2023屆一輪復習北師大版 第4章 第7節(jié)正弦定理、余弦定理的綜合應用 學案

1、 正弦定理、余弦定理的綜合應用考試要求能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題測量中的幾個常用術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角，方位角的范圍是0，360)方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)例：(1)北偏東：(2)南偏西：坡角與坡度坡面與水平面所成銳二面角叫坡角(為坡角)；坡面的垂直高度與水平寬度之比叫坡度(坡比)，即ieq

2、f(h,l)tan 提醒：涉及角時，一定要弄清此角的始邊和終邊所在位置如方位角135的始邊是指北方向線，始邊順時針方向旋轉(zhuǎn)135得到終邊；方向角南偏西30的始邊是指南方向線，向西旋轉(zhuǎn)30得到終邊一、易錯易誤辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)東北方向就是北偏東45的方向()(2)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為180()(3)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)()(4)方位角大小的范圍是0，2)，方向角大小的范圍一般是eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2)()答案(1)(2)(3)(4)二、教材習

3、題衍生1點A在點B的北偏東60，則點B在點A的()A北偏西60B南偏東30C南偏西60D北偏西30C如圖所示，點B在點A的南偏西60，故選C2如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105后，就可以計算出A，B兩點的距離為()A50eq r(2) mB50eq r(3) mC25eq r(2) mDeq f(25r(2),2) mA由正弦定理得eq f(AB,sinACB)eq f(AC,sin B)，又B30，ABeq f(ACsinACB,sin B)eq f(50f(r(2),2),f(1,2)50eq r(2

4、)(m)3如圖所示，D，C，B三點在地面的同一條直線上，DCa，從C，D兩點測得A點的仰角分別為60，30，則A點離地面的高度AB_eq f(r(3),2)a由已知得DAC30，ADC為等腰三角形，所以ACa，所以在RtACB中，ABACsinACBeq f(r(3),2)a4在一幢10 m高的房屋頂測得對面一塔頂?shù)难鼋菫?0，塔基的俯角為30，假定房屋與塔基在同一水平地面上，則塔的高度為_m40如圖所示，BD10 m，則AB20 m，AD20 cos 3010eq r(3) m，在ACD中，CD10eq r(3)tan 6030 m，所以塔的高度CB301040 m 考點一解三角形的實際應用

5、典例1(1)(2021福建廈門市高三三模)故宮是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑群故宮宮殿房檐設計恰好使北房在冬至前后陽光滿屋，夏至前后屋檐遮陰已知北京地區(qū)夏至前后正午太陽高度角約為75，冬至前后正午太陽高度角約為30圖1是頂部近似為正四棱錐、底部近似為正四棱柱的宮殿，圖2是其示意圖，則其出檐AB的長度(單位：米)約為()圖1圖2A3B4C6eq blc(rc)(avs4alco1(r(3)1)D3eq blc(rc)(avs4alco1(r(3)1)(2)如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南

6、偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，則cos 的值為_(1)C(2)eq f(r(21),14)(1)如圖，根據(jù)題意得ACB15，ACD105，ADC30，CD24，所以CAD45，所以在ACD中，由正弦定理得eq f(CD,sinCAD)eq f(AC,sinADC)，即eq f(24,sin 45)eq f(AC,sin 30)，解得AC12eq r(2)，所以在RtACB中，sinACBeq f(AB,AC)，即sin 15eq f(AB,12r(2)，解得AB12eq r(2)sin 1512eq r(2)sineq blc(rc)(avs4

7、alco1(6045)12eq r(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)f(r(2),2)f(1,2)f(r(2),2)12eq r(2)eq f(r(6)r(2),4)3eq r(2)eq blc(rc)(avs4alco1(r(6)r(2)6eq r(3)6故選C(2)在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，得BC20eq r(7)由正弦定理，得eq f(AB,sinACB)eq f(BC,sinBAC)，即sinACBeq f(AB,BC)sinBACeq f(r(21),7)由BAC12

8、0，知ACB為銳角，則cosACBeq f(2r(7),7)由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30eq f(r(21),14)點評：解答此類問題的關(guān)鍵是正確理解題意，包括所涉及的方向角、方位角及仰角、俯角等，依據(jù)題意畫出示意圖跟進訓練1(2021開封模擬)國慶閱兵式上舉行升旗儀式，在坡度為15的觀禮臺上，某一列座位與旗桿在同一個垂直于地面的平面上，某同學在該列的第一排和最后一排測得旗桿頂端的仰角分別為60和30，第一排和最后一排的距離為25米，則旗桿的高度約為()A17米B22米C31米D35米C如圖所示，依題意可知ADC45，ACD180

