(完整版)高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)與極限試題2

1、15.9高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)與極限試題一.選擇題設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，moN表示“M的充分必要條件是N”則必有F(x)是偶函數(shù)of(x)是奇函數(shù).F(x)是奇函數(shù)of(x)是偶函數(shù).F(x)是周期函數(shù)of(x)是周期函數(shù).F(x)是單調(diào)函數(shù)of(x)是單調(diào)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)=1,則Xex-11x=0,x=1都是f(x)的第一類間斷點(diǎn).x=0,x=1都是f(x)的第二類間斷點(diǎn)x=0是f(x)的第一類間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第二類間斷點(diǎn).x=0是f(x)的第二類間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第一類間斷點(diǎn).x-113.設(shè)/(x)=,xH0,1,則/(x)=(D)C)十D)x1A)1x

2、B)1-x4.下列各式正確的是(C)A)C)1xlim(1+_)=1xx1xlim(1_)=-exxT81xB)lim(1+_)=ex*X1-xD)lim(1+_)=exxT85.已知lim(x+a)x=9，則a=(xTgx-aC)。C.ln3；D.2ln3A.1；B.g；6極限：lim(-)x=(CxTgx+1)A.1；B.g；C.e-2；D.e27極限：limx3+2=(AxTgx3)A.1；B.g；C.0；D.2.8極限：limx+1-1=(CxT0 x)A.0；B.g；C1；D.2.29.極限：limx2+x-x)=(x+gD)A.0；B.g；C.2；D.121.極限:-limtanx

3、sinx=(xT0sin32xC)A.0；B.g；c.丄；D.16.16二.填空題xTgx2+1arctanx12.lim=xxT013.若y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)11極限limxsin2x=2.xsx2+1flimf(x)-f(x)=xTx0914.sin5xlimxTx0lim(1-)nnf(xo)0.2e*e_mg16.若函數(shù)y=x2-3x+2，則它的間斷點(diǎn)是2_1x,x0;17.絕對值函數(shù)f(x)=卜|=0 x=0.其定義域是全體實(shí)數(shù)值域是-大于等于01,x018.符號(hào)函數(shù)/(x)=sgnx=0,x=0一1,x2y=Ix,x2Isinx,x001336.37.limxT3x-3limx

4、T3x2-938.lim土口xT0求當(dāng)x時(shí)，下列函數(shù)的極限y=2x3-x2+1x3-x+1求當(dāng)x8時(shí)，下列函數(shù)的極限y=2x2-x+141.x3-x+1lim沁xT0 xlim1-cosx43.44.45.46.47.48.49.50.51.52.53.54.55.56.57.廠1n-3lim1+nTw丿lim1+丿lim(1+kx)xXSlim1-丄x丿lim(1+kxxxtOx0=0研究函數(shù)在指定點(diǎn)的連續(xù)性f(x)=1,x=0指出下列函數(shù)在指定點(diǎn)是否間斷，如果間斷，指出是哪類間斷點(diǎn)。f(x)=厶,x=1x-1指出下列函數(shù)在指定點(diǎn)是否間斷，如果間斷，指出是哪類間斷點(diǎn)。,x豐0f(x)=x,x

5、=00,x=0指出下列函數(shù)在指定點(diǎn)是否間斷，如果間斷，指出是哪類間斷點(diǎn)。x2,x豐01,x=0,x=0證明f(X)=X2是連續(xù)函數(shù)ln(1+x)limxT0 xAlimxT1l-lnx丿試證方程2x33x2+2x3=0在區(qū)間1,2至少有一根limtanx-sinxxtOsin32x試證正弦函數(shù)y=sinx在(-豐+)內(nèi)連續(xù)。58.函數(shù)f(x)=|xl=Jx，x-0；在點(diǎn)x=0處是否連續(xù)？一x,xJn+1fn)Qn+1+x;n)nT+8nT+8二lim_nT+8yn+1+yjn二limnT+8、；n:lim:nT+8n:lim1+lim1inT+8nnT+834.解：lim?一3nT+82n+3

