2021-2022學(xué)年四川省綿陽(yáng)市壩底中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

1、2021-2022學(xué)年四川省綿陽(yáng)市壩底中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 已知三個(gè)平面，若，相交但不垂直，分別為內(nèi)的直線，則 參考答案：B2. 等比數(shù)列an中，前n項(xiàng)的和為Sn，已知a3=，則S6等于( )AB9或CD9或參考答案：B考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：分類討論：當(dāng)q=1時(shí)S6=9；當(dāng)q1時(shí)可得a1和q的方程組，解方程組代入求和公式可得解答：解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，當(dāng)q=1時(shí)，顯然滿足a3=，此時(shí)S6=6=9；當(dāng)q1時(shí)，可得a1q2=a3=，a1+a1q

2、+a1q2=S3=，解得a1=6，q=，S6=綜上可得S6等于9或故選：B點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的求和公式，涉及分類討論的思想，屬基礎(chǔ)題3. 若某一幾何體的正視圖與側(cè)視圖均為邊長(zhǎng)是1的正方形，且其體積為，則該幾何體的俯視圖可以是 （ ）參考答案：C4. 將函數(shù)y=sin（2x+）的圖象經(jīng)怎樣平移后所得的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）中心對(duì)稱（）A向左移B向左移C向右移D向右移參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換【分析】先假設(shè)將函數(shù)y=sin（2x+）的圖象平移個(gè)單位得到關(guān)系式，然后將x=代入使其等于0，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得到的所有值，再對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可【解答】解：假設(shè)將函數(shù)y=sin

3、（2x+）的圖象平移個(gè)單位得到y(tǒng)=sin（2x+2+）關(guān)于點(diǎn)（，0）中心對(duì)稱將x=代入得到sin（+2+）=sin（+2）=0+2=k，=+當(dāng)k=0時(shí)，=故選C5. 已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)且F1PF2=，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）ABC3D2參考答案：A【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；HR：余弦定理；KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【分析】根據(jù)雙曲線和橢圓的性質(zhì)和關(guān)系，結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)論【解答】解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為a，雙曲線的實(shí)半軸為a1，（aa1），半焦距為c，由橢圓和雙曲線的定義可知，設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2

4、c，橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2F1PF2=，由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）22r1r2cos，在橢圓中，化簡(jiǎn)為即4c2=4a23r1r2，即，在雙曲線中，化簡(jiǎn)為即4c2=4a12+r1r2，即，聯(lián)立得， =4，由柯西不等式得（1+）（）（1+）2，即（）=即，d當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，法2：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為a1，雙曲線的實(shí)半軸為a2，（a1a2），半焦距為c，由橢圓和雙曲線的定義可知，設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2F1PF2=，由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）22r1r2cos=（r1）2+（r2）2r1

5、r2，由，得，=，令m=，當(dāng)時(shí)，m，即的最大值為，法3：設(shè)PF1|=m，|PF2|=n，則，則a1+a2=m，則=，由正弦定理得=，即=sin（120）=故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，利用余弦定理和柯西不等式是解決本題的關(guān)鍵難度較大6. 已知等差數(shù)列an滿足a2+a4=4，a3+a5=10，則它的前10項(xiàng)的和S10=（）A. 138 B. 135 C. 95 D. 23參考答案：C略7. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）AB5CD6參考答案：A【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積【分析】由三視圖可知幾何體是由直三棱柱和四棱錐組合而成，由三視圖求出幾何元素的長(zhǎng)度

6、，由分割法、換底法，以及柱體、錐體的體積公式求出幾何體的體積，【解答】解：由三視圖可知幾何體是由直三棱柱ABDAFG和四棱錐CBDGF組合而成，直觀圖如圖所示：直三棱柱的底面是一個(gè)直角三角形，兩條直角邊分別是1、2，高是2，幾何體的體積V=V三棱柱ABDEFG+V四棱錐CBDGF=V三棱柱ABDEFG+V三棱錐CDFG+V三棱錐CBDF=V三棱柱ABDEFG+V三棱錐FCDG+V三棱錐FBDC=2+=，故選：A8. 拋物線按照向量平移后，其頂點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，則的值為A.2 B.3 C.4 D.5參考答案：答案:B9. 由直線x=1，x=2，曲線及x軸所圍圖形的面積為（ ）ABCln2 D

