià)重量也可列成矩陣其中為第中產(chǎn)品的單價(jià)，為第種產(chǎn)品單價(jià)重量。2特殊形式矩陣：1 n階方陣：在矩陣中，當(dāng)時(shí)，稱為階方陣2行矩陣：只有一行的矩陣叫做行矩陣列矩陣：只有一列的矩陣 叫做列矩陣3零矩陣：元素都是零的矩陣稱作零矩陣3相等矩陣：對應(yīng)位置上的元素相等的矩陣稱作零矩陣4常用特殊矩陣：1對角矩陣： 2數(shù)量矩陣： 3單位矩陣：4三角矩陣：稱作上三角矩陣， 稱作下三角矩陣。5.矩陣

21、的運(yùn)算矩陣的加法：定義3：A+ B=+= + =兩個(gè)同型m行、同列n列的矩陣相加等于對應(yīng)位置上的元素相加行與列不變由于矩陣加法歸結(jié)為對應(yīng)位置元素相加，故矩陣加法滿足如下運(yùn)算律交換律A+ B= B+ A結(jié)合律A+ B+C= A+ (B+C)有零元A+0=A有負(fù)元A+(-A)=0數(shù)與矩陣的乘法定義4、給定矩陣A=及數(shù)k,那么稱k為數(shù)k與矩陣A的乘積。即kA= k=由定義可知 A=(-1)AA B = A+(-B)數(shù)與矩陣的乘法滿足以下運(yùn)算律設(shè)，為矩陣，為數(shù)：abc例1 設(shè) ，求。解： 三、矩陣的乘法(1) 定義5：設(shè)兩個(gè)矩陣，那么矩陣與矩陣的乘積記為，規(guī)定，其中 (2) 矩陣的乘法滿足以下運(yùn)算律假

22、設(shè)運(yùn)算都是成立的：(a) 結(jié)合律：； b分配律：；c設(shè)是數(shù)，。例2設(shè) ， ， 求，與。解：; 從例題中我們可以得出下面的結(jié)論：i矩陣的乘法不滿足交換律。即一般地說，。ii兩個(gè)非零矩陣的乘積可能等于零。一般說來，不能推出或。iii矩陣乘法中消去律不成立。即，且，不能推出設(shè)是一個(gè)階方陣，定義：是正整數(shù)稱為的次方冪。由于矩陣的乘法適合結(jié)合律，所以方陣的冪滿足以下運(yùn)算律：； ，其中，為正整數(shù)。又因?yàn)榫仃嚦朔ㄒ话悴粷M足交換律，所以對兩個(gè)階方陣與，一般說來，。設(shè)是的一個(gè)多項(xiàng)式，為任意方陣，那么稱 為矩陣的多項(xiàng)式四、矩陣的轉(zhuǎn)置1定義：設(shè) 那么矩陣 稱為的轉(zhuǎn)置矩陣2矩陣的轉(zhuǎn)置是一種運(yùn)算，它滿足以下運(yùn)算律假設(shè)運(yùn)

23、算都是可行的：1 23 是數(shù) 4例3 設(shè)BT=B, 證明(ABAT)T=ABAT證明：因?yàn)锽T=B， 所以 (ABAT)T=ABATT=(AT)T(AB)T=ABTAT=ABAT3定義：設(shè)為階方陣，如果，即有那么稱為對稱矩陣。如果，即有，那么說為反對稱矩陣。五、方陣的行列式1定義6：由階方陣所有元素構(gòu)成的行列式各元素的位置不變，稱為階方陣的行列式(determinant of a matrix A)，記作| 或 。2階行列式的運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律設(shè)，為階方陣，為數(shù)：1；2；3。3. 小結(jié)：本節(jié)介紹了矩陣的概念和矩陣的特殊形式和特殊矩陣以及矩陣的加、減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、方陣行列式的運(yùn)算，這些運(yùn)算

24、在矩陣?yán)碚撝姓加兄匾匚?，特別是乘法運(yùn)算，要熟練掌握這些運(yùn)算。2.2 逆矩陣教學(xué)目的：會(huì)判斷矩陣的可逆性，矩陣可逆的條件教學(xué)重點(diǎn)：1可逆性判定；2. 矩陣可逆的條件教學(xué)難點(diǎn)：求逆矩陣一、導(dǎo)入求逆矩陣是矩陣的一種重要運(yùn)算，它在矩陣的應(yīng)用中起到重要的作用。二、新授逆矩陣的概念1定義：設(shè)為階方陣，假設(shè)存在階方陣，使那么稱是可逆矩陣。并稱為的逆矩陣，記為，即。如果矩陣是可逆的，那么的逆矩陣是唯一的。事實(shí)上，設(shè)，都是的可逆矩陣，那么有 ，于是 。2定義：設(shè)為階方陣，假設(shè)，那么稱是非奇異的或非退化的，否那么稱是奇異的或退化的。3定義：設(shè) ，令為中元素的代數(shù)余子式，那么稱方陣為的伴隨矩陣，或記為。矩陣可逆的

