分段函數(shù)的幾種常見題型及解法

1、_分段函數(shù)的幾種常見題型及解法分段函數(shù)是指自變量在兩個或兩個以上不同的范圍內(nèi),有不同的對應(yīng)法則的函數(shù),它是一個函數(shù),卻又常常被學生誤認為是幾個函數(shù);它的定義域是各段函數(shù)定義域的并集,其值域也是各段函數(shù)值域的并集.由于它在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識的程度的考察上有較好的作用,時常在高考試題中“閃亮”登場,筆者就幾種具體的題型做了一些思考,解析如下：例1求函數(shù)f(x)1xx(0,2);的定義域、3x2,);1求分段函數(shù)的定義域和值域2x2x1,0;2值域.-1y321o12x【解析】-1作圖,利用“數(shù)形結(jié)合”易知f(x)的定義域為1,),值域為(1,3.例2（05年浙江理）已知函數(shù)f(

2、x)1求ff(1).,(|x|1)1x22求分段函數(shù)的函數(shù)值|x1|2,(|x|1)2【解析】1(3)2因為f(1)|11|23,所以ff(1)f(3)1222223求分段函數(shù)的最值精品資料24.13_例3求函數(shù)f(x)x3(0 x1)的最大值.x5(x1)4x3(x0)【解析】當x0時,fmax(x)f(0)3,當0 x1時,fmax(x)f(1)4,當x1時,x5154,綜上有fmax(x)4.4求分段函數(shù)的解析式例4在同一平面直角坐標系中,函數(shù)yf(x)和yg(x)的圖象關(guān)于直線yx對稱,現(xiàn)將yg(x)的圖象沿x軸向左平移2個單位,再沿y軸向上平移1個單位,所得的圖象是由兩條線段組成的折

3、線（如圖所示）,則函數(shù)f(x)的表達式為（）2x22x12x2(1x0)A.f(x)(0 x2)2x2(1x0)B.f(x)x22(0 x2)2x2(1x2)C.f(x)(2x4)y321-2-1o1x2x6(1x2)D.f(x)x23(2x4)【解析】當x2,0時,y1x1,將其圖象沿x軸向右平移2個單位,再沿y軸向下平21移1個單位,得解析式為y1(x2)11x1,所以f(x)2x2(x1,0),22當x0,1時,y2x1,將其圖象沿x軸向右平移2個單位,再沿y軸向下平移1個得f(x)2單位,得解析式y(tǒng)2(x2)112x4,所以f(x)2x2(1x0),故選A.x2(0 x2)精品資料12

4、x2(x0,2),綜上可_5作分段函數(shù)的圖像例5函數(shù)ye|lnx|x1|的圖像大致是（）yy1x1yoA1xOy1B11O1xO1xCD6求分段函數(shù)得反函數(shù)例6已知yf(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x0時,f(x)3x1,設(shè)f(x)得反函數(shù)為yg(x),求g(x)的表達式.【解析】設(shè)x0,則x0,所以f(x)3x1,又因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(x)f(x),且f(0)0,所以f(x)13x,因此3x1(x0)log(x1)(x0)3f(x)0(x0),從而可得g(x)0(x0).13x(x0)log(1x)(x0)37判斷分段函數(shù)的奇偶性精品資料_x2(x1)(x0)例7判斷

5、函數(shù)f(x)的奇偶性.x2(x1)(x0)【解析】當x0時,x0,f(x)(x)2(x1)x2(x1)f(x),當x0時,f(0)f(0)0,當x0,x0,f(x)(x)2(x1)x2(x1)f(x)因此,對于任意xR都有f(x)f(x),所以f(x)為偶函數(shù).8判斷分段函數(shù)的單調(diào)性x3x(x0)例8判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.x2(x0)【解析】顯然f(x)連續(xù).當x0時,f(x)3x211恒成立,所以f(x)是單調(diào)遞增函數(shù),當x0時,f(x)2x0恒成立,f(x)也是單調(diào)遞增函數(shù),所以f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù);或畫圖易知f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù).例9寫出函數(shù)f(x)|12x|2x|的

6、單調(diào)減區(qū)間.3x1(x1)2【解析】f(x)3x(1x2),畫圖易知單調(diào)23x1(x2)減區(qū)間為(,1.2y5-1252o2xlog81xx(1,)9解分段函數(shù)的方程2xx(,11（例1001年上海）設(shè)函數(shù)f(x),則滿足方程f(x)的x的4值為【解析】精品資料_若2x1,則2x22,得x2(,1,所以x2（舍去）,若logx1,48141則x814,解得x3(1,),所以x3即為所求.2x1(x0)例11設(shè)函數(shù)f(x)1,若f(x)1,則x得取值范圍是（x2(x0)10解分段函數(shù)的不等式00）A.(1,1)B.(1,)C.(,2)(0,)D.(,1)(1,)y1x【解析1】-11首先畫出yf

7、(x)和y1的大致圖像,易知f(x)1時,所對應(yīng)的x的取值范圍00是(,1)(1,).【解析2】因為f(x)1,當x0時,2x011,解得x1,當x0時,x00000121,解得x1,綜上x的取值范圍是(,1)(1,).故選D.00(x1)2(x1)例12設(shè)函數(shù)f(x),則使得f(x)1的自變量x的取值范圍為4x1(x1)（）A(,20,10B.(,20,1C.(,21,10D.2,01,10【解析】當x1時,f(x)1(x1)21x2或x0,所以x2或0 x1,當x1時,f(x)14x11x13x10,所以1x10,綜上所精品資料_述,x2或0 x10,故選A項.【點評：】以上分段函數(shù)性質(zhì)的考查中,不難得到一種解題的重要途徑,若能畫出其大致圖像,定義域、值域、