7、參考答案：C10. 已知，若恒成立，則的取值范圍是（ ）A B C D參考答案：C二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 如圖，已知是的直徑，是的切線，過(guò)作弦，若，則 參考答案：12. 設(shè)為平面內(nèi)一些向量組成的集合,若對(duì)任意正實(shí)數(shù)和向量,都有,則稱M為“點(diǎn)射域”.現(xiàn)有下列平面向量的集合:；上述為“點(diǎn)射域”的集合的有_（寫正確的標(biāo)號(hào)）參考答案：略13. 設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為_(kāi)參考答案：(x-1)2+y2=4.【分析】由拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，即圓心，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離即半徑，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】拋物線y2=4x中，2P=4，

8、P=2，焦點(diǎn)F（1,0），準(zhǔn)線l的方程為x=-1，以F為圓心，且與l相切的圓的方程為 (x-1)2+y2=22,即為(x-1)2+y2=4.14. （1）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y2-2x=0，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立積坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為_(kāi)?！久}立意】本題考查參數(shù)方程，考查極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化。【解析】因?yàn)?，所以代入直角坐?biāo)方程整理得，所以，即極坐標(biāo)方程為。參考答案：因?yàn)?，所以代入直角坐?biāo)方程整理得，所以，即極坐標(biāo)方程為?！敬鸢浮?5. 方程x21=ln|x|恰有4個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x

9、4= 參考答案：0【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷【分析】根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，判斷函數(shù)的奇偶性，利用奇偶性的對(duì)稱性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【解答】解：設(shè)f（x）=x21，g（x）=ln|x|，則函數(shù)f（x）與g（x）都是偶函數(shù)，若方程x21=ln|x|恰有4個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，x4，則這4個(gè)根，兩兩關(guān)于y軸對(duì)稱，則x1+x2+x3+x4=0，故答案為：016. 若定義在m，m（m0）上的函數(shù)f（x）=+xcosx（a0，a1）的最大值和最小值分別是M、N，則M+N= 參考答案：6【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義【分析】f（x）可化為3+xcosx，令g（x

10、）=+xcosx，則f（x）=g（x）+3，根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得g（x）在1，1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得【解答】解：函數(shù)f（x）=+xcosx（1x1）=3+xcosx，令g（x）=+xcosx，則f（x）=g（x）+3，因?yàn)間（x）=xcos（x）=xcosx=g（x），且x1，1，所以g（x）在1，1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即為奇函數(shù)，因?yàn)閒（x）和g（x）單調(diào)性相同，所以f（x）取到最大值M時(shí)，相對(duì)應(yīng)的x下的g（x）也取最大值M3，同理f（x）有最小值m時(shí)，g（x）也取最小值N3，g（x）最大值M=M3，最小值N=N3，因?yàn)間（x）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱可得所以（M3）+（N3）=0，所

11、以M+N=6故答案為：617. 已知F1、F2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，從F1引F1PF2的外角平分線的垂線，交F2P的延長(zhǎng)線于M，則點(diǎn)M的軌跡方程是_參考答案：略三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18. （本小題滿分14分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，（1）求證：平面平面；（2）若二面角為，設(shè)，試確定 的值參考答案：（1）見(jiàn)解析；（2） 【知識(shí)點(diǎn)】平面與平面垂直的證明; 實(shí)數(shù)的取值G10 G11解析：（1）證法一：ADBC，BC=AD，Q為AD的中點(diǎn)，四邊形BCDQ為平行四邊形，CDBQ 1分A

12、DC=90，AQB=90，即QBAD 2分又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，4分BQ平面PAD 5分BQ?平面PQB，平面PQB平面PAD 6分證法二：ADBC，BC=AD，Q為AD的中點(diǎn)，四邊形BCDQ為平行四邊形，CDBQ 1分ADC=90AQB=90，即QBAD 2分PA=PD，PQAD 3分PQBQ=Q ， 4分AD平面PBQ 5分AD?平面PAD，平面PQB平面PAD 6分（2）法一：PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，PQAD面PAD面ABCD，且面PAD面ABCD=AD，PQ面ABCD7分如圖，以Q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系則平面BQC的法向量為；8分，設(shè)，則，9分