25、充要條件定理：方陣可逆的充分必要條件是為非奇異矩陣，即，并且證明：充分性：設(shè) ，由第一章中定理1.4及推論可知又知，所以有 故可逆，且 。 證畢。推論1：假設(shè)是可逆矩陣，那么經(jīng)過假設(shè)干次初等變換后所得矩陣仍為可逆矩陣。推論2：假設(shè)或，那么。方陣的逆矩陣滿足下面運(yùn)算律：假設(shè)可逆，那么； 2假設(shè)可逆，數(shù)，那么；3假設(shè)，為同階可逆矩陣，那么；4假設(shè)可逆，那么；5假設(shè)可逆，那么逆矩陣的計(jì)算方法： 伴隨矩陣求逆矩陣 例1求方陣 的逆陣。解：求得 ，所以存在，又得 所以例 用伴隨矩陣法求A的逆矩陣解：因?yàn)?，所以A可逆。， ，3. 小結(jié)：本節(jié)講授了逆矩陣的概念、可逆條件和求逆的方法，要求會(huì)求逆矩陣。2.3

26、 矩陣的分塊法教學(xué)目的：會(huì)用分塊矩陣作加、減、數(shù)乘法、轉(zhuǎn)置運(yùn)算教學(xué)重點(diǎn)：分塊矩陣的乘法運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)：分塊矩陣的乘法運(yùn)算一、導(dǎo)入對于行數(shù)和列數(shù)較大的矩陣我們經(jīng)常會(huì)采用一種分塊的方法即將高階矩陣劃分成假設(shè)干個(gè)小塊后再進(jìn)行降階運(yùn)算，它是計(jì)算高階矩陣的一種有用的技巧。二、新授分塊矩陣的概念設(shè)是一個(gè)矩陣，我們將用假設(shè)干條橫線和縱線分成許多小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為的子塊或稱為的子矩陣，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。分塊矩陣的運(yùn)算1分塊矩陣的加法：設(shè)矩陣A和B是兩個(gè)同型矩陣，且采用同樣的方式進(jìn)行分塊，那么分塊矩陣A與B相加，只需的把對應(yīng)子塊相加。2數(shù)與分塊矩陣的乘法：數(shù)與分塊矩陣相乘等于用這個(gè)數(shù)乘

27、每一個(gè)子塊。3分塊矩陣的乘法：設(shè)A為ms矩陣，B為sn矩陣，將它們分塊成 ， 其中4、分塊矩陣的轉(zhuǎn)置：設(shè)， 那么5、分塊對角矩陣的行列式具有性質(zhì)： 例 設(shè)矩陣 ， 求A+B，AB。 解：按相同的分法把A，B分成以下子塊那么有 而所以，而， 故 .3. 小結(jié)：本節(jié)主要介紹矩陣的分塊運(yùn)算，作為選講內(nèi)容 ，對其概念和運(yùn)算要求一般性的掌握。第三章 矩陣的初等變換與線性方程組3.1 矩陣的初等變換教學(xué)目的：掌握矩陣的初等變換和初等矩陣,會(huì)進(jìn)行初等變換教學(xué)重點(diǎn)：初等變換，利用初等變換求矩陣的逆教學(xué)難點(diǎn)：利用初等變換求矩陣的逆一、導(dǎo)入矩陣的初等變換是一種奇妙的運(yùn)算，它在線性代數(shù)中有著極其廣泛的應(yīng)用，借助它我

28、們可以得到很多有用的的結(jié)論。二、新授定義1 下面三種變換稱為矩陣的初等行列變換：1互換矩陣中兩行列元素記rirj 或cic j ；2用一個(gè)非零數(shù)k乘矩陣的某一行列記kri或kci ；3矩陣的某一行列元素倍地加到另一行列對應(yīng)元素上記ri +krj 或ci + kc j ；注意：本行的元素并沒有改變矩陣的初等行或列變換統(tǒng)稱矩陣的初等變換。如果矩陣A經(jīng)過有限次的初等變換變成B，那么稱A與B等價(jià)。記做A B 或 A B 。矩陣等價(jià)的三個(gè)性質(zhì)：1反身性 A A ；2對稱性 假設(shè)A B ，那么B A ；3傳遞性：假設(shè)A B ，B C ，那么 A C。行階梯形矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全為零，每個(gè)臺(tái)階

