四年級奧數(shù)計算數(shù)列教師版

1、1知識要點按照一定次序排列的一列數(shù)叫數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項，各項依次叫做這個數(shù)列的第1項（或首項）、第2 項、第 3項、第 n 項、3、項數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，有窮數(shù)列的最后一項叫做這個數(shù)列的末項。 項數(shù)無窮的數(shù)列叫做無窮數(shù)列。4、1 2 3 ( n 1) n n (n 1) 2（ n為正整數(shù)）122232n2 n n12n1（n為正整數(shù)） 65、如果一個數(shù)列，從第 2 項起的每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù) 列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用 d 表示。等差數(shù)列求和公式：和 （首項 末項） 項數(shù) 2。6、如果一個數(shù)列，從第 2項起，每一

2、項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用 q表示 q0。（或者從第二數(shù)開始每一個數(shù)都和前面數(shù)的倍數(shù)都是相同的，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。） 一般地，等比數(shù)列求和采用“錯位相減法”。（公比不為 1 ）1等差數(shù)列找規(guī)律計算 應用題數(shù)表整數(shù)與數(shù)列 本講初步認識等比數(shù)列其它復合型數(shù)列求和方法應用題傳說西塔發(fā)明了國際象棋而使國王十分高興，他決定要重賞西塔，西塔說：“我不要你 的重賞 ，陛下，只要你在我的棋盤上賞一些麥子就行了。在棋盤的第1 個格子里放1 粒，在第 2個格子里放 2粒，在第 3 個格子里放 4粒，在第 4個格子里放 8 粒，依此類推，以

3、后每一個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的 2倍，直到放滿第 64 個格子就行了”。區(qū)區(qū)小數(shù)，幾粒麥子，這有何難，“來人”，國王令人如數(shù)付給西塔。計數(shù)麥粒的工作開始了，第一格內(nèi)放1粒，第二格內(nèi)放 2粒第三格內(nèi)放 2粒，還沒有到第二十格，一袋麥子已經(jīng)空了。一袋又一袋的麥子被扛到國王面前來。但是，麥粒數(shù)一格 接一格飛快增長著，國王很快就看出，即便拿出全國的糧食，也兌現(xiàn)不了他對西塔的諾言。原來，所需麥?？倲?shù)為： 2641 18446744073709551615這些麥子究竟有多少？打個比方，如果造一個倉庫來放這些麥子，倉庫高 4公尺，寬10公尺，那么倉庫的長度就等于地球到太陽的距離的兩倍。

4、而要生產(chǎn)這么多的麥子，全世界要 兩千年。盡管國家非常富有，但要這樣多的麥子他是怎么也拿不出來的。這么一來，國王就 欠了西塔好大一筆債。等差數(shù)列【例 1】判斷下面的數(shù)列中，哪些是等差數(shù)列？哪些是等比數(shù)列？如果是等差數(shù)列，請指 明公差；如果不是，請說明理由。如果是等比數(shù)列，請指明公比；如果不是，請 說明理由。數(shù)列一： 7 、 11、15 、19 、 23 、；數(shù)列二： 1、 2、1、 2、 3 、 4、 5 、 99 、 100 ；數(shù)列三： 1、 2、 4、 8 、 16 、 32 、 64 ；數(shù)列四： 2、 6 、18 、 54 、 162 ；數(shù)列五： 2009 、 2009 、 2009 、

5、2009 、 2009 、 2009 、 2009 ； 數(shù)列六： 1 、 0 、 1 、 0 、 1 、 0 、 1 、 0 、 1 ；數(shù)列七： 0 、 0 、 0 、211 15【分析】數(shù)列一是等差數(shù)列，公差為 4 ；因為 ，所以不是等比數(shù)列。7 11數(shù)列二不是等差數(shù)列；不是等比數(shù)列。因為 2 1 1 2，即 a a a a 2 1 32；所以數(shù)列二不是等差數(shù)列；因為2 1 ，所1 2以不是等比數(shù)列。數(shù)列三不是等差數(shù)列，數(shù)列三是等比數(shù)列，公比為 2。因為 2 1 4 2 ，即 a a a a ；所以數(shù)列三不是等差數(shù)列；2 1 3 2因為 2 1 2 ， 4 2 2 ， 8 4 2 ，所以數(shù)列

6、三是等比數(shù)列。 數(shù)列四是等比數(shù)列，公比為 3 ；因為 6 2 18 6 ，所以不是等差數(shù)列。數(shù)列五是等差數(shù)列，公差為 0 ；還是等比數(shù)列，公比為1。數(shù)列六不是等差數(shù)列；也不是等比數(shù)列。因為 0 1 1 0 ，即 a a a a ；所以數(shù)列六不是等差數(shù)列；也不是等比數(shù)列。2 1 3 2數(shù)列七是等差數(shù)列，公差為 0 。不是等比數(shù)列，因為等比數(shù)列的每一項都不能為 0 。 【例 2】下圖所示的表中有 55 個數(shù)，那么它們的和加上多少才等于 1994 ？1 7 132 8 143 9 154 10 165 11 17【分析】（方法一）需先求出所給數(shù)列的和，然后看和1994 差多少。 故可以先交給學生讓大

