知識講解-《平面向量》全章復(fù)習(xí)與鞏固-提高

1、平面向量全章復(fù)習(xí)與鞏固編稿：孫永釗審稿：王靜偉【學(xué)習(xí)目標(biāo)】平而向戢的實(shí)際背景及基本概念通過力和力的分析等實(shí)例，了解向量的實(shí)際背景，理解平而向屋和向量相等的含義，理解向量的幾何 表示：向量的線性運(yùn)算（1）通過實(shí)例，掌握向疑加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義：（2）通過實(shí)例，掌握向呈:數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線的含義：（3）了解向雖的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義.平而向量的基本立理及坐標(biāo)表示（1）了解平而向量的基本泄理及其意義：（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；（3）會用坐標(biāo)表示平而向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算：（4）理解用坐標(biāo)表示的平而向量共線的條件.平而向量的數(shù)量積（1）通過物

2、理中功等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及苴物理意義：（2）體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系：（3）掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平而向量數(shù)量積的運(yùn)算：（4）能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.向雖的應(yīng)用經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平而幾何問題、力學(xué)問題與苴他一些實(shí)際問題的過程，體會向量是一 種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力.【知識網(wǎng)絡(luò)】應(yīng)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：向量的有關(guān)概念向重：既有大小又有方向的量叫做向量向量的大小叫向量的模(也就是用來表示向量的有向線段的長度).向量的表示方法：字母表示法：如a,b,c,等.幾何表示法：用

3、一條有向線段表示向疑.如麗，麗等.坐標(biāo)表示法：在平而直角坐標(biāo)系中，設(shè)向雖:丙的起點(diǎn)0為在坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)A坐標(biāo)為(兀,y),貝9 (x,y)稱為OA的坐標(biāo),記為OA二(兀,y).相等向量：長度相等且方向相同的向量向量可以自由平移，平移前后的向量相等兩向量2與厶相等，記為a = b.零向量：長度為零的向量叫零向量.零向量只有一個(gè)，苴方向是任意的.單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量單位向呈:有無數(shù)個(gè)，每一個(gè)方向都有一個(gè)單位向量.共線向量：方向相同或相反的非零向量，叫共線向量任一組共線向量都可以移到同一直線上規(guī)立：6與任一向 量共線.注：共線向量又稱為平行向量.相反向量：長度相等且方向相反的向量.要點(diǎn)二

4、、向量的運(yùn)算運(yùn)算定義運(yùn)算圖形語言符號語言坐標(biāo)語言加法與減法BrOAOB = OCOB -OA = AB記 OA 二（xi, yj, OB 二（x“ y3）則 0A +OB = （xi+xs, yi+ys）OB-0A- （xcxi, y：-yi）頁+歷二亦實(shí)數(shù)與向量的乘積才A用?BAB = Aa幾wR記 a 二（x, y）則2a =（2as Ay）兩個(gè)向量的數(shù)量積Qb= a b cos（仏b）記& =（知必）/ =（心力）T T則 & b =XiX2+yiys運(yùn)算律（d + ）+ c = a + （Z? + c）（結(jié)合律）加法：TTTfa b 二 b a ；（2g）/?二 a（/lb）二幾（a+

5、b）c 二 gc+c運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論（1）平而向量基本定理：如果玄,&是同一平而內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對于這個(gè)平面內(nèi)任一向量2,有且只有一對實(shí)數(shù)人，人，使a = + ,稱人石+心云為石,&的線性組合.其中石，&叫做表示這一平而內(nèi)所有向量的基底；平而內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量&的方向分解為兩個(gè)向量的和，并且這種分解是唯一 的.當(dāng)基底石,&是兩個(gè)互相垂直的單位向量時(shí)，就建立了平而直角坐標(biāo)系，因此平而向量基本定理實(shí)際 上是平而向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，左義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x, y),則OA = (x, y)：當(dāng)向雖:起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，向量忑坐