29、只有一行，即每段豎線的長度為一行，豎線后面的第一個(gè)元素為非零數(shù)。如，等都是行階梯形矩陣。行最簡形矩陣：在行階梯形矩陣的根底上，每個(gè)非零行左數(shù)第一個(gè)非零元是1，并且它所在列的其它元素都是零。標(biāo)準(zhǔn)型矩陣：它的左上角為一個(gè)單位陣，其它元素都是零。就是.定理1 任意一個(gè)mn矩陣A，總可以經(jīng)過有限次初等行變換將其變成行階梯形矩陣，進(jìn)一步還可化成行最簡形矩陣。定理2 一個(gè)非奇異矩陣A，可以經(jīng)過有限次初等行變換變成單位陣。定理3 任意一個(gè)mn矩陣A，總可以經(jīng)過有限次初等變換將其變成標(biāo)準(zhǔn)型矩陣定義2初等矩陣對單位矩陣E施行一次初等變換后得到的矩陣，稱為初等矩陣。有以下三種類型：對調(diào)、倍乘、倍加， 1對調(diào)兩行或

30、對調(diào)兩列 記為 。2以k0乘矩陣某行或某列 記為, 其中 。3以數(shù)k乘矩陣某行列加到另一行列上去 記為, 初等矩陣有如下性質(zhì)：性質(zhì)1 初等矩陣都是可逆矩陣，且其逆陣也是同類初等矩陣，；性質(zhì)2 初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍是同類初等矩陣，；性質(zhì)3 對矩陣A施行一次行初等變換相當(dāng)于在A的左邊乘一個(gè)同類m階初等矩陣；而施行一次列初等列變換相當(dāng)于在A的右邊乘一個(gè)同類n階初等矩陣。初等矩陣的這個(gè)性質(zhì)為計(jì)算逆矩陣提供了一個(gè)方法，討論如下。設(shè)A是階可逆矩陣，由上節(jié)定理2一個(gè)非奇異矩陣A，可以經(jīng)過有限次初等行變換變成單位陣那么A可經(jīng)過有限次初等行變換變成單位陣，即存在一批初等矩陣P1、P2、Ps ，使得PsP2 P1 A

31、 = E ，所以 PsP2 P1 = A-1 ，這樣，如果把將A化成E過程中的每個(gè)初等陣Pi都記載下來，就可得到A的逆矩陣 A-1 =PsP2 P1 ，可以想象這樣做也很麻煩。采用比照的方法：PsP2 P1 A = E ，PsP2 P1 E= A-1 ，就是說，對A做什么樣的初等行變換，就對E做什么樣的初等行變換，而不必記載中間的初等變換的具體結(jié)果，直至將A化成E 。再考慮到分塊矩陣的乘積，有PsP2 P1A | E=PsP2 P1 A | PsP2 P1E =E | A-1用初等變換表示上面的過程，就是A | EP1 A | P1E P2 P1 A | P2 P1E PsP2 P1 A |

32、PsP2 P1E =E | A-1。這就是用初等變換求逆矩陣的方法。例3 用初等變換法求矩陣的逆矩陣。例4 用初等變換法求矩陣的逆矩陣。3.2 矩陣的秩教學(xué)目的：理解矩陣秩的概念并求解矩陣的秩教學(xué)重點(diǎn)：矩陣秩的求解教學(xué)難點(diǎn)：矩陣秩的求解定義3 在mn矩陣A中，任取kk minm，n行、k列，位于這些行列交叉處的元素，不改變順序組成一個(gè)k階行列式，稱此行列式為矩陣A的一個(gè)k階子式。一般地說，矩陣A的一個(gè)k階子式不止一個(gè)，可以計(jì)算它共有個(gè)k階子式。 例如，是它的一個(gè)二階子式，是它的另一個(gè)二階子式，它共有個(gè)二階子式。是它的一個(gè)三階子式，共有個(gè)三階子式。是它的一個(gè)一階子式，它共有個(gè)一階子式,它無四階和

33、四階以上子式。定義4 設(shè)在矩陣A中有一個(gè)不等于零的r階子式，而所有的r + 1階如果存在子式均為零，那么r稱矩陣A的秩。記做RA= r 。利用定義計(jì)算一般矩陣的秩可能需要較大的計(jì)算量，不是一個(gè)好方法。因此只能計(jì)算特殊的矩陣，如階梯形矩陣的秩。如階梯形矩陣的秩。如 ，有RA= 3 。42分鐘定理4 矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。定理4給出求一般矩陣秩的方法，就是用初等變換將一般的矩陣化為階梯形矩陣。例5 求矩陣的秩。矩陣秩的根本性質(zhì)：設(shè)A是mn矩陣， RA minm，n；2RAT= RA；3假設(shè)AB，那么RB= RA。4假設(shè)P、Q可逆，那么RPAQ= RA。 。3.3 線性方程組的解教學(xué)目的：使