7、家用基本公式算所給數(shù)列的和， 可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加。（方法二）利用等差數(shù)列和 中間數(shù) 個數(shù)第 6 列作為中間項，求和再乘以項數(shù)： (31 32 33 34 35) 11 1815第 3 行為中間數(shù)列求和再乘以項數(shù)：(3 9 15 21 27 33 39 45 51 57 63) 5 1815因此所求的和是 1994 1815 179【例 3】在 1100 這100 個自然數(shù)中，所有能被 9 整除的自然數(shù)的和是多少？【分析】在 1100 這 100 個自然數(shù)中，能被 9 整除的自然數(shù)依次為 9 、18 、27 、98 、 99 ，9 18 27 98 99 (9 99)

8、 (99 9) 9 12594即在 1100 這100 個自然數(shù)中，所有能被 9 整除的自然數(shù)的和為 594 ?！纠?4】在不大于100 自然數(shù)中，所有不能被 9 整除的自然數(shù)的和是多少？【分析】 在不大于100 的自然書中，能被 9 整除的自然數(shù)依次為 0 、9 、18 、27 、98 、399 ，0 9 18 27 98 99 (0 99) (99 0) 9 125940 1 2 3 98 99 100 (0 100) (1000) 1 125050所以在不大于 100 的自然數(shù)中，所有能被 9 整除的自然數(shù)的和為 5050 594 4456 ?！纠?5】在 1 200 這 200 個自然

9、數(shù)中，所有能被 4整除或被 11整除的自然數(shù)的和是多少？【分析】 在 1 200 這 200 個自然數(shù)中，能被 4整除的自然數(shù)依次為 4、8 、12、196 、200 ，4 8 12 196 200 (4 200) (200 4) 4 125100在 1 200 這 200 個自然數(shù)中，能被 11整除的自然數(shù)依次為11、22、33 、187 、198 ，11 22 33 187 198 (11198) (198 11) 11 121881在 1 200 這 200 個自然數(shù)中，既能被 4 整除又能被 11 整除的自然數(shù)，即能被 4,11 44 整除的自然數(shù)依次為 44、 88 、 132 、

10、176 ，44 88 132 176 (44 176) (176 44) 44 12440在 1 200 這 200 個自然數(shù)中，所有能被 4 5100 1881 440 6541 。整除或能被11整除的自然數(shù)的和為【例 6】（第七屆小學“祖沖之杯”數(shù)學邀請賽第一（1 ）題）七個連續(xù)的自然數(shù)，最大的 兩個數(shù)的和比最小的數(shù)大1997 ，那么中間的那個數(shù)是 _ 。【分析】最大的數(shù)比最小的數(shù)大 (7 1) 1 6 ，所以第 2大的數(shù)（從小到大第 6 數(shù)）為1997 6 1991；所以中間數(shù)（從小到大第 4 數(shù)）為1991 (6 4) 1 1989 ；或第 2大的數(shù)比最小的數(shù)大 (6 1) 1 5 ，

11、所以最大的數(shù)（從小到大第 7 數(shù)）為 1997 5 1992 ；所以中間數(shù)（從小到大第 4數(shù)）為1992 (7 4) 1 1989【例 7】計算： 1 3 4 6 7 9 10 12 13 66 67 69 70 _ 。 【分析】（方法一）1 3 4 6 7 9 10 12 13 66 67 69 70(14 7 10 67 70) (3 6 9 12 66 69)(170) (70 1) 3 1 (3 69) (69 3) 3 12 2852 828 1680（方法二）1 3 4 6 7 9 10 12 13 66 67 69 70(12 3 4 5 6 7 8 9 65 66 67 68

12、69 70) (2 5 8 (170) (70 1) 1 1 (2 68) (68 2) 3 12485 805 16802 265 68)【例 8】如圖所示，有一個六邊形點陣，它的中心是個點，算作第1 層；第 2 層每邊有 2 個4點（相鄰兩邊公用一個點）；第 3 層每邊有 3 個點；這個六邊形點陣共有 2010 層。請問第 2010 層有多少個點？這個點陣共有多少個點？【分析】 第 1層有 1個點、第 2層有 1 6 個點、第 3 層有 2 6 個點、第 2010 層有 2009 6 12054 個點。這個點陣共有 1 16 2 6 2009 6（1 2009）20091 (12 2009

13、) 6 1 26 12114271個點?！纠?9】如圖所示， 1條直線將 1個平面分成 2部分， 2條直線最多將 1個平面分成 4部分，3 條直線最多將 1個平面分成 7 部分，4條直線最多將 1個平面分成幾部分？那么 5條直線最多將 1個平面分成多少部分？【分析】 如果有 3 條直線，再增加1條直線，這條新增加的直線與前 3 條直線至多有 3 個交點；所以這條新增加的直線至多能被分成 3 1 4 段；因為每段直線將原有的部分分成 2 個部分；所以至多能增加 2 1 3 個部分。 4 條直線最多將 1 個平面分成 7 4 11 部分。如果有 4條直線，再增加1條直線，這條新增加的直線與前 4條