6、標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若 A(xi, yj, B(x2 y3) 則 AB = (x3-Xi,兀-刃)兩個(gè)向量平行的充要條件符號語言：a/ba = Ab(bO)坐標(biāo)語言為：設(shè)非零向M =(X),)?!)= (x,y2) 則 a /? O(X1, yj = 2 (x:, y=),或 xy-xypO.兩個(gè)向量垂直的充要條件符號語言:a丄b o ab = 0坐標(biāo)語言:設(shè)非零向M = (xp?(),/? = (x2,y2) 則 a 丄 b xxx2 + yy2 =0(求線段的長度);:丄ba-b=0 (垂直的判斷):兩個(gè)向量數(shù)量積的重要性質(zhì):cos 0 =(求角度).a b要點(diǎn)詮釋：向量的線性運(yùn)算

7、在正確掌握向量加法減法運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進(jìn)行向量的計(jì)算，將數(shù)和形有機(jī)結(jié)合，并能 利用向量運(yùn)算完成簡單的幾何證明；向戢的加法表示兩個(gè)向量可以合成，利用它可以解決有關(guān)平而幾何中的問題，減法的三角形法則應(yīng) 記?。哼B接兩端(兩向量的終點(diǎn))，指向被減(箭頭指向被減數(shù))記清法則是靈活運(yùn)用的前提.共線向量與三點(diǎn)共線問題向量共線的充要條件實(shí)質(zhì)上是由實(shí)數(shù)與向量的積得到的通常用來判斷三點(diǎn)在同一條直線上或兩直線 平行該左理主要用于證明點(diǎn)共線、求系數(shù)、證直線平行等題型問題.用向量證明幾何問題的一般思路：先選擇一組基底，并運(yùn)用平而向量基本定理將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向 量的運(yùn)算來證明.向量在幾何中的

8、應(yīng)用：證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的充要條件all h a = A b(b 0) (xi yj 二幾(xz, yj證明垂直問題，常用垂直的充要條件T T T Ta 丄 b o aZ? = 0 0 xxx2 + yy2 =0ah求夾角問題，利用I4H求線段的長度，可以利用1:1=一州)+(2【典型例題】類型一：平面向量的概念例1給出下列命題：若A, B, C, D是不共線的四點(diǎn)，則而=反是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件:若b=c, Wa=c；萬“的充要條件是Q二b且萬/若a/b9 b/c, Kija/c；其中正確的序號是.設(shè)a()為單位向量，若“為平而內(nèi)的某個(gè)向量，

9、則。=a “ ；若。與a。平行，則a =若方與石平行且 =1,則方=石上述命題中，假命題個(gè)數(shù)是()A. 0B. 1C. 2D. 3【思路點(diǎn)撥】利用平而向量的相關(guān)基本概念和基本知識進(jìn)行判斷?！窘馕觥坎徽_兩個(gè)向量的長度相等，但它們的方向不一泄相同:正確； AB = DC四邊形= DC. I AB 1=1 DC I且麗萬又A, B. C, D是不共線的四點(diǎn)，Z.ABCD為平行四邊形；反乙 若四邊形ABCD為平行四邊形，則而 DC KAB=DC.因此，AB正確； d=b, A a,乙的長度相等且方向相同：又b=c. A b, 0的長度相等且方向相同， d, E的長度相等且方向相同，故0.不正確：當(dāng)d

10、/b且方向相反時(shí)，即使丨&二幣，也不能得到&莎，故d= b且d/b不是&二b 的充要條件，而是必要不充分條件：不正確：考慮=0這種特殊情況：綜上所述，正確命題的序號是.(2)向量是既有大小又有方向的量，。與“5模相同，但方向不一左相同，故(1)是假命題：若與山 平行，則方與石方向有兩種情況：一是同向二是反向，反向時(shí)方=閆石，故(2)、(3)也是假命題.綜 上所述，答案選D.【總結(jié)升華】本例主要復(fù)習(xí)向量的基本概念向疑的基本槪念較多，因而容易遺忘為此，復(fù)習(xí)時(shí)一方 面要構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)，另一方而要善于與物理中、生活中的模型進(jìn)行類比和聯(lián)想向量的概念較多， 且容易混淆，故在學(xué)習(xí)中要分淸，理解各槪念的實(shí)

