向量的共線問題證明共線問題常用的方法課件

1、向量的共線問題證明共線問題常用的方法課件向量的共線問題證明共線問題常用的方法課件向量的共線問題證明共線問題常用的方法課件 向量的共線問題 證明共線問題常用的方法.（1）向量 共線 存在唯一實(shí)數(shù),使(2)向量 =(x1,y1), =(x2,y2)共線 x1y2-x2y1=0;(3)向量 與 共線(4)向量 與 共線 存在不全為零的實(shí)數(shù)1,2，使 向量的共線問題【例1】已知A(-1,1),B(1,5),C(-2,-5),D(4,7),試判斷兩線段 是否共線？【審題指導(dǎo)】題目中給出了四個點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得兩向量 的坐標(biāo)表示.要判斷 是否共線，首先看是否滿足 ，再說明線段AB與CD是否有公共點(diǎn).【例1

2、】已知A(-1,1),B(1,5),C(-2,-5),【規(guī)范解答】 =(2,4), =(-1,-6),-14-(-6)2=-4+12=80. 不共線，即點(diǎn)C不在直線AB上，同理點(diǎn)D也不在直線AB上，直線AB與CD不共線，即線段AB與CD不共線.【規(guī)范解答】 =(2,4), =(-1,-6),【例2】已知 =(1,2), =(-3,2).若平行，求實(shí)數(shù)k的值.【審題指導(dǎo)】本題考查由兩向量的共線求參數(shù)的問題，要求學(xué)生熟練掌握兩向量共線的條件.通過兩向量共線可得坐標(biāo)的關(guān)系，列出等式，求得參數(shù)的值.【例2】已知 =(1,2), =(-3,2).若【規(guī)范解答】方法一：向量 平行，則存在唯一實(shí)數(shù)，使 =k

3、(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4). =2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),(k-6,2k+4)=(14,-4).即實(shí)數(shù)k的值為-1.【規(guī)范解答】方法一：向量 平行，則方法二： =k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4), =2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4), 平行，（k-6）(-4)-(2k+4)14=0.解得k=-1.方法二： =k(1,2)+2(-3,2)=(k 向量的夾角和垂直問題1.兩向量的夾角公式.非零向量 =(x1,y1), =(x2，y2)的夾角為，則有2.兩向量垂直的條件. 向量的夾角和垂直問題 要分清兩向量垂直的條件和兩向量平行

4、的條件坐標(biāo)表示的區(qū)別. 要分清兩向量垂直的條件和兩向量平行的【例3】設(shè)兩個向量 ，滿足 |=2,| |=1, 的夾角為 ，若向量 的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的范圍.【審題指導(dǎo)】題目中給出向量的夾角以及 =2和| |=1等條件，由公式cos= 可得若為鈍角，則cos0且cos-1，即 0.同時也應(yīng)注意向量的共線反向這一情況.【例3】設(shè)兩個向量 ，滿足 |=2,| |【規(guī)范解答】由已知為鈍角，2t2+15t+70,得-7t .又由t的取值范圍是（-7， ）( , ).【規(guī)范解答】由已知【例4】求證：ABC的三條高線交于一點(diǎn).【審題指導(dǎo)】證明本題的關(guān)鍵是先找出其中兩條高線的交點(diǎn)，然后讓另一個頂點(diǎn)與該點(diǎn)的

5、連線與其對邊垂直.【例4】求證：ABC的三條高線交于一點(diǎn).【規(guī)范解答】如圖，已知AD，BE，CF是ABC的三條高，設(shè)BE，CF交于點(diǎn)H，且令可得因?yàn)樗运?運(yùn)算并化簡得【規(guī)范解答】如圖，已知AD，BE，CF是ABC的三條高，設(shè)所以又ADBC且AHAD=A,所以A、H、D三點(diǎn)共線，所以AD，BE，CF相交于一點(diǎn)H.即ABC的三條高交于一點(diǎn).所以 向量模的問題 解決向量模的問題常用的策略（1）應(yīng)用公式： = (其中 =(x,y);（2）應(yīng)用三角形或平行四邊形法則；（3）應(yīng)用向量不等式 (4)研究模的平方 向量模的問題【例5】【審題指導(dǎo)】本題主要考查向量的模的運(yùn)算及向量數(shù)量積的運(yùn)算，可以用平方求解

