大象群落的穩(wěn)定發(fā)展

1、2004-2005 第二學(xué)期數(shù)學(xué)模型課程設(shè)計2005年6月20日6月24日題目大象群落的穩(wěn)定發(fā)展組員1組員2組員3姓名學(xué)號專業(yè)成績本文基于偷獵被禁止，1歲到60歲的存活率相同，60到70的存活率與年齡 成線性關(guān)系以及避孕藥的注射假設(shè)，建立了象群數(shù)目的差分方程模型。首先根據(jù)母象3.5年產(chǎn)一頭小象求出象群的生育率（1+1.35%）/3.5,然后根據(jù)已知寫出本模 型的Leslie（元素中含有未知變量s,即1到60歲象的存活率）。然后在0.95到1 之間搜索的值，搜索的方法是：對每一個搜索值確定的Leslie矩陣模擬出象群的 當(dāng)前數(shù)目，如果象群移出數(shù)目在 600到800之間，既說明該s符合標(biāo)準(zhǔn)。下一步

2、 就要確定象群當(dāng)前的年齡結(jié)構(gòu)，這要通過遞推關(guān)系和Leslie矩陣的性質(zhì)可求出各 年齡段的比值關(guān)系。而注射避孕藥的象的數(shù)目基于等式新出生并存活下來幼象的 數(shù)目=死亡的象的數(shù)目，在有移出象的情況下，等式變?yōu)樾鲁錾⒋婊钕聛碛紫?的數(shù)目=死亡的象的數(shù)目+移出數(shù)目，即可求出所求。在有災(zāi)難時，首先估計死 亡的象的數(shù)目，然后根據(jù)地推關(guān)系模擬災(zāi)難后向群數(shù)目的變化，然后觀察象群的恢復(fù)能力。一.問題重述位于非洲某國的國家公園中棲息這近 11000頭象。管理者要求有一個健康穩(wěn) 定的環(huán)境一邊維持這個11000頭象的穩(wěn)定群落。管理者逐年統(tǒng)計了象的數(shù)量，發(fā) 現(xiàn)在過去的20年中，整個象群經(jīng)過一些偷獵槍殺以及轉(zhuǎn)移到外地還能

3、保持在 11000頭的數(shù)量，而其中每年大約有近 600頭到800頭是被轉(zhuǎn)移的。近年來，偷獵被禁止，并且每年要轉(zhuǎn)移這些象也比較困難，因此，要控制現(xiàn) 在的數(shù)量就使用了 一種避孕注射法。用這種方法注射一次可以使得一頭成熟母象 在兩年內(nèi)不會受孕。目前在公園中已經(jīng)很少發(fā)生移入和移出象的情況。 象的性別比也非常接近于 1:1,且采取了措施精良維持這個性別比。新生的幼象的性別比也在 1: 1左右。 而雙胞胎的機會接近于1.35%。母象在10歲和12歲之間將第一次懷孕，平均每 3.5年產(chǎn)下一個幼象，直到 60歲左右為止。每次懷孕期為22個月。注射避孕藥會使母象每月發(fā)情，但不會 懷孕。象通常在3.5年中僅僅求偶

4、一次，所以這種注射不會引起其它附加的反應(yīng)。新生的幼象中只有70%到80%可以活到1歲。但是其后的存活率很高，要超 過95%,并且這個存活率對各個年齡段都是相同的，一直到 60歲左右。假定象 的最高年齡是70歲，由于在這個公園里不可以狩獵，偷獵也微乎其微。公園有一個近兩年內(nèi)從這個地區(qū)運出的象的大致年齡和性別的統(tǒng)計(見表)。但是沒有這個公園里的被射殺的和被留下的象的任何可用的數(shù)據(jù)。現(xiàn)在的任務(wù)是：(1)探討年齡在2歲到60歲之間的象的合理的存活率的模型，推測這個大 象群落的當(dāng)前的年齡結(jié)構(gòu)。(2)估計每年有多少母象要注射避孕藥，可以使象群固定在11000頭左右。這里不免有些不確定性，也要估計這種不確定

5、性的影響。(3)假如每年轉(zhuǎn)移50頭到300頭象到別處，那么上面的避孕措施將可以有 怎樣的改變？(4)如果由于某種原因，突然使得注射避孕的方法不得不停止(例如由于一場災(zāi)難導(dǎo)致大量象的死亡)，那時重新壯大象群的能力如何？(5)其它可以討論的問題。前一年的情況前兩年的情況年齡象的 頭數(shù)母象 頭數(shù)年齡象的 頭數(shù)母象 頭數(shù)年齡象的 頭數(shù)母象 頭數(shù)年齡象的 頭數(shù)母象 頭數(shù)10031301003113720032522201032161230033853211233136432341234133341065413510451253510067236316134361287201037737224371658