14、直線至多有 4個交點；所以這條新增加的直線至多能被分成 4 1 5 段；因為每段直線將原有的部分分成 2個部分；所以至多能增加 4 1 5 個部分。那么 5 條直線最多將1個平面分成11 5 16 部分。（下圖中圓代表一個平面）【例 10】 如圖所示，1條直線將 1個平面分成 2部分，2條直線最多將 1個平面分成 4部分， 3 條直線最多將 1 個平面分成 7 部分， 4 條直線最多將 1 個平面分成 11 部分，那么 2009 條直線最多將1個平面分成多少部分？（圓內(nèi)部代表平面）52009 2 2009 2【分析】 如果有 k 條直線，再增加 1條直線，這條新增加的直線與前 k 條直線至多有

15、 k 個交點；所以這條新增加的直線至多能被分成 k 1 段；因為每段直線將原有的部分分成 2 個部分；所以至多能增加 k 1 個部分。（k N ）所以 n條直線最多將平面分成 1 (1 2 n ) 1 n(n 1) n 2 n 2 2 2個部分（ n Z）。所以 2009 條直線最多將平面分成 20190462個部分?！纠?11】 （ 2009 年 12 月 20 日第十屆“中環(huán)杯”小學生思維能力訓練活四年級選拔賽第一（ 9 ）題）平面上有一個圓，能把平面分成2部分； 2個圓最多能把平面分成 4部分?，F(xiàn)在有 7 個圓，最多能把平面分成 _ 部分。 【分析】 （方法一）列表可得圓的個數(shù)12345

16、 6 7平面的個數(shù) 2 4 8 14 22 32 44平面的個數(shù)之差是一個等差數(shù)列，例如 1個圓到 2個圓，平面的個數(shù)相差 4 2 2個，2個圓到 3 個圓，平面的個數(shù)相差 8 4 4 個， 3 個圓到 4個圓，平面的個數(shù)相差14 8 6 個，依次相加得到所以 7 個圓最多能將平面分成 2 (2 4 6 8 10 12) 44 個平面。 （方法二）如圖1 所示，平面上 1 個圓把平面分成 2 部分；如圖 2所示，增加1個圓，與原來 1個圓至多有 2個交點，2個交點能把增加的這個新增加的圓分成 2段??；而每個段弧又將原來的的平面分成 2部分，即新增加1部分；所以 2段弧至多增加 2部分。當有 k

17、 個圓時，再增加 1個圓，與原來 k 個圓至多有 2k 個交點，2k 個交點能把增加的這個新增加的圓分成 2k 段??； 而每個段弧又將原來的的平面分成 2 部分，即新增加1 所以 2k 段弧至多增加 2k 部分。部分；所以 n個圓最多能將平面分成 2 2 4 2( n 1) n 2 n 2 個平面；所以 7 個圓最多能將平面分成 71 2圖127 2 44 個平面。1 3 2 4圖26等比數(shù)列【例 12】 在括號中填入數(shù)，使數(shù)列成為等比數(shù)列。2、 4、（ ）、（ ）、 32 、 64 、 128 ；3 、（ ）、（ ）、 3000 、 30000 ；1 、11 、（ ）、 1331、 1464

18、1 、（ ）、（ ）?！痉治觥?2 、 4 、（8 ）、（16 ）、 32 、 64 、 128 ；公比為 2 。 3 、（30 ）、（300 ）、 3000 、 30000 ；公比為 10 。1、 11、（121）、1331 、 14641 、（161051）、（1771561 ）；公比為 11?！纠?13】數(shù)列求和： 2 4 8 16 32 64 128 _ ?！痉治觥窟@個數(shù)列從第二項開始每一項都是前面數(shù)的 2記 s 2 4 8 16 32 64 128 ，倍，是等比數(shù)列。2 s 2 (2 4 8 16 32 64 128) 4 8 16 32 64 128 256 2s s s 256

19、2 254 ?！菊f明】這種方法稱為“錯位相減法”?！纠?14】計算：1 3 9 27 81 243 729 _ 。【分析】這個數(shù)列從第二項開始每一項都是前面數(shù)的3 倍，是等比數(shù)列。記 s 1 3 9 27 81 243 729 ， 3s 3 9 27 81 243 729 2187 ， 3s s 2 s 2187 1 2186【例 15】 （ 2006 年第四屆小學“希望杯”全國數(shù)學邀請賽四年級第 1試第 19 題）成語“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困難。假設愚公家門口大山有 80 萬噸重，愚 公有兩個兒子，他的兩個兒子又分別有兩個兒子，依次類推。愚公和他的子孫每 人一生能搬運 100 噸石