34、學(xué)生了解和掌握線性方程組的解的根本概念以及利用高斯消元法解線性方程組教學(xué)重點(diǎn)：利用高斯消元法解線性方程組教學(xué)難點(diǎn)：高斯消元法一、導(dǎo)入在工程技術(shù)領(lǐng)域中,有許多問題的討論往往在最后歸結(jié)為求解線性方程組,因此研究一般的線性方程組在什么條件下有解,以及在有解時(shí)如何求出它全部的解，總是工程技術(shù)中提出的需要解決的一個(gè)十分重要問題,而研究一般的線性方程組的求解問題,正是線性代數(shù)的主要內(nèi)容之一.在這章里我們將借助矩陣這個(gè)工具對一般線性方程組的相容性問題及解的結(jié)構(gòu)問題進(jìn)行討論，介紹向量的概念、性質(zhì)及方程組解的向量表示。二、新授 一非齊次線性方程組和齊次線性方程組.一般的線性方程組是指形如 (3.1)的線性方程組

35、.假設(shè)記,那么方程組(3.1)可寫成矩陣形式 AX=B 。當(dāng)B0時(shí)稱為非齊次線性方程組,當(dāng)B=0時(shí)即AX=0稱為齊次線性方程組.(二) 高斯消元法定理3.1: 假設(shè)將線性方程組AX=B的增廣矩陣用初等變換化為,那么AX=B與UX=V是同解方程組.證明:由于對矩陣施行一次初等行變換等價(jià)于矩陣左乘一個(gè)初等矩陣,因此存在初等矩陣,使得 ,記,由初等矩陣的可逆性知P可逆.假設(shè)設(shè)X1為AX=B的解,即AX1=B,兩邊同時(shí)左乘矩陣P,有 PAX1=PB (PA)X1=PB 即 UX1=V于是X1是方程組UX=V的解.反之,假設(shè)X2為UX=V的解,即UX2=V兩邊同時(shí)左乘矩陣P-1，得 P-1UX2=P -

36、1V P-1UX2=P -1V 即AX2=BX 2亦為AX=B的解。綜上所述，AX=B與UX=V的解相同，稱之為同解方程組。 證畢。2、高斯消元法：由矩陣的理論可知，我們應(yīng)用矩陣的初等變換可以把線性方程組3.1的增廣矩陣化為階梯形矩陣(或簡化階梯形矩陣),根據(jù)定理3.1可知階梯形矩陣(或簡化階梯形矩陣)所對應(yīng)的方程組與原方程組(3.1)同解,這樣通過解階梯形矩陣(或簡化階梯形矩陣)所對應(yīng)的方程組就求出原方程組(3.1)的解,這種方法稱為高斯消元法.例1解線性方程組解:將方程組的增廣矩陣用初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形這時(shí)矩陣所對應(yīng)的方程組為將x4移到等號(hào)右端得 假設(shè)令x4取任意常數(shù)t,那么得 , (3.2

37、)即 其中x4稱為自由未知量(或自由元),(3.2)式稱為方程組的一般解或通解. 例2求線性方程組的解解:根據(jù)定理3.1知,矩陣對應(yīng)的方程組與原方程組同解,因此原方程組有唯一的解.例3求解線性方程組解:根據(jù)定理3.1知,矩陣所對應(yīng)的方程組 (3.3)與原方程組同解.但方程組(3.3)由最后一個(gè)方程可知它無解,故原方程組無解。第四章 向量組的線性相關(guān)性4.1 向量組及其線性組合教學(xué)目的：使學(xué)生了解和掌握向量、向量組的概念、線性組合教學(xué)重點(diǎn)：向量的線性關(guān)系教學(xué)難點(diǎn)：向量的線性關(guān)系導(dǎo)入新授定義1個(gè)有次序的數(shù)所組成的數(shù)組稱為維向量，這個(gè)數(shù)稱為該向量的個(gè)分量，第個(gè)數(shù)稱為第個(gè)分量。特別的如果維向量寫成稱為

38、是維列向量，稱為是維行向量。當(dāng)所有都為實(shí)數(shù)時(shí)的向量稱為維實(shí)向量，當(dāng)中含有復(fù)數(shù)時(shí)的向量稱為維復(fù)向量。定義2 在向量之間進(jìn)行向量的加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，稱為向量的線性運(yùn)算。在一組向量和一組實(shí)數(shù)中進(jìn)行線性運(yùn)算，得到一個(gè)表達(dá)式，稱為是向量組與實(shí)數(shù)的線性組合。定義3 給定向量組和，如果存在一組數(shù)，使，即是向量組的線性組合，這時(shí)稱向量可以被向量組線性表出表示特別舉例對線性方程組而言，設(shè)的每列為一個(gè)列向量，那么方程組可以寫成，其中是的列向量組。那么原來方程組有解的表達(dá)可以表述為“存在一組數(shù)，使得向量可以被這組數(shù)和向量組線性表示，即。定理1 向量能由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩。Pr. 設(shè)