11、質(zhì)，注意區(qū)分共線向量、平行向呈:、同向向雖:等概念.舉一反三：【變式】判斷下列各命題正確與否：0-=0；o-a = o；若a=a-c ,則b = c 若ab=acf則bc當(dāng)且僅當(dāng)5 = 6時(shí)成立:(ab)c=abc)對任意N 恥 向量都成立;對任意向量五,有a2=d.【解析】錯；(2)對；(3)錯：錯：錯：對.【總結(jié)升華】通過該題我們淸楚了向量的數(shù)乘與數(shù)量積之間的區(qū)別與聯(lián)系，重點(diǎn)淸楚02為零向量, 而為零.類型二：平面向量的運(yùn)算法則ECD例2如圖所示，已知正六邊形ABCDEF, 0是它的中心，若亦二BC=b,試用乳乙將向雖:呢，BF , BD. FD表示出來.【思路點(diǎn)撥】根拯向量加法的平行四邊

12、形法則和減法的三角形法則，用向量，乙來表示英他向量， 只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可.【解析】因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形，所以它的中心0及頂點(diǎn)A, B, C四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形ABCO,所以BA + BC = BA + AO = Bd, BOa+b OE= BO=d+b ,由于A, B, 0, F四點(diǎn)也構(gòu)成平行四邊形ABOF,所以BF = BO+ OF =BO + BA=d-b+d=2(i+b , 同樣在平行四邊形 BCDO 中，BD = BC + CD = BC + W = b + ( a + b )= d + 2 b , FD = BC-BA=b-a.【總結(jié)升華】其實(shí)在以

13、A, B, C, D, E, F及0七點(diǎn)中，任兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，均可用d, b表示， 且可用規(guī)圧其中任兩個(gè)向量為&，b,另外任取兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，也可用方，D表示.舉一反三：【變式1】設(shè)A、B、C、D、0是平而上的任意五點(diǎn)，試化簡：AB + BC + CD, DB + AC + BD , -OA-OC+ OB-CO.【解析】原式二(莊+煢)+頁=猶+頁=而：原式二(DB + BD) + AC = 0 + AC = AC：原式二(OB-OA) + (-OC-CO) = AB-(OC + Cd) = AB + 6=AB.【變式2】設(shè)丘為未知向呈:，a. 5為已知向邕 解方程2壬-(5N+3丘-疝)

14、+丄萬-3厶二02【解析】原方程可化為:(2無-3無)+(-5玄+丄a)+(4b-3b)=Qf29 一:.x = - ci+b 2【總結(jié)升華】平面向捲的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)中實(shí)數(shù)與未知數(shù)的運(yùn)算法則，求解時(shí)兼顧到向量的性質(zhì).類型三：平面向量的坐標(biāo)及運(yùn)算例3.已知點(diǎn)A(4X)(44),C(2,6),試用向量方法求直線AC和OB (O為坐標(biāo)原點(diǎn))交點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】設(shè) P(x,y),則 OP = (x,y), AP = x-4, y)因?yàn)橼嗍茿C與OB的交點(diǎn)，所以P在直線AC上，也在直線OB上.即得帀/ OB.AP/AC .由點(diǎn) 4(4,0)”(4,4),C(2,6)得，AC = (-2,6X05

15、= (4,4).得方程組24x-4y = 0故直線AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)例4.已知萬=(4,3)，=(-1,2). m = a-Ab,n = 2a+b ,按下列條件求實(shí)數(shù)兄的值.(1) m丄而:(2)歷歷：(3)|m| = |H|.【解析】歷=刁一久厶=(4+幾,3 2兄)，n = 2a+b=(7,8)52(1)歷丄” =(4 + 2)x7 +(3-22)x8 = 0 =2 =-；岡=n = J(4 + /l)+(3-22) = 772 +82 = 5才-42-88 = 022、/TT5【總結(jié)升華】此例展示了向屋在坐標(biāo)形式下的平行、垂直、模的基本運(yùn)算.舉一反三：【變式】平而內(nèi)給泄