6、n(?)n-1=limnT+8(_)n+13lim(2)n3lim(?)n+lim13一lim1nT+8nT+8nT+8nT+842.242.235.解：因?yàn)閘imy=2,limy=3,limy主lim所以函數(shù)在指定點(diǎn)的極限不存在。因?yàn)閘imy=sin0=0,limy=3x0=0,limyxtOxtO+xtOlimyxT0+所以函數(shù)在指定點(diǎn)的極限limy=0 xTOlim136.lim=xtxT3x+3limx+xT337.x3lim一limf-xT3x29xT3x38.1一x11limlim-xtOxxtOxT3x3=lim3丿&+3/xT3x+339.lim40.41.x1)G-1X+1)

7、x(t1x+1)=lim1x2xlim_xTO-x+1)1=lim-xTO+1x3x3lim2-lim丄+limxT8xlim1-lim丄+lim丄xTgxTgxTgx22x2x+1limxTgx3xTgx3limxTg12lim丄-lim丄+limxT8x2xT8x3lim1-lim丄+limxTgxxTgxTgx2xTgx3sin3xsin3xlim=lim-3=33xxTOxTO1cosxlim=lim2Sin2IxTOx22xTO2+x2x3OO+O=010+0limxTO.x)sm243.44.45.46.47.4849.50.51.52.53.54.lim(l+)n=nslim(l

8、+ns)3n二lim(1nlim1+n丿e2kx=limXT8丄k丄=ek=limXTg(1-x1+lx丿-1(1-xlim1+xTlX丿-1+kx”I=ek.解limf(x)=limSinxxTx0 xT0 x而f(x)=f(0)=10.limf(x)=f(0)xT0函數(shù)在x=0處連續(xù)。=1間斷，函數(shù)在x=1處無定義且左右極限不存在，第二類間斷點(diǎn)間斷，函數(shù)在x=0處左右極限不存在，第二類間斷點(diǎn)間斷，limf(x)=0但f(0)=1，兩者不相等，第一類間斷點(diǎn)xT0證明：VxW(g,+g)0因?yàn)閘imf(x)=limx2=(limx)2=x2，f(x)=x2000 xTx0 xTx0 xTx0所

9、以limf(x)=f(x)xTx00因此，函數(shù)f(x)=x2是連續(xù)函數(shù)。解:limln(1+x)=limln(1+x):xT0 xxT01=lnlim(1+x)x=lne=1xT0解:(limxT1l=limKx+1)lnx1=2x0=0丿xT155.證明：設(shè)f(x)=2x33x2+2x3,則f(x)在1,2上連續(xù)，f(l)=20,f(2)=50根據(jù)零點(diǎn)定理，必存在一點(diǎn)Ce(1,2)使f(2)=0,貝心=2就是方程的根。原式=limtan；笄os衛(wèi)=lim羊二=寺xto(2x)3XTO8x316證Vxe(-8,+8),任給x一個(gè)增量Ax,對應(yīng)的有函數(shù)y的增量Ay=sin(x+Ax)-sinx=

10、2sincos(x+2)T0kyk2sin等2単=IaI，由夾逼準(zhǔn)則知，一O(AxO),再由x的任意性知正弦函數(shù)y=sinx在其定義域(-8,+8)上處處連續(xù)，即它是連續(xù)函數(shù)。解注意f(x)是分段函數(shù)，且點(diǎn)x二0兩側(cè)f表達(dá)式不一致。解法1.了(0-0)=lim(-x)二0,xt0f(0+0)=limx=0,.limf(x)=0.TOC o 1-5 h zxto+xt0又f(0)=0,函數(shù)f(x)=|x|在點(diǎn)x=0處連續(xù)(圖119)。解法2Tlimf(x)=lim(x)=0=f(0),/.函數(shù)在點(diǎn)x二0左連續(xù)；xt0 xt0又limf(x)二limx二0二f(0),.函數(shù)在點(diǎn)x=0右連續(xù)，所以函數(shù)在點(diǎn)x=0連續(xù)。xt0+xt0+59證雖然f是分段函數(shù)，但點(diǎn)x=0兩側(cè)函數(shù)表達(dá)式一