39、是線性方程組的系數(shù)矩陣，是常向量，那么由前可知：線性方程組有解可以被這組數(shù)和向量組線性表示；又有：線性方程組有解系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩；由等價(jià)的傳遞性有可以被向量組線性表示的秩等于的秩。證畢。定義4 給定向量組和，如果中的每一個(gè)向量都可以被向量組線性表出，就稱向量組可以經(jīng)過向量組線性表出；如果向量組和向量組可以互相線性表示，這時(shí)稱向量組與向量組等價(jià)。當(dāng)經(jīng)過表示出來時(shí)，有：不妨考慮兩組向量中的所有向量都是具有個(gè)分量的向量當(dāng)把按順序排列起來，并考慮到矩陣乘法的規(guī)那么有下式成立：注意：在這個(gè)表示中的向量均為為列向量其中稱為這一表示的系數(shù)矩陣對上式換個(gè)角度看問題可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把矩陣的每一行列看成是

40、一個(gè)向量時(shí)， 上式也可以解釋為向量組的行向量組被的行向量組線性表示出來了。 當(dāng)矩陣與矩陣是列等價(jià)時(shí)，即矩陣可以經(jīng)過一系列初等列變換變成矩陣，由前面結(jié)論知道存在可逆的矩陣，使得， 由前面討論可知，這時(shí)矩陣的列向量組可以被矩陣的列向量組線性表示，又因?yàn)榫仃囀强赡娴?，所以，因此矩陣的列向量組也可以被矩陣的列向量組線性表示，即這兩組列向量是等價(jià)的。當(dāng)矩陣與矩陣是行等價(jià)時(shí)，即矩陣可以經(jīng)過一系列初等行變換變成矩陣，由前面結(jié)論知道存在可逆的矩陣，使得，由上分析知這時(shí)矩陣的行向量組可以被矩陣的行向量組線性表示，又因?yàn)榫仃囀强赡娴?，所以，因此矩陣的行向量組也可以被矩陣的行向量組線性表示，即這兩組行向量是等價(jià)的。

41、下面就來研究向量組的等價(jià)性與矩陣的等價(jià)性以及它們的秩之間的種種關(guān)系：定理2 向量組可以經(jīng)過表示出來的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩，即 。Pr. 矩陣方程組有唯一解矩陣的列向量組可以被矩陣的列向量組線性表示。 結(jié)論成立。推論 向量組與向量組等價(jià)的充分必要條件是，其中是向量組和構(gòu)成的矩陣。Pr. 向量組與向量組等價(jià)的定義是當(dāng)然是充分必要的它們可以互相線性表示且定理3 假設(shè)向量組能被向量組線性表示，那么 Pr. 由定理2的結(jié)論知 ，而 證畢總結(jié)以上結(jié)論可以看到： 一組向量能被向量另一組線性表示存在矩陣使矩陣方程有解 矩陣的行列向量組的等價(jià)性與向量組的線性表示之間是有關(guān)系的。 給出向量組之間可以

42、線性表示的幾何解釋；給出向量組等價(jià)的幾何解釋；給出這些關(guān)系和線性方程組之間的聯(lián)系等等。維單位坐標(biāo)向量的概念解釋幾何意義向量組稱為是維單位坐標(biāo)向量，它們每一個(gè)都是維向量。例3見書上P874.2 向量組的線性相關(guān)性教學(xué)目的：理解向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)教學(xué)重點(diǎn)：線性相關(guān)、線性無關(guān)的判別.教學(xué)難點(diǎn)：線性相關(guān)、線性無關(guān)的等價(jià)條件導(dǎo)入：通過線性組合的概念引入線性相關(guān)性新授：定義5 給定向量組，如果存在不全為0的數(shù) 使得線性組合成立，那么稱向量組是線性相關(guān)的；否那么就稱它們是線性無關(guān)的。大量舉例說明向量的線性相關(guān)性，幾何空間的例子等定理4 一組向量是線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個(gè)向量可以被其它的

43、向量線性表示。Pr. 充分性 中至少有一個(gè)向量可以被其它的向量線性表示，設(shè)該向量為 那么有 即 有不全為0的數(shù)使得它們的線性組合為零 故 是線性相關(guān)的。 必要性是線性相關(guān)的 有不全為0的數(shù) 使得線性組合成立，不全為0，設(shè)為有 等式兩端同時(shí)除以，那么即被其它向量線性表示出來了。舉例：1線性方程組有解 常向量可以被系數(shù)矩陣的列向量組線性表示出來 2幾何空間中的例子 3線性方程組增廣矩陣的行向量組如果是線性相關(guān)的說明：其中至少一個(gè)方程可以用其它方程進(jìn)行線性運(yùn)算方程組的初等變換得到，是多余的方程。 4一組向量是線性無關(guān)的要想使得它們的線性組合成立，必須所有的線性方程組只有零解其中的列向量組是；特別的，