16、三個(gè)向量N = (3,2)/=(1,2),E = (4,1),回答下列問題:求滿足a = mb + nc的實(shí)數(shù)m, n；若(a + kc)/(2b-a),求實(shí)數(shù) k；(3)若力滿足(J-c)/(+/7),且|J-c| = /5 ,求2.【解析】由題意得(3,2)= m(-l,2)+n(4J),所以/58(2) ka-b =伙一 2,-1), a + 3b =(7,3)_7_此時(shí)k a-b =伙_2,1)=(一亍一1), a + 3b =(7,3),則a + 3b =一3(応一初，即此時(shí)向量萬+ 3乙與ka-b方向相反.【總結(jié)升華】上面兩個(gè)例子重點(diǎn)解析了平而向量的性質(zhì)在坐標(biāo)運(yùn)算中的體現(xiàn)，重點(diǎn)掌握

17、平而向量的共 線的判泄以及平而向量模的計(jì)算方法.舉一反三：【變式】已知(1 = (3, 4), b =(4, 3),求x, y的值使(xci+yb )丄刁，且I xa+yb =1.【解析】由&二(3, 4), b =(4, 3) 有 xa+yb =(3x+4yi 4x+3y):又(xa +irb )丄 a (xa+yb ) 萬=0 U3(3x+4y)+4(4x+3y)=0： TOC o 1-5 h z 即 25x+24y= 0；又丨 x：+y5 I =1 I xN+y5 I = 1 ；O ( 3 x+4y) + ( 4 x+3y) J= 1 ：整理得 25x2 +48xy+25y= 1 即 x

18、(25x+24y)+24xy+25y2= 1；由有24xy+25y丄1：將變形代入可得：y=|；再代回得：2435【總結(jié)升華】這里兩個(gè)條件互相制約，注意體現(xiàn)方程組思想.類型四：平面向量的夾角問題A. 30 B. 60 C. 120 D. 150【答案】c【解析】設(shè)所求兩向量的夾角為&TTTTTTf fTT -f T/ c = a+b, c 丄“,. c a = (a+ h)-a = a + a b = 0.d 卩=一 I d II Z? I COS& , 即：COS8 = =LfL( = abb2所以 8=120。.【總結(jié)升華】解決向量的夾角問題時(shí)要借助于公式cos& =，要掌握向量坐標(biāo)形式的

19、運(yùn)算向a-b量的模的求法和向量間的乘法計(jì)算可見一斑對于a =1 II b IcosO這個(gè)公式的變形應(yīng)用應(yīng)該做到熟練, 另外向量垂直(平行)的充要條件必需掌握.舉一反三：【變式】與向戡=匚丄的夾角相等，且模為1的向量是()或1.55)4 355【解析】設(shè)所求平而向量為二 由c =時(shí),155)5 5)f 43、5)當(dāng)(？=(0(D)(2邁或I,血冷,33丿33/133丿4 3) TOC o 1-5 h z 31時(shí)，cos =； 2-(43、一-155丿當(dāng) c= 一一，一 時(shí)，cos =I 5 5丿2一 一 (71、-(17、故平而向量c與向量“=丄=的夾角相等故選B.12 2； (2 2)例7.設(shè)

20、向量2與乙的夾角為&,且 = (3,3),勸一方=(一1,1),則COS&二【思路點(diǎn)撥】本題主要考査平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平而向雖:的數(shù)量枳，以及用平而向量的數(shù)量積處理有關(guān)角度的問題.【解析】設(shè)b = (x, y),由2b-a = 2(x, y)-(3,3) = (2x-3,2y-3) = (-1,1)2x_3 = _l2y_3=l/； = （1,2）3x1 + 3x 2 后+殲.“+2?31010故譜例8.已知兩單位向量廳與5的夾角為120,若 = 2脯=3口,試求E與2的夾角.【解析】由題意，同=5 =1,且ci與5的夾角為120, 所以，-/?=p|/?|cosl20u=-l,|c|2 =

