2022年電大作業(yè)工程數(shù)學(xué)考核作業(yè)第二次

1、第3章 線性方程組第4章 矩陣的特征值及二次型一、單項(xiàng)選擇題1 用消元法得的解為（C）A B C D 2 線性方程組（B） A 有無窮多解 B 有唯一解 C 無解 D 只有零解注：經(jīng)初等行變換，有,線性方程組有唯一解. 3 向量組，得秩為（A）A 3 B 2 C 4 D 54 設(shè)向量組為，則（B）是極大無關(guān)組。A B C D 注：極大無關(guān)組為：或.5 與分別代表一個(gè)線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣，若這個(gè)方程組有解，則（A）A B C D 6 若某個(gè)線性方程組相應(yīng)的齊次方程組只有零解，則該線性方程組（A） A 可能無解 B 有唯一解C 有無窮多解 D 無解注：若線性方程組相應(yīng)的齊次方程組只有零解

2、只能說明：系數(shù)矩陣的秩等于未知量的個(gè)數(shù)，至于系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否相等不得而知。例與7 以下結(jié)論正確的是（D） A方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)的線性方程組一定有解B方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)的線性方程組一定有唯一解C方程個(gè)數(shù)大于未知量個(gè)數(shù)的線性方程組一定有無窮多解D齊次線性方程組一定有解（至少有零解，所以正確）8 若向量組線性相關(guān)，則向量組內(nèi)（A）可被該向量組內(nèi)其余向量線性表出。 A 至少有一個(gè)向量 B 沒有一個(gè)向量C 至多有一個(gè)向量 D 任何一個(gè)向量 定理3.69設(shè)A,B 為n 階矩陣，既是A又是B的特征值，既是A又是B的屬于的特征向量，則結(jié)論（A）成立。 A 是的特征值 B 是的特征值C 是

3、的特征值 D 注：由已知得，從而 選A B 和 D不正確10 設(shè)A,B,P 為n階矩陣，若等式（C）成立，則稱A和B相似。A B C D 定義4.2二、填空題1 當(dāng)1時(shí)，齊次線性方程組有非零解.注：2 向量組， 線性相關(guān). 注： 第五行：包含零向量的向量組一定是線性相關(guān)的.3 向量組，得秩是3.4 設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)行列式，則這個(gè)方程組有非零解，且系數(shù)列向量是線性相關(guān)的.5 向量組的極大線性無關(guān)組是.6 向量組的秩與矩陣的秩相等. 注： 定理3.97 設(shè)線性方程組中有5個(gè)未知量，且秩(A)=3,則其基礎(chǔ)解系中線性無關(guān)的解向量有2個(gè).8 設(shè)線性方程組有解，是它的一個(gè)特解，且的基礎(chǔ)解系為，則的

4、通解為：（為任意常數(shù)）.9 若是的特征值，則是方程的根. 注： （3）10 若矩陣滿足為方陣且，則稱為正交矩陣.注： 定義4.5三、解答題1 用消元法解線性方程組解：將增廣矩陣通過初等行變換化為階梯陣：于是知，為唯一解.2 設(shè)有線性方程組，為何值時(shí)，方程組有唯一解？或有無窮多解？解：方法一：當(dāng)時(shí)，有，方程組有唯一解，于是有于是當(dāng)且時(shí)，方程有唯一解。當(dāng)時(shí)，有，有，知有無窮多解. 當(dāng)時(shí)，有由，方程組無解.于是，當(dāng)時(shí)，方程組有無窮多解.方法二：于是當(dāng)時(shí)，方程組無解. 當(dāng)時(shí)，方程組有無窮多解.當(dāng)且時(shí)，方程有唯一解。3 判斷向量能否由向量組線性表出，若能，寫出一種表出方式.其中：，解：若能由向量組線性表

5、示，有 寫作線性方程組即為：，于是有 ，所以不能由線性表出.4 計(jì)算下列向量組的秩，并且判斷該向量組是否線性相關(guān)？ ，解：由矩陣（以為列）進(jìn)行初等行變換，有 知向量組的秩為3，由于，所以向量組線性相關(guān).5 求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.解：將系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，有于是有即，令，得化簡，令，則為齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.6 求線性方程組的全部解.解：將增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，有 令，得相應(yīng)的解向量，令，得相應(yīng)的解向量，令，得相應(yīng)的特解，于是線性方程組的全部解為： （其中為任意常數(shù)）.7 試證：任一4維向量都可由向量組 ，線性表出，且表出方式唯一，寫出這種表出方式.證：由已知可由線性表示

6、，有寫作線性方程組，有因?yàn)橄禂?shù)行列式所以由克拉默法則，線性方程組有唯一解又因?yàn)樗?且表出方式唯一。8 試證：線性方程組有解時(shí)，它有唯一解的充分必要條件是：相應(yīng)的齊次線性方程組只有零解.證：本題前提條件為：線性方程組有解首先證明 “” 即： “有唯一解對(duì)應(yīng)齊次線性方程組只有零解”由 線性方程組有解判定定理，有當(dāng)，即滿秩時(shí)，線性方程組有唯一解.這時(shí)當(dāng)然有對(duì)應(yīng)齊次方程組，即滿秩，所以，對(duì)應(yīng)齊次線性方程組只有零解.其次證明 “”即: “對(duì)應(yīng)齊次線性方程組只有零解有唯一解“首先，由線性方程組有解，有；又對(duì)應(yīng)齊次線性方程組只有零解，有，即滿秩；于是有，有結(jié)論：線性方程組有唯一解.9 設(shè)是可逆矩陣的特征值，且，試證：是矩陣的特征值.證；由已知條件有非零向量，使得 即 上式兩端左乘，得