20、頭。如果愚公是第一代，那么到了第_代這座大山可以搬完。（已知 2101024 ）【分析】愚公家第一代有1人，第二代有 2人，第三代有 22 4 人，第四代有 238 人，第十三代有 2124096 人，因為 (12 4 8 4096) 100 819100 800000 ，所以第十三代大山就全搬完。【例 16】 某課題研究小組對附著在物體表面的三個微生物（課題小組成員把他們分別編號為 1、2、3 ）的生長情況進行觀察記錄。這三個微生物第一天各自一分為二，產(chǎn)生新的微生物（分別被標號為 4、 5 、 6 、 7 、8 、 9 ），接下去每天都都按照這樣的規(guī)律變化，即每個生物一分為二，形成新的微生物

21、。那么標號為100 的微生物 會出現(xiàn)在第幾天？【分析】第一天原有 3 2 6 個，第二天新增 6 2 12 個，第三天新增 12 2 24 微生物分裂新增的個數(shù)是一個等比數(shù)列。7，( n 1)2 1 n 22 2分裂到第四天是有 3 6 12 24 48 93 個， 分裂到第五天是有 3 6 12 24 48 96 189 個。 標號為100 的出現(xiàn)在第五天?！纠?17】其他數(shù)列如圖表中數(shù)的排列順序。請問 2009 在第幾行第幾列？第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列第 5 列 第 1 行第 2 行第 3 行第 4 行第 5 行149162581524142322【分析】 根據(jù)填寫順

22、序和規(guī)律，設 m為數(shù)表中的一個數(shù)（ m Z ）。當 m n 2 ，那么 m在第 n行、第1列（ n Z ）；當 m ( n 1)21 ，那么 m在第 1行、第 n列（ n Z）；當 m n2，那么 m的行數(shù)和列數(shù)都小于等于 n（ m , n Z ）；當 (n 1)2m n2，那么 m 在 n 行或在 n 列（ m , n Z ）；第 n行、第 n列的數(shù)為( n 1)2 1 n 22（ n Z），當 ( n 1)2 m ( n 1)21 n22，那么 m 在 n列，當 m n 22，那么 m 在 n 行（ m , n Z ）；當 ( n 1)2m ( n 1)21 n22，那么 m 在 n列、第

23、 m ( n 1)2行，當( n 1)2 1 n 22 m n 2 ，那么 m 在 n 行、第 n 2 m 1 列（ m , n Z ）。44(44 2 1) 45 2 1936 1 20251936 ， 45 2025 ， 2 21981；1981 2009 2025 ；2009 在 45 行、第 452 2009 1 2025 2009 1 17 列?！纠?18】 正整數(shù)數(shù)列按圖中排成一個數(shù)陣，自上至下第1行有 1個數(shù)、第 2行有 3 個數(shù)、第 3 行有 5 個數(shù)、第 n行有 2n 1 個數(shù)（ n為正整數(shù)）。請問：（ 1 ）自上至下第10 行中所有數(shù)的和是多少？（ 2） 2010 排在第幾

24、行第幾列？ 812 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16【分析】前9 行一共有 1 3 5 (9 2 1) 9 2 81 個數(shù)，它們的和為(181) 8123321 ；前 10 行 一 共 有 1 3 5 (10 2 1) 10 (1100) 1005050 ；22100 個 數(shù) ， 它 們 的 和 為自上至下第10 行中所有數(shù)的和為 5050 3321 1729 。前 n行一共有 1 3 5 ( n 2 1) n 2 個數(shù)（ n Z ）。因為 442 1936 ， 452 2025 ， 2010 1936 74 ；所以 2010 排在第 45 行第 74 列?！纠?/p>

25、 19】 正整數(shù)1、2、3 、的排列順序如圖表所示，其中18 位于第 3 行、第 4列。請問 2010 位于第幾行（從上往下數(shù)）、第幾列（從左往右數(shù)）？1102591268137 15 1614 1718【分析】設 m 為行數(shù)、 n11為列數(shù)， a m n 1 ，令 1 2 3 a a (a 1) 22010 ， a ( a 1) 4020 ，因為 62 63 3906 4020 、 63 64 4032 4020 ，所以 a 3906 2 1 1954 位于第 63 行、第1 列；63min。2010 1954 56 ， 2010 位于 63 56 7 行、第 1 56 57 列?！纠?20

26、】計算：122232592602_ ?！痉治觥?1222325926021 60 61121 73810 61【說明】公式 12 2 2 32 n 2 n( n 1)(2n 1) 的證明方法：6圖一旋轉得到圖二，再旋轉得到圖三。9112 23 3 3nn 1 nn 14 4 4 443 4n 1 n 1 2 3 4 n 1 n n n n n 1 2 3 4 n 1 nnn n 1n 144 3n n 1 4 3 2n n 1 4 3 2 1圖一圖二圖三記圖一中所有數(shù)的和是 s 122232 n2。圖一、圖二、圖三相同位置的三個數(shù)的和都是 2n 1 ；1圖一、圖二、圖三各有1 2 3 ( n