9、6015105，DAC1804510530，由正弦定理可知eq f(CD,sinDAC)eq f(AC,sinCDA)，ACeq f(CDsinCDA,sinDAC)25eq r(2)米在RtABC中，ABACsinACB25eq r(2)eq f(r(3),2)eq f(25r(6),2)31米旗桿的高度約為31米，故選C2如圖所示，為了測量A，B兩座島嶼間的距離，小船從初始位置C出發(fā)，已知A在C的北偏西45的方向上，B在C的北偏東15的方向上，現(xiàn)在船往東開2百海里到達E處，此時測得B在E的北偏西30的方向上，再開回C處，由C向西開2eq r(6)百海里到達D處，測得A在D的北偏東22.5的

10、方向上，則A，B兩座島嶼間的距離為()A3百海里B3eq r(2)百海里C4百海里D4eq r(2)百海里B如圖所示，根據(jù)題意知：ADCDAC67.5，ACB60，DC2eq r(6)，CE2，BCE75，CBE45，CEB60所以在BCE中，利用正弦定理eq f(CB,sinCEB)eq f(CE,sinCBE)，解得BCeq r(6)，在ADC中，ADCDAC67.5，所以DCAC2eq r(6)，則在ACB中，利用余弦定理AB2AC2CB22ACCBcos 60，解得AB3eq r(2)，故選B 考點二平面幾何中的解三角形問題與平面圖形有關(guān)的解三角形問題的關(guān)鍵及思路求解平面圖形中的計算問

11、題，關(guān)鍵是梳理條件和所求問題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的關(guān)系具體解題思路如下：(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果典例2如圖，在平面四邊形ABCD中，DAAB，DE1，ECeq r(7)，EA2，ADCeq f(2,3)，且CBE，BEC，BCE成等差數(shù)列(1)求sinCED；(2)求BE的長解設CED因為CBE，BEC，BCE成等差數(shù)列，所以2BECCBEBCE，又CBEBECBCE，所以BECeq f(,3)(1)在CDE中，由余弦定理得E

12、C2CD2DE22CDDEcosEDC，即7CD21CD，即CD2CD60，解得CD2(CD3舍去)在CDE中，由正弦定理得eq f(EC,sinEDC)eq f(CD,sin )，于是sin eq f(CDsin f(2,3),EC)eq f(2f(r(3),2),r(7)eq f(r(21),7)，即sinCEDeq f(r(21),7)(2)由題設知0eq f(,3)，由(1)知cos eq r(1sin2)eq r(1f(21,49)eq f(2r(7),7)，又AEBBECeq f(2,3)，所以cosAEBcoseq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)cos eq f

13、(2,3)cos sin eq f(2,3)sin eq f(1,2)eq f(2r(7),7)eq f(r(3),2)eq f(r(21),7)eq f(r(7),14)在RtEAB中，cosAEBeq f(EA,BE)eq f(2,BE)eq f(r(7),14)，所以BE4eq r(7)點評：做題過程中，要用到平面幾何中的一些知識點，如相似三角形的邊角關(guān)系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機結(jié)合，才能順利解決問題跟進訓練(2020江蘇高考)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知a3，ceq r(2)，B45(1)求sin C的值；(2)在邊BC上取一點D，

14、使得cosADCeq f(4,5)，求tanDAC的值解(1)在ABC中，因為a3，ceq r(2)，B45，由余弦定理b2a2c22accos B，得b29223eq r(2)cos 455，所以beq r(5)在ABC中，由正弦定理eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)，得eq f(r(5),sin 45)eq f(r(2),sin C)，所以sin Ceq f(r(5),5)(2)在ADC中，因為cosADCeq f(4,5)，所以ADC為鈍角而ADCCCAD180，所以C為銳角故cos Ceq r(1sin2C)eq f(2r(5),5)，則tan Ceq f(sin C

15、,cos C)eq f(1,2)因為cosADCeq f(4,5)，所以sinADCeq r(1cos2ADC)eq f(3,5)，所以tanADCeq f(sinADC,cosADC)eq f(3,4)從而tanDACtan(180ADCC)tan(ADCC)eq f(tanADCtan C,1tanADCtan C)eq f(f(3,4)f(1,2),1blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)f(1,2)eq f(2,11) 考點三與三角形有關(guān)的最值、范圍問題1三角形中的最值、范圍問題的解題策略(1)定基本量：根據(jù)題意或幾何圖形厘清三角形中邊、角的關(guān)系，利用正、余弦定理求出相關(guān)的邊

16、、角或邊角關(guān)系，并選擇相關(guān)的邊、角作為基本量，確定基本量的范圍(2)構(gòu)建函數(shù)：根據(jù)正、余弦定理或三角恒等變換將待求范圍的變量用關(guān)于基本量的函數(shù)解析式表示(3)求最值：利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性等求最值2求解三角形中的最值、范圍問題的注意點(1)涉及求范圍的問題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進行求解，已知邊的范圍求角的范圍時可以利用余弦定理進行轉(zhuǎn)化(2)注意題目中的隱含條件，如ABC，0A，bcabc，三角形中大邊對大角等求角(函數(shù)值)的最值(范圍)典例31(2020浙江高考)在銳角ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知2bsin Aeq r(3)a0(1)求角B的大