44、當(dāng)時(shí)即個(gè)維向量構(gòu)成的向量組線性無關(guān)或者是可逆的，滿秩的等等下面進(jìn)一步分析和討論向量組的線性相關(guān)性定理5 向量組是線性相關(guān)它所構(gòu)成的矩陣的秩小于向量的個(gè)數(shù)；向量組線性無關(guān)Pr. 1向量組是線性相關(guān)齊次線性方程組有非零解上節(jié)定理7 2向量組線性無關(guān)齊次線性方程組只有零解上節(jié)定理10例題見教材P-88，89例5、6定理6 1假設(shè)向量組是線性相關(guān)的，那么向量組 也是線性相關(guān)的；假設(shè)向量組 是線性無關(guān)的，那么向量組也是線性無關(guān)的。 2對個(gè)維向量組成的向量組，當(dāng)時(shí)，向量組一定是線性相關(guān)的，特別的個(gè)維向量線性相關(guān)。 3假設(shè)向量組是線性無關(guān)的，而線性相關(guān)，那么向量必能被向量組線性表示，即存在 使得Pr.1假設(shè)

45、向量組是線性相關(guān)的 那么存在不全為0的數(shù) 使得線性組合 成立不全為0，0當(dāng)然不全為0線性相關(guān)假設(shè)向量組 是線性無關(guān)的，要證明向量組也是線性無關(guān)的 反證法：假設(shè)線性相關(guān)，那么由1知向量組也必定線性相關(guān)，矛盾。對個(gè)維向量組成的向量組，當(dāng)時(shí)，即向量的個(gè)數(shù)多于向量的維數(shù)時(shí)考慮向量組的線性組合 該組合的等價(jià)式子為當(dāng)時(shí)方程組個(gè)未知量，個(gè)方程的情況有無窮個(gè)解，即存在不全為0的數(shù)使得它們與的線性組合等于0成立，故向量組線性相關(guān)。特別的時(shí)上述結(jié)論可以表述為任何個(gè)維向量都是線性相關(guān)的；反過來表達(dá)是不存在個(gè)線性無關(guān)的維向量。 3線性相關(guān) 存在不全為0的數(shù)以及使得且， 假設(shè)那么會(huì)有 而以及不全為0不全為0 就會(huì)有線性

46、相關(guān)，矛盾 證明完畢4.3 向量組的秩教學(xué)目的：理解向量組的最大無關(guān)組及秩的概念，掌握向量組秩的求法教學(xué)重點(diǎn)：向量組秩的求法教學(xué)難點(diǎn)：最大無關(guān)組的定義及等價(jià)定理導(dǎo)入：在前兩節(jié)討論向量組的線性組合和線性相關(guān)性時(shí)，矩陣秩起了重要作用，為進(jìn)一步討論，把秩的概念引入到向量組。新授：定義6設(shè)向量組是一組維向量，假設(shè)該向量組中的個(gè)向量滿足 1是線性無關(guān)的 2而該組向量中的任何個(gè)都線性相關(guān) 那么稱向量組是原向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。極大無關(guān)組包含向量的個(gè)數(shù)稱為是向量組的秩，記作。規(guī)定只包含0向量的向量組的秩為0。定理7 矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩。Pr. 本定理要說明的是當(dāng)矩陣的秩為

47、時(shí)，它的列行向量組的秩也一定為，即：向量組中一定包含個(gè)線性無關(guān)的向量，但任何+1個(gè)向量都是線性相關(guān)的 首先說明存在個(gè)線性無關(guān)的向量：設(shè) 矩陣存在階非零子式，不妨設(shè)為的前行和前列否那么可以經(jīng)過行和列的對換使然由前面結(jié)論可知這個(gè)子式的列向量組是線性無關(guān)的即線性無關(guān)，那么向量組也線性無關(guān)。解釋假設(shè)相關(guān)，那么必能推出也相關(guān) 存在個(gè)線性無關(guān)的向量再來說明任何個(gè)向量都線性相關(guān)反證法：假設(shè)在向量組中存在個(gè)線性無關(guān)的向量，不妨設(shè)為 ，由它們排列成的矩陣為 根據(jù)P88定理4向量組線性無關(guān)的充分必要條件是，而的任何階子式都是的階子式，必定為0 矛盾。 同理可以證明：矩陣的秩也等于它的行向量組的秩。從上面結(jié)論可見：

