初中數(shù)學(xué)北師大八年級上冊（2023年修訂） 勾股定理八上勾股定理教案

1、第一章勾股定理探索勾股定理【教學(xué)目標】1、用數(shù)格子的方法探索直角三角形的三邊關(guān)系,掌握勾股定理的內(nèi)容及其驗證,并能應(yīng)用勾股定理解決一些實際問題.2、讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察-猜想-歸納-驗證”的過程,掌握勾股定理及其驗證過程,體會數(shù)形結(jié)合和從特殊到一般的數(shù)學(xué)方法.3、在探索勾股定理及其驗證活動中,培養(yǎng)探究能力和合作精神;通過對勾股定理歷史的了解,感受數(shù)學(xué)文化,增強愛國情感,激勵學(xué)生發(fā)奮學(xué)習(xí).【教學(xué)重點】了解勾股定理的由來,能用面積法驗證勾股定理,并能應(yīng)用勾股定理解決簡單的實際問題.【教學(xué)難點】在方格紙上通過計算圖形面積的方法探索勾股定理,并通過拼圖驗證勾股定理,體會其中數(shù)形結(jié)合的思想.【教學(xué)過程】一、

2、情境導(dǎo)入如圖,在2023年的國際數(shù)學(xué)家大會上采用弦圖作為會標,它為什么有如此大的魅力呢?它蘊含著怎樣迷人的奧妙呢?下面我就帶領(lǐng)大家一起探索勾股定理.二、合作探究探究點1利用勾股定理求正方形面積典例1圖中的字母A,B所代表的正方形的面積分別為.解析SA=a2=c2-b2=289-225=64,SB=c2=a2+b2=400+250=650.答案64,650【方法總結(jié)】以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積等于分別以該直角三角形的兩條直角邊為邊的兩個正方形的面積之和.探究點2利用勾股定理求邊長典例2如圖,ABC中,C=90,BC=9,AC=12,則AB=.解析由于BC,AC的長度已知,所以在RtAB

3、C中,直接利用勾股定理可求得AB=15.答案15【方法總結(jié)】當已知直角三角形的兩邊長時,可直接利用勾股定理求出第三邊長.變式訓(xùn)練求如圖所示各直角三角形中的未知邊x的長.解析(1)由勾股定理,得52+122=x2,即x2=169,x=13.(2)由勾股定理,得x2+82=172,x2=172-82=225,x=15.典例3如圖,已知A=CBD=90,AC=3 cm,AB=4 cm,BD=12 cm,求CD的長.解析在RtABC中,由勾股定理,得BC2=AB2+AC2=42+32=25.在RtBCD中,由勾股定理,得CD2=BC2+BD2=25+122=169,所以CD=13.即CD的長為13 c

4、m.【方法總結(jié)】若所求邊長所在的直角三角形中只給出一邊的長,而另一邊又在另一個直角三角形中時,可先在另一個直角三角形中利用勾股定理求出另一邊,進而在再次利用勾股定理求出所求邊的長.探究點3勾股定理的驗證典例4歷史上對勾股定理的一種驗證方法采用了如圖所示的圖形,其中兩個全等的直角三角形的邊AE,EB在一條直線上,那么用到的面積相等關(guān)系是()EDA=SCEBEDA+SCEB=SCDE四邊形CDAE=S四邊形CDEBEDA+SCDE+SCEB=S四邊形ABCD解析觀察圖形可知,EDA,CDE和CEB拼成四邊形ABCD,所以SEDA+SCDE+SCEB=S四邊形ABCD.答案D變式訓(xùn)練下列選項中,不能