21、c-c = （2a-b）-（2a-b）=4a2-4a-b+b2 =7 , .屈=0, 同理可得:.d = y/n.17而乙力=（茍_5）（3/；_力）=7&/；_3滬_2&2=_,2 設(shè)&為8與2的夾角，17貝|J COS& = L ）_ =27713.17阿182 例9已知方、厶都是非零向量,且方+3乙與兀一5厶垂直，a-4b與7方一左垂直,求方與乙的夾角0?！舅悸伏c(diǎn)撥】把向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0T聯(lián)立求：與乙的關(guān)系T應(yīng)用夾角公式求結(jié)果?！窘馕觥坑梢阎海? + 3 弘（7 方 一 5 厲=0,（方一 4bM7a 一 2b） = 0. 即7才+16方必一 15匸=07a 一30血+ 8/?

22、=0兩式相減，得2a.b = b代入其中任一式，得a2 =b4=60例 10.已知向M = (cos(-)5sin(-),b = (cos( -sin( -0), (1)求證：a 丄仏；(2)若存2 2在不等于0的實(shí)數(shù)k和t,使1 =方+手+ 3)從y = -ka+tk滿足I丄孑試求此時(shí)耳匚的最小值。t【思路點(diǎn)撥】（1）可通過求ab = 0證明方丄從（2）由1丄孑得Jy = O,即求出關(guān)于k, t的一個(gè)方程，從而求出 匕匚的代數(shù)表達(dá)式，消去一個(gè) t量k,得岀關(guān)于t的函數(shù)，從而求出最小值?！窘馕觥浚?）= cos(-Q)*cos(0) + sin(-)sin(0) = sin &cos 0 一

23、sin &cos & = 0.2 2alb（2）由尤丄y得xy = 0 ,即a + (t2 + 3)b-ka + tb) = 0,/. ka +(/ +3/)5 +t-k(t2 +3)ab = 0 /. -k a + (f、+30 b = 0.X| = 1、b = 1,.-k +/ +3/ = 0,.k =t -3f. k+t2 P + r +3t,1 o 11=廣 +/ + 3 = (/ + 一) +tt24故當(dāng)心丄時(shí)，土 有最小值11.2 t4舉_反三:【變式】已知，其中0va T求證：o+b與a-b互相垂直：若ka+b與k：-E(k工0)的長度相等，求0 a.2 2【解析】因?yàn)?a +

24、)(“一”) = - a b + b a b=a b =1“1一1腫=(cos& + sina - Jcos0 + sin0=1-1=0 所以a + b與7匚互相垂直.(2) ka + b = (k cosa + cos/7, k sin a + sin /7) ka- b =(cosa-cos0, sin a-sin 0), 所以 ka+ b= Jk + 2k cos(0 - a) + 1 tk a- b= Jk? -2k cos(0- a) + 1 ,因?yàn)閗a+b=ka-b9所以+ 2k cos(0- a) + = k2 -2k cos(0- a) + 1,有 2k cos(/7 _ a)

25、 = 一2k cos(0 _ a),因?yàn)?工 0,故cos(0a) = 0 ,又因?yàn)?0 v a pn, 0 0- a 2y-x) = (/?,q),y二P， x2p即 c (2pQ p).例12求證：起點(diǎn)相同的三個(gè)非零向量乳b, 3d-2b的終點(diǎn)在同一條直線上.則走=OCOA=2(d-b)9 AB = OB-OA=b-a. AC = -2AB.I 疋，麗共線且有公共點(diǎn)A,因此，A, B, C三點(diǎn)共線，垠新資料推薦即向疑&, b, 3d2b的終點(diǎn)在同一直線上.【總結(jié)升華】利用向量平行證明三點(diǎn)共線，需分兩步完成：證明向量平行：說明兩個(gè)向量有公共點(diǎn)：用向戢平行證明兩線段平行也需分兩步完成：證明向量平行：說明兩向疑無公共點(diǎn).例 13.已知a2+b