27、1) n n( n 1) 個數(shù)；21 1所以圖一、圖二、圖三中所有數(shù)的和 3s (2 n 1) n(n 1) n ( n 1)(2n 1)2 2所以 s n n12n16【例 21】計算： 5 2 6 2 7 2 8 2 29 2 30 2 _ ?！痉治觥?52 6 2 7 2 82 29 12223242 52 622 30 2 72 82 292302122232421 1 30 3161 4 5 9 9455 30 9425 6 6【例 22】計算 ： 2 2 4 2 6 2 182 20 2 _；123252 172192_ 。【分析】因為 2 2 1、 4 2 2、 6 2 3 、

28、18 2 9 、 20 2 10 ；所以 2 2 (2 1)2 2 2 12 、 4 2 (2 2) 2 2 2 2 2 、 6 2 (2 3) 2 2 2 32 、 182 (2 9) 2 2 2 9 2 、 202 (2 10) 2 2 2 10 2 ；1011224262 18220222122232921021 4 10 11 21 1540 6 ；123252 172192122232 192202224262 1822021 20 21 41 1540 2870 1540 1330 6【例 23】計算：1 3 2 4 3 5 97 99 98 100 _ ?！痉治觥?1 3 2 4

29、 3 5 97 99 98 100 (2 1) (2 1) (3 1) (3 1) (4 1) (4 1) (98 1) (98 1) (99 1) (99 1)221321421 98219921223242 982992981222324298299299 99 100 199 99 328350 99 328251 6【例 24】計算：17 18 18 19 19 20 29 30 _ ?！痉治觥?17 18 18 19 19 20 29 30 1718191618192017 29 30 312831 17 18 19 16 17 18 18 19 20 17 18 19 29 30

30、31 28 29 30 329 10 31 16 17 6 7358【例 25】 （ 2003 年中國臺灣省小學生數(shù)學競賽選拔賽復賽第 4 題）A 66662003 個 66 ， B 55552003 個 55 ，則 3 A B 的值的所有數(shù)字之和是多少？【分析】 3 A B 3 66662003 個 66 55552003 個 55 3 33332003 個 33 2 55552003 個 5599992003 個 99 11112003 個110 (100002003 個 00 1) 11112003 個11 10(11112003 個1100002003 個 00 11112003 個1

31、1) 10 (11112003 個1100002003 個 00 11112003 個11) 1011112002 個11088882002 個 0890所 以3 A B的 值 的 所 有數(shù)字之和為12002 0 8 2002 9 0 9 2002 9 9 2003 18027【例 26】 （ 2008 年第十三屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽（小學組）初賽第 5 題）11若 a 151515 3333 ，則整數(shù) a 1004 個15 2008 個 3的所有數(shù)位上的數(shù)字和等于 _ 。【分析】 a 151515 3333 50505 3 33331004 個15 2008 個 3 1004 個 5

32、 和1003 個 0 2008 個 3 50505 9999 50505 （10000 1）1004 個 5 和1003 個 0 2008 個 3 1004 個 5 和1003 個 0 1個1和 2008 個 0 50505 0000 50505 5050504949 4951004 個 5 和1003 個 0 2008 個 01004 個 5和1003 個 0 1003 個 50 1004 個 49 和1個 5整數(shù) a所有數(shù)位上的數(shù)字和等于1003 (5 0) 1004 (4 9) 5 18072【例 27】已知 a 2 22 222 2222，求 a是多少？2009個 22009個數(shù)相加【

33、分析】因為 2 9 9 2 (10 1) 9 2 、 22 99 9 2 (100 1) 9 2 、222 999 9 2 (1000 1) 9 2、 、2 22 299 9992個02個00個 和90個939112所以 a (10 100 1000 10000) 2009 1 9 21個1和 2009 個 0(11111110 2009) 9 2 （1111000 1899）9 22009 個1和1個 0 2007 個1和3 個 0因為 1111111119 2 123456792 24691358 ；所以 1111000 9 2 246913580246913580 24691358000

34、 2007 個1和 3 個 0 223 個 246913580 和 2 個 0又因為1899 9 2 2112 422所以 a （1111000 1899）9 2 1111000 9 2 1899 9 2 2007 個1和 3 個 0 2007 個1和3 個 0246913580246913580 24691358000 422223 個 246913580 和 2 個 0246913580246913580 24691358024691357578222 個 246913580 和1個 0【例 28】 將 1、 2、 3 、 49 、 50 任意分成 10 組，每組 5 個數(shù)，在每組中取數(shù)值

35、居中的那個數(shù)為“中位數(shù)”，求這 10 個中位數(shù)之和的最小值和最大值?！痉治觥?對于每一個“中位數(shù)”都存在 2個比它小的數(shù)、 2個比它大的數(shù)。從 1 開始順次數(shù)到 30 ，每 3 個數(shù)一組分成 10 組， 然后將 31 到 50 這 50 個數(shù)任意分給這 10 組，例如：（1 、 2 50 ）；、3 、31 、32 ），（4 、 5 、 6 、33 、34 ），（28 、29 、30 、49 、開始順次數(shù)到 50 ，每 3 個數(shù)一組共分成 10 組，這樣得到的10 個“中位數(shù)”之和最小，為 3 6 9 27 30 從 21(3 30) 102165 。然后將1 到 20 這 20 個數(shù)任意分給這

