復變函數(shù)與積分變換洛朗級數(shù)

1、復變函數(shù)與積分變換洛朗級數(shù)第1頁，共22頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二 一個以z0為中心的圓域內解析的函數(shù) f (z), 可以在該圓域內展開成z-z0的冪級數(shù). 如果 f (z)在z0處不解析, 則在 z0 的鄰域內就不能用z-z0的冪級數(shù)來表示. 但是這種情況在實際問題中卻經常遇到. 因此, 在本節(jié)中將討論在以 z0 為中心的圓環(huán)域內的解析函數(shù)的級數(shù)表示法.z0R1R2第2頁，共22頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二討論下列形式的級數(shù):可將其分為兩部分考慮:第3頁，共22頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二只有正冪項和負冪項都收斂才認為原級數(shù)收斂于

2、它們的和. 正冪項是一冪級數(shù), 設其收斂半徑為 R2： 這是z 的冪級數(shù), 設收斂半徑為R： 對負冪項, 如果令z=(z-z0)-1, 就得到： 則當|z-z0|R1時, 即| z |R, 因此, 只有在R1|z-z0|R2的圓環(huán)域, 原級數(shù)才收斂.第4頁，共22頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二在收斂圓環(huán)域內也具有. 例如, 可以證明, 上述級數(shù)在收斂域內其和函數(shù)是解析的, 而且可以逐項求積和逐項求導.冪級數(shù)在收斂圓內的許多性質, 級數(shù)現(xiàn)在反問, 在圓環(huán)域內解析的函數(shù)是否一定能夠展開成冪級數(shù)?先看下例.第5頁，共22頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二1Oxy第6頁

3、，共22頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二其次,在圓環(huán)域:0|z-1|1內也可以展開為z-1的冪級數(shù):1Oxy第7頁，共22頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二定理(Laurent展開定理) 設 f (z)在圓環(huán)域 R1 |z-z0| R2內解析, 則C為在圓環(huán)域內繞z0的任何一條正向簡單閉曲線.第8頁，共22頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二證 設z為圓環(huán)域內的任一點, 在圓環(huán)域內作以z0為中心的正向圓周K1與K2, K2的半徑R大于K1的半徑r, 且使z在K1與K2之間.R1R2zrK1zRK2zz0第9頁，共22頁，2022年，5月20日，13點1

4、2分，星期二由多連通域的柯西積分公式得R1R2zrK1zRK2zz0第10頁，共22頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二R1R2zrK1zRK2zz0第11頁，共22頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二第12頁，共22頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二唯一性： 一個在某圓環(huán)域內解析的函數(shù)展開為含有正,負冪項的級數(shù)是唯一的。 這個級數(shù)被稱為 f (z)的洛朗級數(shù). 根據(jù)由正負整次冪項組成的級數(shù)的唯一性,一般可以用代數(shù)運算, 代換, 求導和積分等方法去展開, 以求得洛朗級數(shù)的展開式.第13頁，共22頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二解： 函數(shù) f

5、 (z) 在圓環(huán)域 i) 0 |z| 1; ii) 1| z| 2; iii) 2 |z| + 內是處處解析的, 應把 f (z)在這些區(qū)域內展開成洛朗級數(shù).xyO1xyO12xyO2第14頁，共22頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二先把 f (z)用部分分式表示:第15頁，共22頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二ii) 在1 |z| 2內：第16頁，共22頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二iii) 在2|z|+內:第17頁，共22頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二例2 把函數(shù)解 因有第18頁，共22頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二洛朗級數(shù)的系數(shù)公式（即可利用Laurent系數(shù)計算積分） 其中C為圓環(huán)域R1|z-z0|R2內的任何一條簡單閉曲線, f (z) 在此圓環(huán)域內解析.第19頁，共22頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二例解：第20頁，共22頁，2022年，5月20日，1