2021上資格證數(shù)學(xué)科目三-理論精講-數(shù)學(xué)分析2-1.11-羅卿

1、課前答疑10min，回放的小伙伴請拉動，謝謝2021上教師資格證數(shù)學(xué)科目三數(shù)學(xué)分析2主講：羅卿回顧今日講解 極限余下內(nèi)容 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)、一元函數(shù)微分學(xué)選sn +32+【例】lim（三）極限的求法05.洛必達(dá)法則P751cos 2【例】lim0P75選（三）極限的求法【例】 =5.洛必達(dá)法則 +P75（三）極限的求法1【例】lim i06.無窮小與無窮大（1）無窮小與無窮大的概念P75選 考點(diǎn)：兩個無窮小的比較6.無窮小與無窮大（2）兩個無窮小的比較在自變量同一變化過程（ 0 或 ）中，設(shè)limf(x)=0，limg(x)=0，且()lim = ，則有：()若 =0，稱 是比 高階的無窮

2、小若 ，稱 是比 低階的無窮小若 =c0，稱 與 是同階無窮小若 1，稱 與 是等價無窮小P76 考點(diǎn)：等價無窮小（背?。?選6.無窮小與無窮大（3）常用等價無窮小P76So easyP77工具 考點(diǎn)：等價無窮?。ū常。?）常用等價無窮小-使用條件使用條件：整個式子中的乘、除因子可以用等價無窮小替換，加、減時不能用等價無窮小替換，部分式子中的乘、除因子也不能用等價無窮小替換。P76檢驗(yàn)下聽課效果P77 無窮大與無窮小考點(diǎn)考點(diǎn)一：兩個無窮小的比較在自變量同一變化過程（ 0 或 ）中，設(shè)limf(x)=0，()limg(x)=0，且lim = （0， ，1，c（除0）()考點(diǎn)二：等價無窮小找與給

3、定函數(shù)是等價無窮小的函數(shù)利用等價無窮小求極限P78 考點(diǎn)小結(jié)應(yīng)用漸近線的判定P78選（四）漸近線1.水平漸近線：2.垂直漸近線：P78練練才知道P78選+應(yīng)用二、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)（一）函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念P79P80選+解答（一）函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念注意：對于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性的討論，應(yīng)根據(jù)函數(shù)連續(xù)的定義，滿足： 函數(shù)在該點(diǎn)有定義； 函數(shù)在該點(diǎn)的左極限=右極限=該點(diǎn)的函數(shù)值。P79P80了解（一）函數(shù)的連續(xù)性2.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)（上）連續(xù)的定義如果函數(shù) 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱 在(a, b)內(nèi)連續(xù)。如果 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)連續(xù)，在

4、區(qū)間端點(diǎn)a右連續(xù)，在區(qū)間端點(diǎn)b左連續(xù)，則稱 在閉區(qū)間a, b上連續(xù)。P80應(yīng)用（一）函數(shù)的連續(xù)性3. 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1（有界性與最大值最小值定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值和最小值。這就是說，如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，那么存在常數(shù)M0，使得對任一x, ，滿足 () ；且至少有一點(diǎn)，使f()是f(x)在a，b上的最大值；又至少有一點(diǎn)，使f()是f(x)在a，b上的最小值。有界性定理：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上必有界。P81應(yīng)用3. 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理2（零點(diǎn)定理）：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號（即f

5、(a)f(b)0），則在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)，使f()=0。P81應(yīng)用3. 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理3（介值定理）：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值 f(a)=A及f(b)=B，則對于A與B之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得f()=C（ab）。定理4（一致連續(xù)性定理）：如果 在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，那么它在該區(qū)間上一致連續(xù)。P81 考點(diǎn)：涉及閉區(qū)間連續(xù)函數(shù) 應(yīng)用y=f(x)的定理證明及應(yīng)用 考點(diǎn)小結(jié)-與y=f(x) 相關(guān)的定理a,bf (x)前提：設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)， 使得 有界性定理： M 0, 對 f (x) M, x a,