5、用來證明勾股定理的是()答案D探究點4勾股定理的實際應(yīng)用典例5如圖,AB為一棵大樹,在樹上距地面10 m的D處有兩只猴子,它們同時發(fā)現(xiàn)地面上的C處有一筐水果,一只猴子從D處爬到樹頂A處,利用拉在A處的滑繩AC滑到C處,另一只猴子從D處滑到地面B處,再由B處跑到C處,已知兩猴子所經(jīng)路程都是15 m,求樹高AB.解析設(shè)AD=x m,則AB=(10+x) m,AC=(15-x) m,BC=5 m.根據(jù)勾股定理,得(x+10)2+52=(15-x)2.解得x=2,AB=10+x=10+2=12(m).答:樹高AB為12 m.變式訓(xùn)練放學(xué)后,小林和小明從學(xué)校出發(fā),分別沿東南方向和西南方向回家,他們行走的

6、速度都是40 m/min,小林用了15 min到家,小明用了20 min到家,則他們兩家的距離為.答案1000 m三、教學(xué)反思一定是直角三角形嗎【教學(xué)目標】1、經(jīng)歷勾股定理的逆定理的探索過程進一步發(fā)展推理能力.2、經(jīng)歷一般規(guī)律的探索過程,發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和歸納能力.3、體驗生活中數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值,感受數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系,激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣。【教學(xué)重點】通過邊長之間的關(guān)系判斷一個三角形是否為直角三角形,熟悉幾組勾股數(shù),并會辨析哪些問題應(yīng)用哪個結(jié)論?！窘虒W(xué)難點】如何利用三角形三邊長度之間的關(guān)系判斷這個三角形是直角三角形.【教學(xué)過程】一、情境導(dǎo)入大禹治水的故事早已被大家所熟知,相

7、傳,他借助自己發(fā)明的測量方法和工具解決了很多疑難問題.比如有一次在治理一條溝渠的彎角是否是直角,這就需要找到一種確定直角的方法.大禹想出了如下的方法:如圖,把一根長繩打上等距離的13個結(jié),然后以3個結(jié),4個結(jié),5個結(jié)的長度為邊長,用木樁釘成一個三角形,其中一個角便是直角.你知道這種方法的道理嗎?二、合作探究探究點1直角三角形的判別條件典例1在ABC中,a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2,其中m,n是正整數(shù),且mn,試判斷ABC是不是直角三角形.解析因為m,n是正整數(shù),且mn,(m-n)2=m2+n2-2mn0,所以m2+n22mn,所以cb.因為a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)

8、2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=(m2+n2)2=c2,所以ABC是直角三角形.【歸納總結(jié)】利用三角形的邊判定一個三角形是否為直角三角形的一般步驟是:(1)確定最大邊;(2)計算最大邊的平方及較小兩邊的平方和;(3)比較計算結(jié)果,做出判斷.變式訓(xùn)練下列四組線段中,能組成直角三角形的是()=1,b=2,c=3=2,b=3,c=4=2,b=4,c=5=3,b=4,c=5答案D探究點2勾股數(shù)典例2下列各組數(shù)中,不是勾股數(shù)的一組是(),4,5,8,10,120,130解析滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù),稱為勾股數(shù).根據(jù)定義可知,不是勾股數(shù).答案C變式訓(xùn)練下列各組數(shù)據(jù)分別表示三條線段的長度:3

9、k,4k,5k(k0);3+k,4+k,5+k;3k2,4k2,5k2(k0);3k,4k,5k(k0).其中,可以構(gòu)成直角三角形的有組.答案3三、教學(xué)反思勾股定理的應(yīng)用【教學(xué)目標】1、能靈活運用勾股定理及直角三角形的判別條件解決簡單的實際問題.2、經(jīng)歷應(yīng)用勾股定理及直角三角形的判別條件,在將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程中,提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想.3、激發(fā)學(xué)生強烈的求知欲,使學(xué)生享受運用數(shù)學(xué)思想解決生活問題的成功體驗.【教學(xué)重點】應(yīng)用勾股定理及直角三角形的判別條件解決簡單的實際問題.【教學(xué)難點】從實際問題中合理抽象出數(shù)學(xué)模型.【教學(xué)過程】一、情境導(dǎo)入游樂場有一個圓柱形