6、法，也可以由 =1，設(shè)出 的坐標(biāo)，化為坐標(biāo)運(yùn)算.【例5】【規(guī)范解答】方法一：【規(guī)范解答】方法一：方法二：設(shè) =(x1,y1), =(x2,y2), =1,x12+y12=x22+y22=1. =(3x1-2x2,3y1-2y2), = =3,x1x2+y1y2= ,方法二：設(shè) =(x1,y1), =(x2,y2), 待定系數(shù)法解決向量問題 待定系數(shù)法在向量中的應(yīng)用待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中一種非常重要的方法，對于某些數(shù)學(xué)問題，若已知所求結(jié)果具有某種確定的形式，則可引入一些尚待確定的系數(shù)（或參數(shù)）來表示這樣的結(jié)果，通過變形比較，建立起含有待定字母系數(shù)（或參數(shù)）的方程（組），并求出相應(yīng)的字母（或參數(shù)）的值

7、，進(jìn)而使問題獲解，這種方法稱為待定系數(shù)法，在向量中，這種方法也被廣泛應(yīng)用，如平行向量基本定理、平面向量基本定理就是這種方法的體現(xiàn)形式. 待定系數(shù)法解決向量問題【例6】如圖，在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，N在AC上且AN=2NC，AM與BN交于點(diǎn)P，求APPM的值.【審題指導(dǎo)】題目中給出了M點(diǎn)是ABC的邊BC的中點(diǎn)，AC邊上的點(diǎn)N滿足AN=2NC，欲求APPM的值，可適當(dāng)選取基底表示出 因?yàn)辄c(diǎn)A、P、M共線，若有 則為APPM的值.【例6】如圖，在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，【規(guī)范解答】 A、P、M與B、P、N共線, APPM=41.【規(guī)范解答】 平面向量的應(yīng)用 平面向量兩個方面的應(yīng)用(1)在平面幾

8、何中的應(yīng)用.向量的加法運(yùn)算和全等、平行，數(shù)乘向量和相似，距離、夾角和數(shù)量積之間有著密切聯(lián)系，因此利用向量方法可以解決平面幾何中的相關(guān)問題.(2)在物理中的應(yīng)用.主要解決力、位移、速度等問題. 平面向量的應(yīng)用【例7】已知正方形ABCD,E、F分別是CD、AD的中點(diǎn)，BE、CF交于點(diǎn)P.求證：（1）BECF；（2）AP=AB.【審題指導(dǎo)】本題欲求證線段垂直和相等，可轉(zhuǎn)化為向量的垂直和向量的模相等問題.已知正方形ABCD，可建系設(shè)點(diǎn)，把向量用坐標(biāo)表示出來，用向量的有關(guān)知識解決.【例7】已知正方形ABCD,E、F分別是CD、AD的中點(diǎn)，B【規(guī)范解答】如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy，其中A為原點(diǎn)，不妨設(shè)A

9、B=2，則A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1) =(1,2)-(2,0)=(-1,2)， =(0,1)-(2,2)=(-2,-1)， =-1(-2)+2(-1)=0， 即BECF.【規(guī)范解答】如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy，其中A為原點(diǎn)，不妨（2）設(shè)P(x,y)，則 =（x,y-1）, =(-2,-1)，-x=-2(y-1)，即x=2y-2.同理由 ，得y=-2x+4,代入x=2y-2.（2）設(shè)P(x,y)，則 =（x,y-1）, =(【例8】如圖所示，求兩個力的合力 的大?。ň_到0.1 N）和方向（精確到分）.【審題指導(dǎo)】題中給出兩個力的大小及夾角的數(shù)