48、對于秩為的矩陣來說，該矩陣的非0子式所在的列行向量即為矩陣向量組的極大無關(guān)組。矩陣的秩與其列行向量組的秩相同。由于秩為的矩陣的階非0子式不是唯一的，由上有結(jié)論：向量組的極大無關(guān)組也不是唯一的。任何一個(gè)向量組與它的極大無關(guān)組是等價(jià)的。說明證明過程舉例說明極大無關(guān)組也不是唯一的以及任何一個(gè)向量組與它的極大無關(guān)組是等價(jià)的。以為例推論極大無關(guān)組的等價(jià)定義：是向量組中的一個(gè)子組，如果它滿足1是線性無關(guān)的，2中的任何一個(gè)向量都能被它們線性表示那么 是向量組中的一個(gè)極大無關(guān)組。Pr. 要證明是向量組中的一個(gè)極大無關(guān)組，需要說明它們滿足是線性無關(guān)的，并且任何個(gè)向量都是線性相關(guān)的。是線性無關(guān)是定理?xiàng)l件，所以只要

49、說明第二點(diǎn)。反證法：假設(shè)存在個(gè)線性無關(guān)的向量，記為 考慮它們的線性組合 必有全為0 所有是線性無關(guān)它的矩陣形式如下：由方程組的知識(shí)知該方程組有非解，矛盾。證畢由矩陣的秩和其對應(yīng)的向量組的秩的關(guān)系，對前面的有關(guān)矩陣的秩的定理1、2、3有以下結(jié)論：定理向量組能由向量組線性表示定理向量組能由向量組線性表示，那么證明： 考慮它們的極大無關(guān)組即可。例題：教材P94 例10、114.4 線性方程組解的結(jié)構(gòu)教學(xué)目的：學(xué)習(xí)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)和非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)教學(xué)重點(diǎn)：齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)和非齊次線性方程組解的計(jì)算為重點(diǎn).教學(xué)難點(diǎn)：齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)和非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)證明為難點(diǎn).導(dǎo)入：

50、研究一般的線性方程組的求解問題, 主要答復(fù)三個(gè)問題：解的存在性，即有解問題，解的判定定理；解的結(jié)構(gòu)，即解的數(shù)量，解與解之間的關(guān)系；求解問題，即求解方法.通過研究(2)，可以進(jìn)一步深刻理解(1)，進(jìn)而對(3)的方法進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化.新授： 一、線性方程組有解的判定定理一般的線性方程組 (4.1)假設(shè)記 , ，那么方程組(4.1)可寫成矩陣形式 AX=B 。假設(shè)記 ，那么稱為方程組(4.1)的增廣矩陣.假設(shè)記 ，那么線性方程組(4.1)可以寫成 (4.2)(4.2)稱為線性方程組的向量形式.定理8: 線性方程組 (4.1)有解的充分必要條件是：其系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等，即 .推論1. 線性方程組

51、 (4.1)有唯一解的充分必要條件是：.推論2. 線性方程組 (4.1)有無窮多解的充分必要條件是：.二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)1.對于齊次線性方程組(4.3) (4.3)矩陣形式 AX=0它的每一組解都是一個(gè)向量，稱之為解向量(solution vector)。解向量具有如下的性質(zhì)：1假設(shè)X1是AX=0的一個(gè)解向量，那么kX1仍為AX=0的解。證明： AkX1= kAX1= k0=0， 證畢。2假設(shè)X1，X2都是AX=0的解，那么X1+X2仍是AX=0的解。證明：AX1+X2=AX1+ AX2=0+0=0。 證畢。假設(shè)用S表示齊次線性組(4.3)的全體解向量所成的集合，由上述性質(zhì)可知，集合S

52、對向量的線性運(yùn)算是封閉的，所以集合S是一個(gè)向量空間，稱為齊次線性方程組(4.3)的解空間.對齊次線性方程組(4.3)的解空間我們可求它的一個(gè)基：設(shè)系數(shù)矩陣A的秩為r，那么經(jīng)過假設(shè)干次初等行變換，總可把A化為簡化階梯形矩陣由定理8知,矩陣對應(yīng)的方程組與方程組(4.3)同解,即有自由未知量取任意常數(shù),得其通解寫成其向量形式假設(shè)令那么通解表示為 .2.定義8：設(shè)是齊次線性方程組AX=0的一組解, 如果(1)線性無關(guān);(2) AX=0的任一個(gè)解都可由線性表出, 那么稱為齊次線性方程組AX=0的一個(gè)根底解系.3. 定理9：在齊次線性方程組AX=0有非零解時(shí) (即r(A)=rn) 那么它有根底解系, 且根