6、923814281473812291573910094021391041093401612101484012611221241211111261041191012314213412131042137132313431061314443241014524412414271244171015136456415314516416211046321614346251217004760171284712318221248931820104845231914649132192511492312205450104201714503410211375131211410511392210552642210752

7、16423005321112300531042413554156242054177253012554125305513326146561342642561362712557105274257123280058321228315832292010591482921592211306560003030602010二.符號說明. Xi(t)表示第t年第i年齡段的象的數(shù)量6表示第i年齡段的存活率d表示第i年齡段的死亡率m(t)表示第t年運出象的數(shù)目.模型假設(shè)及說明.公園中狩獵和偷獵現(xiàn)象已被完全禁止，大象的死亡均為自然死亡.每年大約有近600頭到800頭是被轉(zhuǎn)移的，假設(shè)每年有 700頭運出，即 m(t)

8、=700.象群的性別比例為1:1,新生的幼象的性別比例也為1:1.母象生出雙胞胎的機率為1.35%.母象在10歲和12歲之間將第一次懷孕，假設(shè)均為11歲開始懷孕.從10歲到60歲，每頭母象的生育率相同.新生的幼象中只有70%到80%可以3S到1歲，假設(shè)為75%即包=0.75. 1歲到60歲之間各個年齡段的存活率相同，s = = s2 = S3 = HI = s60 A 95%. 60歲到70歲之間各個年齡段的存活率隨年齡的增大而遞減，不妨設(shè)在該年齡段存活率與年齡成線性關(guān)系，70歲的存活率為零.給11到60歲母象注射避孕藥是隨機的，且不給懷孕的和在兩年內(nèi)注射 過的母象注射.假設(shè)轉(zhuǎn)移出的大象性別比

9、為1:1,且轉(zhuǎn)移象不會影響象群的生育率和死 亡率.模型建立及求解(1)由假設(shè)2 3 4可得：*呼根據(jù)假設(shè) 8 可設(shè) s =k(i-60)+m,i =60,61*1,70t口 Jk(60-60) m = s由 Sso =s,s70 =0,即，k(70-60) m = 0可解得:m = sk10s所以 s = (i -60) +s,i =60,61,1117010令X(t尸x 0(t),x i(t),x2(t)JH,X70(t)Tb0 b1 |l| b 69b 7 0 TOC o 1-5 h z s0000L= 10sl工！;，其中:二00*fr-00HIs700_1 1.35%bi =0,i =

10、0,1,|l|10,61，川 70;bj =,j =11,121H,602 3.5X(t) = LX(t -1)L為Lesliej矩陣設(shè)其正的特征根為 九（象群的固有增長率），即 X (t +1) = Kx (t),70、xi(t 1)則一鼻x(t)i =07070,其中xi(t 1)=xi(t) +m(t)70Z xi(t) =11000，所以兒=i =011000 70011000= 1.063i =0i=0在0.95到1之間搜索s的值，用幕法求解L的特征值驗證s是否合理，用C變成 如下：#includeint a71;int i;float s;float b=0.29;void chu

11、shi()for(i=0;i71;i+)ai=1100/7;void change()a0=0;for(i=11;i60;i-)ai=ai-1*(7.1-0.1*i)*s;for(i=60;i1;i-)ai=ai-1*s;a1=0.75*b*a0/2;void change1() (float c,e;a0=0;for(i=1;i71;i+) a0=a0+ai;e=11000.0;c=e/a0;for(i=1;i71;i+) ai=c*ai; ) void main() int j,d=0;for(s=0.95;s1;s=s+0.01) chushi();for(j=1;j100;j+) ch

12、ange(); change1();) change(); for(i=1;i71;i+) d=d+ai;d=d-11000;printf(s=% d=f%dn,s,d);) s=0.950000 d=16 s=0.960000 d=154 s=0.970000 d=361 s=0.980000 d=405 s=0.990000 d=670 s=1.000000 d=890所以當(dāng)s=0.99時，運出的數(shù)目與實際交吻合，所以認(rèn)為 s=0.99當(dāng) 2 i E60 時，x(t +1)=M且x (t +1) = sx口則為 /x(t) = s/人=0.95當(dāng) 6060 x(k)=(s-s/10*(k-60)*x(k-1);k=k-1;endwhile k1x(k)=s*x(k-1);k=k-1;endx(1)=0; for k=11:60 x(1)=x(1)+(1+0.0135)/(2*3.5)*x(k+1)/s*0.75;endfor k=1:70m(i)=m(i)+x(k);endend災(zāi)難發(fā)生后的 年數(shù)12345678910象的數(shù)目436145944837508853485619590