10、的大型玩具,如圖所示,現(xiàn)要從點A開始環(huán)繞圓柱側(cè)面修建梯子,正好到達A點的正上方B點,已知圓柱形玩具的底面周長是12米,高AB為5米,那么梯子的長度是多少米?二、合作探究探究點1確定立體物體表面上兩點之間的最短距離典例1如圖所示的圓柱,它的高是15 cm,底面周長是10 cm,圓柱的下底面A點有一只蟑螂想吃到距上底面3 cm的B點處的事物,需爬行的最短距離是多少?解析側(cè)面展開圖如圖所示,需爬行的最短距離是線段AB的長,AC為底面周長的一半.在RtABC中,ACB=90,AC=5,BC=15-3=12,由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=52+122=132,所以AB=13.故蟑螂爬行的最短距離

11、為13 cm.【方法總結(jié)】解決有關(guān)立體圖形表面上兩點之間的最短距離問題,通常要把立體圖形展開,從而將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形,再利用勾股定理解決,但一定要弄清哪條路徑是最短的.對于長方體物體,由于它們側(cè)面展開的方式不同,結(jié)果也不會相同,因此需要分類討論,然后利用勾股定理計算,從中找出最小值.變式訓(xùn)練如圖,長方體的底面邊長分別為2 cm和4 cm,高為5 cm.如果一根細線從點P開始經(jīng)過四個側(cè)面繞一圈到達點Q,那么所用細線最短需要 cm.答案13探究點2應(yīng)用勾股定理解決實際問題典例2在一次消防演習(xí)中,消防員架起一架25米長的云梯,如圖所示斜靠在一面墻上,梯子底端離墻7米.(1)這架云梯的頂端距地面

12、有多高?(2)如果消防員接到命令,要把云梯的頂端下降4米(云梯長度不變),那么云梯的底部在水平方向應(yīng)滑動多少米?解析(1)由題圖可以看出梯子、墻、地可圍成一個直角三角形,即梯子為斜邊,梯子底部到墻的線段為一條直角邊,梯子頂端到地的線段為另一條直角邊.因為252-72=242.所以梯子頂端到地的距離為24米.(2)當梯子頂端下降4米后,梯子頂部到地的距離為20米.因為252-202=152,且15-7=8(米).所以梯子底部應(yīng)水平滑動8米.變式訓(xùn)練如圖,南北方向MN為我國領(lǐng)海線,即MN以西是我國領(lǐng)海,以東為公海.由于世界各國都加大了反走私的力度,走私集團度日如年.某日上午9時50分,我國反走私艇

13、A發(fā)現(xiàn)正東方向有一走私船C以每小時13海里的速度偷偷向我領(lǐng)海開來,便立即通知正在MN線上巡邏的我國反走私艇B密切注意.反走私艇A和走私船C的距離是13海里,A,B兩艇的距離為5海里,反走私艇B測得距離C船12海里.若走私船C的速度不變,最早會在什么時間進入我國領(lǐng)海?解析設(shè)MN與AC相交于點E,則BEC=90.AB2+BC2=52+122=132=AC2,ABC是直角三角形,且ABC=90.MNCE,走私船C進入我國領(lǐng)海的最近距離是CE.根據(jù)三角形ABC的面積計算公式,可得12ABBC=12ACBE,即512=13BE,解得BE=6013.在RtBCE中,CE2+BE2=BC2,CE2+60132=122,解得CE=14413.1441313(h)=51(min),9時50分+51分=10時41分.即走私船最早在10時41分進入我國領(lǐng)海.探究點3應(yīng)用勾股定理解決折疊問題典例3如圖,在RtABC中,B=90,AB=3,BC=4,將ABC折疊使點B恰好落在斜邊AC上,與點B重合,AE為折痕,則EB=.解析根據(jù)折疊的性質(zhì),可得BE=EB,AB=AB=3.設(shè)BE=EB=x,則EC=4-x.在RtABC中,AB=3,BC=4,由勾股定理,得AC2=32+42=52,則AC=5.所以BC=5-3=