36、10 組，例如：（1 、 2 、 21 、 22 、23 ），（3、 4 、 24 、 25 、26 ），（5 、 6 、48 、 49 、1250 ）；這 樣得 到 的10個 “ 中 位 數(shù) ” 之 和 最 大 ， 為21 24 27 45 48 (21 48) 102345 ?！纠?29】 將正奇數(shù)數(shù)列 1、 3 、 5 、 7 、 9 、11、13 、15 、 17 、19 ，按下列方式分組：（ 1、 3 ），（ 5 、 7 、 9 ），（ 11、13 ），（15 、17 、 19 ），；請問要使這個數(shù)列前 n 個？項之和最先超過 2009 ，則第 n項是多少？位于分組之后第幾組的第幾【

37、分析】 正奇數(shù)數(shù)列前 n項和為1 3 5 (2 n 1) n2，因為 4421936 ， 4522025 ，所以 n 45 ，第 45 項為 2n 1 89 ，因為 45 5 9 ；所以第 45 項 89 位于 9 2 18 組的第 3 個數(shù)?！纠?30】 （ 2004 年第二屆“走進美妙的數(shù)學花園”中國青少年數(shù)學論壇趣味數(shù)學解題技能展示大賽四年級）黑板上寫有從1開始的一些連續(xù)奇數(shù)1、3 、5 、7 、9 、，擦去其中的一個數(shù)，剩下的所有的數(shù)之和為 2008 。請問擦去的那個奇數(shù)是多少？【分析】 設這些連續(xù)的正奇數(shù)一共有 n個（ n Z）如果沒有擦去，則黑板上所有正奇數(shù)的和為1 3 5 (2

38、n 1) n2n2(2 n 1) 2002 n21 ；所以 n ( n 2) 2001 ， n2 2003因為 43 45 1935 、 44 46 2024 ；所以 n 45 ；因為 4421936 、 4522025 ；所以 n 45 ；所以 n 45 ，這些連續(xù)的正奇數(shù)一共有 45 個。擦去的那個奇數(shù)為 4522008 17 ?！纠?31】 用完全相同的小立方體在墻角上。在墻角上擺1 層，有需要1 個小正方體（如 圖一所示）；在墻角上擺 2 層，有需要 4 個小正方體（如圖二所示）；在墻角上擺 3層，有需要 10 個小正方體（如圖三所示）；在墻角上擺 4層，有需要 15 個小正方體（如圖

39、四所示）；依次類推；如果要擺2009 層，最下面一層需要多少個小正 方體？總共需要多少個小正方體？【分析】 從上往下，第1圖一層需要1圖二圖三 個小正方體；第 2圖四 層需要1 2個小正方體；第 3 層需要1 2 3 個小正方體；第 4層需要1 2 3 4 個小正方體；第 2009 層需要 1 2 3 4 2009 (12009) 200922019045 個小正方體；133第 n 需要 1 2 3 4 n n( n 1) 2個小正方體（ n Z）。如 果 要 擺 2009 層 ， 需 1 (1 2) (12 3) (1 2 3 4) (12 3 4 2009)要1 2 2 3 3 4 4 5

40、 2 2 2 22009 2010 12 2 3 3 4 4 5 2 22009 20102009 (2009 1) (2009 2)321353433165 個小正方體；如 果 要 擺n層，需要1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 4 n)1 2 2 3 3 4 4 5 2 2 2 2n( n 1) 1 2 2 3 3 4 4 5 2 2n( n 1)n ( n 1)(n 2)n ( n 1)(n 2) 2 6個小正方體（ n Z）。【例 32】 （ 1999 年第八屆日本小學算術奧林匹克大賽高小組決賽第 6 題）從整數(shù) 1開始 不 改 變 順 序 相 加 ， 中

41、 途 分 為 兩 組 ， 使 各 組 的 和 相 等 。 如 1 2 3 ； 1 2 3 4 14 15 16 17 20 。請問：除上述兩例外，能夠列出這 樣的最短的整數(shù)算式是從1 到幾？【分析】 如圖1 所示，把所求整數(shù)用階梯圖表示，在分開的部分（等號的地方）用虛線表示；如圖 2所示，沿虛線將分開的部分折返。BC1A 111圖 2圖1中，設折返超出部分的長度 a圖2，剩余部分的長度為 b ；所以 S 1 2 a Aa (a 1) 2， S 1 3 B(2 b 1) b 2 ；因為 S S S SA C B C；所以 S SA Ba ( a 1) ，即 b22。因為 a、 a 1 相鄰；所以

