2021上資格證數(shù)學(xué)科目三-理論精講-高等代數(shù)3-1.19晚-高峰

1、2021教師資格證數(shù)學(xué)科目三高等代數(shù)3主講：高峰第二節(jié) 向量一 向量的概念二 向量組的線性相關(guān)性初中高中2017年上：102018年下：52017年上：102018年下：52019年下：5Lorem ipsum dolor sit amet2020年下：3一、向量的概念（一）n維向量P153二、向量組的線性相關(guān)性 = ， = ， = 01230（一）向量組的概念P154二、向量組的線性相關(guān)性（一）向量組的概念P154選+簡（二）向量組的線性相關(guān)性和最大線性無關(guān)向量組P154選+簡（二）向量組的線性相關(guān)性和最大線性無關(guān)向量組P154選+簡（二）向量組的線性相關(guān)性和最大線性無關(guān)向量組 1 1 0

2、例1： = 0 ， = 0 ， = 0 ； 123 -101 0 1 0 例 2： = 1 ， = 0 ， = 0 ； 123 00-3 P155選+簡（二）向量組的線性相關(guān)性和最大線性無關(guān)向量組 1 1 0 例1： = 0 ， = 0 ， = 0 ； 123 -101 0 1 0 例 2： = 1 ， = 0 ， = 0 ； 123 00-3 P155P155P155選+簡考點(diǎn)求向量組的相關(guān)性的步驟a b m 111 abm 設(shè)有個(gè)維向量，=, =,2 22 12 abm nnn選+簡（二）向量組的線性相關(guān)性和最大線性無關(guān)向量組 5 4 9 5 8 7 5例：P155選+簡考點(diǎn)：求最大線性無

3、關(guān)組()m(1)構(gòu)造A = , ,12()m(2)對(duì)A作初等行變換，化為行階梯型B= , ,12(3)在B的每個(gè)臺(tái)階上取第一個(gè)非零元所在列的對(duì)應(yīng)向量，構(gòu)成向量組 , ,12r( 4) , ,r即為向量組 1 2m的一個(gè)極大線性無關(guān)組。12 5 4 9 5 8 7 5 0 6 0 0 8 60 0 4 0 6 0 0 8 60 0 0 0 0找一個(gè)向量組極大無關(guān)組技巧：非零行第一個(gè)非零元所在的列對(duì)應(yīng)的向量P155P155P155P155P156找一個(gè)向量組極大無關(guān)組技巧：非零行第一個(gè)非零元所在的列對(duì)應(yīng)的向量選（二）向量組的線性相關(guān)性和最大線性無關(guān)組4. 向量組的秩向量組的最大線性無關(guān)組所含向量的

4、個(gè)數(shù)稱為向量組的秩，記向量組A: 1， ， ， 的秩為R ，則R =R（ ， ， ， ）。2AA12矩陣A的秩=非零子式的最高階數(shù)矩陣A行向量組的秩矩陣A列向量組的秩有效方程的個(gè)數(shù)。P156選（三）線性組合 1 0 0 1 例 ： A: = 0 ， = 1 ， = 0 ， b= 1 123 00 2 2 P156選（三）線性組合P156P157P157選（三）線性組合P156總結(jié)第三節(jié) 線性方程組一 線性方程組的分塊表示二 線性方程組的解特征值與特征向量相似矩陣三四初中高中2016年下：5，102017年上：62018年上：42019年上：62019年下：52020年下：11年下：5，10年上

5、：6201620172018年上：4Lorem ipsum dolor sit amet2019年上：62020年下：11一、線性方程組的分塊表示P158二、線性方程組的解P158考點(diǎn)：（一）齊次線性方程組的解1.解的情況2.求解3.解的性質(zhì)P158選（一）齊次線性方程組的解P159(1 )x + x = 012補(bǔ)充例題 取何值時(shí)，齊次方程組 有非零解（）x 2x = 0122332ABC1D-1（一）齊次線性方程組的解2. 基礎(chǔ)解系P159（一）齊次線性方程組的解2. 基礎(chǔ)解系P159簡（一）齊次線性方程組的解3. 齊次線性方程組的解法 將系數(shù)矩陣 A 化成行階梯形矩陣 化成行最簡形矩陣，判

6、斷其是否有非零解。 若有非零解，確定齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有的向量個(gè)數(shù) n-R（A）; 寫出同解方程組，給定自由未知數(shù)的值，求出其他解； 寫出其解:齊次線性方程組的通解可以表示成基礎(chǔ)解系的“線性組合”：通解形式 P159P160P160 6 5 0 5； 0 0 4 00 0 4 0+ 3 + 解：A= + 1 ； 0 0 00 0 0 0+ 1 0 0 0 00 0 0 0 = 12R(A)=2，基礎(chǔ)解系中含有4-2=2個(gè)解向量，同解方程組為3 = 000令 = ， = 0，則 = 所以 =，令 = 0， = ，則 =2112100123000所以2 =，所以方程的基礎(chǔ)解系：= 1 20

7、P160 0 40 0 0 0 0考一考： 若未知數(shù)個(gè)數(shù)為4，若系數(shù)矩陣為，基礎(chǔ)解系的解向量為多少個(gè)？同解方程組是什么？通解是什么？ 0 40 0 0 0 0解：A= = 413R(A)=24，基礎(chǔ)解系中含有4-2=2個(gè)解向量，同解方程組為 = 230令 = ， = 0，則 = ， = ,所以 =，312140令 = 0， = ，則 = 4, = ,所以 =，3122123040所以方程的通解為：= 1 2， ， .1 2P1600選+簡（一）齊次線性方程組的解4. 齊次線性方程組解的性質(zhì)P160選+簡（一）齊次線性方程組的解5. 解空間P160選+簡（一）齊次線性方程組的解5. 解空間P16

8、1P161P161考點(diǎn)：1.解的情況2.求解3.解的性質(zhì)（二）非齊次線性方程組的解1. 定義P161選（二）非齊次線性方程組的解 , = 0 0 0 0 , = 0 0 0 0 , = 0 0 0 0 0P161（二）非齊次線性方程組的解2. 通解P162簡（二）非齊次線性方程組的解3. 非齊次線性方程組的解法第一步：將增廣矩陣B=(A, b)化成行階梯形矩陣，判斷其是否有解。第二步：若有解，化成行最簡形矩陣，寫出同解方程組；第三步：賦值得到基礎(chǔ)解系與特解；，2為任意常數(shù))1第四步：寫出通解 = (1 12 2，2為任意常數(shù))，不帶參1非齊次線性方程組解的通解具有形式x= (1 12 2數(shù)部分 是非齊次方程組的一個(gè)解；帶參數(shù)部分 的兩個(gè)向量構(gòu)成對(duì)應(yīng)齊次1 12 2方程的通解。P162 4 4 5 9 8 0B= , =P163P163解：對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換 ； 0 4 6 7 0 4 6 7 + 3 + 1 B= 4 4 5 9 8 0 5 7 0 4 40 0 0 0 0 0 + ； + 1 4 4 7 0 4 40 0 0 0 0R(A)=R(A, b)=2，方程組有解，同解方程組為3333 = 1323123，它的一個(gè)特解為 =基礎(chǔ)解系為1 =，2 = = 23223 = 03 = 0331232311，所以通解= 1 2+ 2000000P