53、底解系中所含解的個(gè)數(shù)等于nr.例1 求方程組的通解和根底解系.解：利用矩陣的初等變換將系數(shù)矩陣化成簡化階梯形矩陣對應(yīng)一個(gè)與原方程組等價(jià)方程組 即 其中x2，x4為自由未知量取x2=t1，x4=t2 ，t1，t2為任意常數(shù)，得通解 ，寫成向量形式 而 就是原方程組的一個(gè)根底解系. 因此通解也可表示為，t1，t2為任意常數(shù).三、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)對于非齊次線性方程組(4.1) (4.1)或 AX=B它的解具有下述性質(zhì):(1) 假設(shè)X1，X2都是AX=B的解，那么X1X2是AX=0的解。證明：AX1X2=AX1 AX2=BB=0。 證畢。(2) 假設(shè)X0為AX=B的解,X*為AX=0的解,那么

54、X0+X*必為AX=B的解.證明: A(X0+X*)=AX0+AX*=B+0=B。 證畢。定理10：設(shè)X0是非齊次線性方程組(4.1)的一個(gè)特解, X*是非齊次線性方程組(4.1)所對應(yīng)的齊次線性方程組(稱為導(dǎo)出組) AX=0的通解, 那么非齊次線性方程組(4.1)的通解可表示為X=X0+X*證明：因AX=B, AX0=B, 由性質(zhì)(1)知XX0是AX=0的任意一個(gè)解.令 X*= XX0故 X=X0+X* 。 證畢。例2 求方程組 解:對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換可見，故方程組有解，并可得與原方程組同解方程組 即 其中x2，x4為自由未知量取x2=t1，x4=t2 t1，t2為任意常數(shù)，得通解 寫

55、成向量形式。而向量是原方程組的一個(gè)特解。是其導(dǎo)出組的一個(gè)根底解系。故所求通解也可表示為 t1，t2為任意常數(shù)。四. 小結(jié)：本節(jié)學(xué)習(xí)齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)以及非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，要求會(huì)求齊次線性方程組以及非齊次線性方程組的通解.五. 作業(yè)： 對方程組 問k取何值時(shí)方程組有唯一解?無窮多解?無解?在有無窮多解時(shí)求出通解. 解:(1)當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，有唯一解.(2)當(dāng)時(shí),也有,故,方程組有無窮多解,通解含有個(gè)任意常數(shù).此時(shí)矩陣對應(yīng)的方程組 與原方程組同解,其通解為 或(3)當(dāng)時(shí),方程組無解.2: 求以下齊次線性方程組的通解 此矩陣對應(yīng)的方程組 即 其中x3，x4為自由未知量，取，那么方程組的

56、通解可寫成： 或 。解中兩個(gè)即個(gè)非零向量，都是方程組的解可稱它們?yōu)樵摲匠探M的根底解系。4.5向量空間教學(xué)目的：學(xué)習(xí)向量空間，理解維數(shù)、及基的概念教學(xué)重點(diǎn)：理解維數(shù)、基的概念教學(xué)難點(diǎn)：坐標(biāo)變換公式導(dǎo)入：新授：定義9設(shè)為維向量的集合，如果集合非空，且集合對向量的加法和數(shù)量乘法兩種運(yùn)算封閉，就稱集合為向量空間。解釋概念中封閉的含義，舉例：幾何空間的例子，教材中P104-105例17-23，特別解釋“齊次線性方程組的解空間、“全體不超過次的多項(xiàng)式的集合，由一組向量生成Span的空間等概念定義10設(shè)有向量空間及，假設(shè)，就稱是的子空間，特別的假設(shè)有但，那么稱為的真子空間。例 集合0以及自身都是的子空間。定

57、義11設(shè)為向量空間，如果個(gè)向量，且滿足1線性無關(guān)2中任一向量都能被線性表示那么，向量組就稱為向量空間的一組基，基向量的個(gè)數(shù)稱為向量空間的維數(shù)，稱為維向量空間。多多舉例當(dāng)時(shí)，由上顯然有，數(shù)組稱為向量在基下的坐標(biāo)。例題 在中，因?yàn)閷σ粋€(gè)向量空間來說基不是唯一的，所以同一個(gè)向量在不同的基下的坐標(biāo)是不同的。它們的關(guān)系如何呢“過渡矩陣的概念。設(shè)向量 在基和下的坐標(biāo)分別為，即那么，向量之間會(huì)有什么關(guān)系呢？注意它們都是維基向量，故它們構(gòu)成的矩陣都是可逆方陣設(shè) 其中稱為從基向量到的過渡矩陣。一組向量可以被基向量線性表示或第五章 相似矩陣及二次型5.1向量的內(nèi)積、長度及正交性教學(xué)目的：理解并掌握向量的內(nèi)積、長度、正交性教學(xué)重點(diǎn)：正交性教學(xué)難點(diǎn)：施密特正交化導(dǎo)入：在向量空間中，還沒有幾何空