42、 ( a , a 1) 1 ，即 a14、 a 1 互質(zhì)。所以 a、 a 1 中，奇數(shù)為完全平方數(shù)，偶數(shù)除以 2為完全平方數(shù)。1 12 ， 2 2 12 ，滿足條件，此時 a 1、 b 1 ， a b 2 ， a 2b 3 ， 為第 1 個例子： 1 2 3 ；9 32 ， 8 2 2 2 ，滿足條件，此時 a 8 、 b 6 ， a b 14 ， a 2b 20 ，為第 2個例子： 1 2 3 4 14 15 16 17 209 32、 10 不是完全平方數(shù)，不滿足條件；25 52， 24、 26 都不是完全平方數(shù)，不滿足條件；49 72， 48 不是完全平方數(shù)，不滿足條件；49 7 2 ，

43、50 2 52 ，滿足條件，此時a 49 、 b 35 ， a b 84 ， a 2b 119 ， 為所求答案： 1 2 3 84 85 86 119 ；除上述兩例外，能夠列出這樣的最短的整數(shù)算式是從1到119 ?！揪毩?】一課一練計算：1 3 6 8 11 13 16 18 101 103 106 108 _ 。【分析】 1、 6 、11、 106 構成一個公差為 5 的等差數(shù)列，3 、 8 、13 、 103 、108 構成一個公差為 5 的等差數(shù)列，所以可把原式分成兩部分來求和，每一部分都是 22項，1 6 11 101 106 (1106) (106 1) 5 121177 ，3 8

44、13 103 108 (3 108) (108 3) 5 121221 ；1 3 6 8 11 13 16 18 101 103 106 108(16 11 101 106) (3 8 13 103 108) 1177 1221 2398【練習2】 計(2 5 8 11 14 。算2006 2009) (1 3 5 7 ：127 129 131) _【分析】 (2 5 8 11 14 2006 2009) (1 3 5 7 127 129 131)(2 2009) (2009 2) 3 (1131)(1311) 2 12 2673685 4356 669329【練習3】 求 1到1000 這

45、1000 個數(shù)中不能被 7 整除的整數(shù)之和。個，【分析】由于1000 7 142 6 ，所以1 994 ，共 142到1000 中 7 的倍數(shù)有：7 ，14， 21， 28 ，這是一個首項為 7 ，公差為 7 的等差數(shù)列，我們可用等差數(shù)列求和公式求出這一列 數(shù)的和，再用 1到 1000 這1000 個數(shù)的和減去上述數(shù)列的和即可。由等差數(shù)列求和公式可知：7 14 21 994 (7 994) 142 2 71071 。又 1 2 3 4 5 1000 (1000 1) 1000 2 500500151【練習4】到 1000 中不能被 7 整除的整數(shù)之和為： 500500 71071 429429

46、 。計算： 25 26 12 13 27 28 14 15 35 36 22 23 _ ?！痉治觥孔⒁獾?25 ， 26 ， 27 ， 36 和12 ， 13 ，14 ， 23 都是公差為1 的等差數(shù) 列，所以可以分成兩組求和，即把加法中的等差數(shù)列結合，減法中的等差數(shù)列求和， （方法一） 25 26 12 13 27 28 14 15 35 36 22 23(25 26 27 28 29 30 35 36) (12 13 14 15 16 22 23)(25 36) 12 (12 23) 122 2156（方法二） 25 26 12 13 27 28 14 15 35 36 22 23 (25

47、 26 12 13) (27 28 14 15) (35 36 22 23)26 26 26 26 26 26 26 6 156【練習5】3 個連續(xù)的自然數(shù)，后面 2 個數(shù)的積與前面 2 個數(shù)的積的差是 114 ，那么這 3 個數(shù)中最小的是多少？【分析】 后 面 2個數(shù)的積與前面 2個數(shù)的積的差等于最大的數(shù)與最小的數(shù)的差與中間數(shù)的乘積；最大的數(shù)與最小的數(shù)的差為 2；所以中間數(shù)為 114 2 57 ；所以這 3 個數(shù)中最小的數(shù)為 57 1 56 。 【練習6】 在括號中填入數(shù)，使數(shù)列成為等比數(shù)列。5 、10 、（ ）、 40 、 80 、（ ）；5 、（ ）、 5 、 5 、 5 、（ ）?！痉?/p>

48、析】是公比為 2的等比數(shù)列， 5 、10 、（ 20 ）、 40 、 80 、（160 ）；是常數(shù)列（既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列），5 、（ 5 ）、 5 、 5 、 5 、（ 5 ）?！揪毩?】10 10 9 9 8 8 7 7 2 2 11 _ 。1【分析】 10 10 9 9 8 8 7 7 2 2 11 10 1121 3856【練習8】 （超常班，超常 3 班，超常 2 班，超常 1 班）計算：2000 1999 1999 1998 1998 1997 1997 1996 4 3 3 2 2 1 _ ?！痉治觥?2000 1999 1999 1998 1998 1997 1997 19

49、96 4 3 3 2 2 1 1999 (2000 1998) 1997 (1998 1996) 3 (4 2) 2 12 (1 3 5 7 9 1999) 2 (11999) 1000 2 2000000補充16【補充1】計算： (2009 20092009 200920092009 200920092009)(2010 20102010 201020102010 201020102009 個 20092010) 2010【分析】原式 (1 10001 100010001 100010002009 個 201010001) 2009(1 10001 100010001 10001000200