17、?。?2)求cos Acos Bcos C的取值范圍解(1)由正弦定理，得2sin Bsin Aeq r(3)sin A，故sin Beq f(r(3),2)，由題意得Beq f(,3)(2)由ABC，得Ceq f(2,3)A由ABC是銳角三角形，得Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，f(,2)由cos Ccoseq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)A)eq f(1,2)cos Aeq f(r(3),2)sin A，得cos Acos Bcos Ceq f(r(3),2)sin Aeq f(1,2)cos Aeq f(1,2)sineq blc(rc)(av

18、s4alco1(Af(,6)eq f(1,2)eq blc(rc(avs4alco1(f(r(3)1,2)，f(3,2)故cos Acos Bcos C的取值范圍是eq blc(rc(avs4alco1(f(r(3)1,2)，f(3,2)點評：求角(函數(shù)值)的最值(范圍)問題一般先將邊轉(zhuǎn)化為角表示，再根據(jù)三角恒等變換及三角形內(nèi)角和定理轉(zhuǎn)化為一個角的一個三角函數(shù)表示，然后求解求邊(周長)的最值(范圍)典例32(2020全國卷)ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C(1)求A；(2)若BC3，求ABC周長的最大值解(1)由正弦定理和已知條件得BC2AC2AB2ACAB由余弦定

19、理得BC2AC2AB22ACABcos A由得cos Aeq f(1,2)因為0A，所以Aeq f(2,3)(2)由正弦定理及(1)得eq f(AC,sin B)eq f(AB,sin C)eq f(BC,sin A)2eq r(3)，從而AC2eq r(3)sin B，AB2eq r(3)sin(AB)3cos Beq r(3)sin B故BCACAB3eq r(3)sin B3cos B32eq r(3)sineq blc(rc)(avs4alco1(Bf(,3)又0Beq f(,3)，所以當Beq f(,6)時，ABC周長取得最大值32eq r(3)點評：求邊(周長)的最值(范圍)問題一

20、般通過三角中的正、余弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)值，再結(jié)合角的范圍求解，有時也可將角轉(zhuǎn)化為邊，利用均值不等式或函數(shù)最值求解求三角形面積的最值(范圍)eq 典例33(2019全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知asineq f(AC,2)bsin A(1)求B；(2)若ABC為銳角三角形，且c1，求ABC面積的取值范圍解(1)由題設及正弦定理得sin Asineq f(AC,2)sin Bsin A因為sin A0，所以sineq f(AC,2)sin B由ABC180，可得sineq f(AC,2)coseq f(B,2)，故coseq f(B,2)2sineq f(B,2

21、)coseq f(B,2)因為coseq f(B,2)0，故sineq f(B,2)eq f(1,2)，所以B60(2)由題設及(1)知ABC的面積SABCeq f(r(3),4)a由正弦定理得aeq f(csin A,sin C)eq f(sin(120C),sin C)eq f(r(3),2tan C)eq f(1,2)由于ABC為銳角三角形，故0A90，0C90由(1)知AC120，所以30C90，故eq f(1,2)a2，從而eq f(r(3),8)SABCeq f(r(3),2)因此，ABC面積的取值范圍是eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),8)，f(r(3),2

22、)點評：求三角形面積的最值(范圍)的兩種思路(1)將三角形面積表示為邊或角的函數(shù)，再根據(jù)條件求范圍(2)若已知三角形的一個內(nèi)角(不妨設為A)，及其對邊，則可根據(jù)余弦定理，利用基本不等式求bc的最值從而求出三角形面積的最值跟進訓練1在鈍角ABC中 ，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，B為鈍角，若acos Absin A，則sin Asin C的最大值為()Aeq r(2) Beq f(9,8) C1 Deq f(7,8)Bacos Absin A，由正弦定理可得，sin Acos Asin Bsin A，sin A0，cos Asin B，又B為鈍角，BAeq f(,2)，sin Asin Csin Asin(AB)sin Acos 2Asin A12sin2A2eq blc(rc)(avs4alco1(sin Af(1,4)eq sup12(2)eq f(9,8)，sin Asin C的最大值為eq f(9,8)2ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c若角A，B，C成等差數(shù)列，且beq f(r(3),2)(1)求ABC的外接圓直徑；(2)求ac的取值范圍解(1)因為角A，B，C成等差數(shù)列，所以2BAC，又因為ABC，所以Beq f(,3)根據(jù)正弦定理得，ABC的外接圓直徑2Req f(b,sin B)eq f(f(r(3),2),sin f(,3)1(2