13、,，10分在平面MBQ中，平面MBQ法向量為12分二面角為30，得14分法二：過(guò)點(diǎn)作/交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槊?所以面，由三垂線定理知，則為二面角的平面角。9分（沒(méi)有證明扣2分）設(shè)，則，10分，且三線都共面，所以/， 11分在中，13分 解得 14分【思路點(diǎn)撥】（）法一：由ADBC，BC=AD，Q為AD的中點(diǎn)，知四邊形BCDQ為平行四邊形，故CDBQ由ADC=90，知QBAD由平面PAD平面ABCD，知BQ平面PAD由此能夠證明平面PQB平面PAD法二：由ADBC，BC=AD，Q為AD的中點(diǎn)，知四邊形BCDQ為平行四邊形，故CDBQ由ADC=90，知AQB=90由PA=PD，知PQAD

14、，故AD平面PBQ由此證明平面PQB平面PAD（）由PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，知PQAD由平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，知PQ平面ABCD以Q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能夠求出t=319. （本小題滿分10分）選修45：不等式選講已知,不等式的解集為.(1)求；(2)當(dāng)時(shí),證明:.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】不等式的證明；帶絕對(duì)值的函數(shù)N4（1）；（2）見(jiàn)解析解析：（1）解不等式： 或 或或或，. （2）需證明：，只需證明，即需證明。證明： ，所以原不等式成立.【思路點(diǎn)撥】（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)，再利用f（x）4，即可求得M；（2）利用作差法，證明4（a+b）2

15、（4+ab）20，即可得到結(jié)論 20. 某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個(gè)矩形綜合性休閑廣場(chǎng)，其總面積為3000平方米，其中場(chǎng)地四周（陰影部分）為通道，通道寬度均為2米，中間的三個(gè)矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地（其中兩個(gè)小場(chǎng)地形狀相同），塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地占地面積為平方米.(1）分別寫出用表示和用表示的函數(shù)關(guān)系式（寫出函數(shù)定義域）；(2）怎樣設(shè)計(jì)能使S取得最大值，最大值為多少？參考答案：（）由已知=3000 , ，則=()=3030-2300=2430當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，“”成立，此時(shí) .即設(shè)計(jì)x=50米，y=60米時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地面積最大，最大值為2430平方米. 21. 已知函

16、數(shù)f（x）=x1+（aR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線平行于x軸，求a的值；（）求函數(shù)f（x）的極值；（）當(dāng)a=1的值時(shí)，若直線l：y=kx1與曲線y=f（x）沒(méi)有公共點(diǎn)，求k的最大值參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【分析】（）依題意，f（1）=0，從而可求得a的值；（）f（x）=1，分a0時(shí)a0討論，可知f（x）在（，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+）上單調(diào)遞增，從而可求其極值；（）令g（x）=f（x）（kx1）=（1k）x+，則直線l：y=kx1與曲線y=f（x）沒(méi)有公共點(diǎn)?方程g（x）=0在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，

17、分k1與k1討論即可得答案【解答】解：（）由f（x）=x1+，得f（x）=1，又曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線平行于x軸，f（1）=0，即1=0，解得a=e（）f（x）=1，當(dāng)a0時(shí)，f（x）0，f（x）為（，+）上的增函數(shù)，所以f（x）無(wú)極值；當(dāng)a0時(shí)，令f（x）=0，得ex=a，x=lna，x（，lna），f（x）0；x（lna，+），f（x）0；f（x）在（，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+）上單調(diào)遞增，故f（x）在x=lna處取到極小值，且極小值為f（lna）=lna，無(wú)極大值綜上，當(dāng)a0時(shí)，f（x）無(wú)極值；當(dāng)a0時(shí)，f（x）在x=lna處取到極小值lna，無(wú)極大值（）當(dāng)

18、a=1時(shí)，f（x）=x1+，令g（x）=f（x）（kx1）=（1k）x+，則直線l：y=kx1與曲線y=f（x）沒(méi)有公共點(diǎn)，等價(jià)于方程g（x）=0在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解假設(shè)k1，此時(shí)g（0）=10，g（）=1+0，又函數(shù)g（x）的圖象連續(xù)不斷，由零點(diǎn)存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，與“方程g（x）=0在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解”矛盾，故k1又k=1時(shí)，g（x）=0，知方程g（x）=0在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，所以k的最大值為122. （12分）已知橢圓的離心率為，且短軸長(zhǎng)為，是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，若直線過(guò)，傾斜角為,交橢圓于兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）求的周長(zhǎng)與面積.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】橢圓及其幾何性質(zhì)H5【答案解析】（1） （2）8；（1）離心率為，且短軸長(zhǎng)為2，解得：c2=，a2=6，b2=3，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1；