50、8 個10002008 個1000 10001) 2010 2010【補充2】 某班參加校運動會的19 名運動員的運動服號碼恰是119 號，這些運動員隨意 的站成一個圓圈，則一定有順次相鄰的某 3 名運動員，他們的運動服號碼數(shù)之和不 小于 32 ，請你說明理由?！痉治觥考僭O 19 個英文字母分別對應119 號。由于要證是相鄰的某 3 名運動員號碼數(shù)之和 不小于 32 ；所以可以把這些號碼每 3 個分成一組，然后求證。使用反證法。在圓周上按逆時針順序以1號為起點記運動服號碼為 a、 b 、 c、 d 、 e、 f 、 g、h 、 i、 j、 k 、l 、 m、 n、 o、 p、 q、 r、 s，

51、分別對應號碼119 ；令 a 1，A b c d ，A e f g ，A h i j ，A k l m ，A n o p ， 1 2 3 4 5A q r s ，6則 A A A b c s 2 3 4 19 189 。1 2 6假設他們運動服號碼之和小于 32 ，即 A 、A 、A 、 A 中每一個都不大于 31 ，1 2 3 6則 A A A 6 31 186 ，與 矛盾。所以 A 、A 、 A 、 A 中至少有一個大 1 2 6 1 2 3 6于 31 ?！狙a充3】 某班學生的學號順次編為1、2、3 、，現(xiàn)在將所有學生學號之和減去 3 ，得到的數(shù)正好是 100 的整數(shù)倍，已知學生學號之和

52、在 714 和1000 之間。請問這個 班有多少名學生？【分析】 設這個班有 n名學生（ n Z ），學 號 之 和 為 減 去 3 為1 2 3 4 5 n 3 3 4 5 n ( n 3)(n 2)2100 |( n 3)(n 2) ( n 3)(n 2)， 714 3 2 21000 3 ；所 以 200 | n( 3)(n 2)， 1422 ( n 3)(n 2) 1994 ； 所 以 ( n 3)(n 2) 1600或 1800因為 37 42 1554 、 38 43 1634 ；所以不存在 n Z使 ( n 3)(n 2) 1600 ；因為 40 45 1800 ；所以 n 42

53、 ，即這個班有 42名學生。【補充4】 （ 2009 年 4月11日第十四屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試題 A卷（小學組）第 8 題）已知 1 2 3 n （ n 2 ）的和的個位數(shù)為 3 ，十位數(shù)為 0 ，則n的最小值是 _ 。17【分析】 （方法一）因為 1 2 3 n n( n 1) 2的個位數(shù)為 3 ，十位數(shù)為 0 ；所以 n(n 1) 的個位數(shù)為 6 ； n的個位為 2或 7 ；經(jīng)試算7 (7 1) 12 (12 1) 17 (17 1) 22 (22 1)28 、 78 、 153 、 253 、 2 2 2 227 (27 1) 32 (32 1) 37 (37 1)378 、

54、 528 、 703 ； 2 2 2可得 n 37 。min（方法二）因為1 2 3 n 的個位數(shù)為 3 ，十位數(shù)為 0 ； 所以設1 2 3 n 100 x 3 （ x Z ）；所以 3 4 n (3 n)(n 2)2100 x ， (n 3)(n 2) 200 x因為 n 3 n 2(mod5) ， 200 x 0(mod5) ； 所以 n 3 n 2 0(mod5) ，即 5| n 2 、 5| n 3 ；設 n 2 5m ，則 n 3 5(m 1) （ m Z 5m 5( m 1) 200 x ， m( m 1) 8 x ；）；m、m 1 相鄰且為一奇一偶，令 x 7 ，m( m 1)

55、 7 8 ，m 7 ，n 5 7 2 37 ；所以 n的最小值為 37 。【補充5】 在 1、 2、 3 、 2011 這 2011 個自然數(shù)中選出若干個數(shù)，使選出的數(shù)中任意兩個數(shù)的和都不能被 3 整除，請問選出來的數(shù)的和最大是多少？【分析】 將 1 、 2 、 3 、 2011 這 2011 個自然數(shù)按被 3 除所得的余數(shù)分成 3 類： 能被 3整除的數(shù)有 3 、 6 、 9 、 2007 、 2010 ，共 (2010 3) 3 1 670 個；被 3 除所得的余數(shù)為1的數(shù)有1、4、7 、2008 、2011 ，共 2(01 1) 31671個；被 3 除所得的余數(shù)為 2 的數(shù)有 2 、5 、8 、2006 、2009 ，共209(2) 3 1670個。因為任意兩個能被 3 整除（被 3 除所得的余數(shù)為 0 ）的數(shù)的和能被 3 整除； 所以選出的數(shù)中最多有 1 個能被 3 整除（被 3 除所得的余數(shù)為 0 ）的數(shù)。因為任意一個被 3 除所得的余數(shù)為 1 和能被 3 整除；的數(shù)與任意一個被 3 除所得的余數(shù)為 2 的數(shù)的所以選出的數(shù)中不能同時存在被