6、b.m,M,使得m f (x) M,其中m,M分別為f (x)在a,b上的最小值、最大值. 最值定理：P81應(yīng)用 考點(diǎn)小結(jié)-與y=f(x) 相關(guān)的定理a,b上連續(xù)，f (x)前提：設(shè)在閉區(qū)間若 則 零點(diǎn)定理： f (a) f (b) 0,使得 (a,b), f ( ) =0. 介值定理： f(a)=A及f(b)=B，則對于A與B之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得f()=C（ab）。若m M,則 a,b,使得f ()=.P81（二）函數(shù)的間斷點(diǎn)及分類1.函數(shù)的間斷點(diǎn)的定義P81選（二）函數(shù)的間斷點(diǎn)及分類1.函數(shù)的間斷點(diǎn)的定義（左右極限都存在）（左右極限至少一個不存在）P82

7、選間斷點(diǎn)類型依據(jù)典型代表可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)特征左極限=右極限左極限右極限第一類間斷點(diǎn)左極限右極限都存在該點(diǎn)函數(shù)極限（左或右）趨于無窮大無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左極限、右極限至少一個不存在第二類間斷點(diǎn)在趨于該點(diǎn)時，函數(shù)值來回振蕩P82補(bǔ)充例題P8221【例】討論函數(shù) =間斷點(diǎn)的類型。23+補(bǔ)充例題P8221【例】討論函數(shù) =間斷點(diǎn)的類型23+211 +1+1解： =， = ，2為間斷點(diǎn)。lim = lim = ，23+1 11+1lim = lim = ，故 = 為可去間斷點(diǎn)， = 為無窮間斷點(diǎn)?？偨Y(jié)：分式中，先進(jìn)行因式分解，上下可約去的多項(xiàng)式中的對應(yīng)點(diǎn)為可去間斷點(diǎn)；上下約不掉且使分母等于0對應(yīng)點(diǎn)

8、為無窮間斷點(diǎn) 小結(jié)一、導(dǎo)數(shù)的概念二、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系三、基本初等函數(shù)求導(dǎo)四、一階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用五、二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)一元函數(shù)微分學(xué)六、微分七、微分中值定理八、泰勒公式P83初中高中2016年下：142017年上：142018年上：3、112018年下：9、112019年上：52016201720182018年下：14年上：14年上：3，11年下：9、11Lorem ipsum dolor sit amet2019年上：52019年下：1、142019年下：1、142020年下：142020年下：5、（11）、14一、導(dǎo)數(shù)的概念（一）導(dǎo)數(shù)的幾何意義P83選（二）導(dǎo)數(shù)的定義P84定義式的小應(yīng)用 (

9、)00 0 = lim0P84應(yīng)用 考點(diǎn)：函數(shù)可導(dǎo)性判斷（三）左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)例： = P84 ( ) 應(yīng)用00 0 = lim0（四）導(dǎo)函數(shù)的定義若 在(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)可導(dǎo)，則稱 在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)；若 在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且 與 都存在，則稱 在a，b上可導(dǎo)；+若 在區(qū)間I內(nèi)每一點(diǎn)可導(dǎo)，則 在區(qū)間I內(nèi)任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是x的函數(shù)，該函數(shù)稱為dy df(x)。 的導(dǎo)函數(shù)，記為 或 或 或dxdx ( ) 0 lim000P85選 考點(diǎn)：可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系二、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 () lim0例： = P851 , 【例】函數(shù) = A.連續(xù)且可導(dǎo)，則函數(shù)在 = 處（ ）。C.不連續(xù) D.不連續(xù)但可導(dǎo), = B.連續(xù)且不可導(dǎo)工具三、基本初等函數(shù)求導(dǎo)（一）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常為零，冪降次，指不變，對倒數(shù)；P86工具（一）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式正變余，余反正，切割方，割乘切，反分式。P86（二）二階導(dǎo)數(shù)P87應(yīng)用（三）求導(dǎo)法則P87練一練就會了 = P88應(yīng)用（三）求導(dǎo)法則【例】已知 = ，求P87預(yù)習(xí) 第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)剩余內(nèi)容應(yīng)用（三）求導(dǎo)法則P88應(yīng)用（三）求導(dǎo)法則 = =1P89依葫蘆畫瓢你行的dy例：求由方程+xy-e=0所確