10、值，欲求合力，可利用向量的加法運(yùn)算，在三角形中解決.【例8】如圖所示，求兩個力【規(guī)范解答】設(shè) =(a1,a2), =(b1,b2),則a1=300cos30259.8,a2=300sin30=150.0，b1=-200cos45-141.4,b2=200sin45141.4,所以 =(259.8,150.0), =(-141.4,141.4), =(259.8,150.0)+(-141.4,141.4)=(118.4,291.4),【規(guī)范解答】設(shè) =(a1,a2),設(shè) 與x軸的正向夾角為,則tan= 2.461 1.由 的坐標(biāo)知是第一象限的角，所以6753.所以兩個力的合力是314.5 N，與

11、x軸的正方向的夾角為6753，與y軸的夾角為227.設(shè) 與x軸的正向夾角為,1.設(shè)平面向量 =（3,5）, =（-2,1）,則 =( )（A）（7，3）（B）（7,7）（C）（1,7）（D）（1,3）【解析】選A. =(3,5)-2(-2,1)=(3,5)-(-4,2)=(7,3).1.設(shè)平面向量 =（3,5）, =（-2,1）,則 2.給出下列各命題：（1）向量 的長度與向量 的長度相等；（2)向量 與向量 平行，則 與 的方向相同或相反；（3）兩個有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；（4）兩個有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；（5）向量 與向量 是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條

12、直線上；（6）有向線段就是向量，向量就是有向線段.其中假命題的個數(shù)為( )（A）2 （B）3 （C）4 （D）52.給出下列各命題：【解析】選C.抓住方向、長度、零向量，結(jié)合作圖判斷.（1）真命題.（2）假命題.若 與 中有一個為零向量時，其方向是不確定的.（3）真命題.（4）假命題.終點(diǎn)相同并不能說明這兩個向量的方向相同或相反.（5）假命題.共線向量所在的直線可以重合，也可以平行.（6）假命題.向量是用有向線段來表示的，但并不是有向線段.【解析】選C.抓住方向、長度、零向量，結(jié)合作圖判斷.3.已知 =(1,0), =(0,1),則與向量 垂直的一個向量為( )（A） （B） （C） （D）【

13、解析】選C.設(shè) 則 =0，且 故2a+b=0，C項(xiàng)符合.3.已知 =(1,0), =(0,1),則與向量 4.若 則=( )（A） （B） （C） （D）【解析】選故=- .4.若 則=( )5.已知直線ax+by+c=0與圓x2+y2=1相交于A、B兩點(diǎn)，且 則 =_. 【解析】如圖，作ODAB于D，則在RtAOD中，OA=1，AD= ，所以AOD=60，AOB=120，所以 =11(- )= .答案:5.已知直線ax+by+c=0與圓x2+y2=1相交于A、B6.已知向量 =( ,1), 是不平行于x軸的單位向量,且 則 =_.【解析】設(shè) =(m,n)，依題意有又 不平行于x軸，故答案:

14、6.已知向量 =( ,1), 是不平行于x軸的單7.如圖，B、C是線段AD的三等分點(diǎn)，分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)最多可以寫出_個互不相等的非零向量.【解析】可設(shè)AD的長度為3，那么長度為1的向量有6個，其中 長度為2的向量有4個，其中 長度為3的向量有2個，分別是 ，所以最多可以寫出6個互不相等的非零向量.答案:67.如圖，B、C是線段AD的三等分點(diǎn)，分別8.已知 =(1,2), =(-2,n), 與 的夾角是45.(1)求 ;(2)若 與 同向,且 垂直,求 .【解析】(1)由條件知, =（1，2）(-2,n)=-2+2n.-2+2n= cos45.解得n=6. =(-2,6).8.已知 =(1,2), =(-2,n), 與 的夾(2) 與 同向，可設(shè) (0).則 =(-2,6), =(-2-1,6-2). -2-1+(6-2)2=0，解得= . =(-1,3).(2) 與 同向，可設(shè) (0).9.設(shè)向量 滿足 =1及| |=3,求| |的值.【解析】 =1,故設(shè) =(cos,sin), =(cos,sin), =|4(cos,sin)-3