偏微分(3)分離變量法課件

1、偏微分方程PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION(P.D.E)9/3/20221分離變量法許多物理現(xiàn)象都具有疊加性：由幾種不同原因同時(shí)出現(xiàn)時(shí)所產(chǎn)生的效果，等于各個(gè)原因單獨(dú)出現(xiàn)時(shí)所產(chǎn)生的效果的疊加，這就是物理學(xué)中的疊加原理。在解決數(shù)學(xué)中的線性問(wèn)題時(shí)，可應(yīng)用物理學(xué)中的疊加原理。分離變量法又稱Fourier方法，而在波動(dòng)方程情形也稱為駐波法。它是解決數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題中的一中基本方法，這個(gè)方法建立在疊加原理的基礎(chǔ)上，其基本出發(fā)點(diǎn)是物理學(xué)中的機(jī)械振動(dòng)和電磁振動(dòng)（總可分解為一些簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加）9/3/20222波動(dòng)方程有界弦的自由振動(dòng)熱傳導(dǎo)方程橢圓方程一維情形高維情形有界弦的強(qiáng)迫

2、振動(dòng)齊次方程非齊次方程周期性條件自然邊界條件一維情形高維情形9/3/20223將（1.5）代入方程（1.1）和邊界條件（1.2）得到即以及(1.6)(1.7)(1.6)式中，左端是t的函數(shù)，右端是x的函數(shù)，由此可得只能是常數(shù)，記為 。從而有(1.8)(1.9)(1.10)9/3/20225(II)本征值問(wèn)題(1.9)(1.10)情形（A） 情形（B）其通解為由(1.10)，可推出只有零解。其通解為由(1.10)，可推出只有零解。9/3/20226情形（C）方程的通解為由邊界條件X(0) = 0推出再由知道為了使必須于是有這樣就找到了一族非零解本征值本征函數(shù)(1.11)(1.12)9/3/202

3、27由此，就得到方程（1.1）滿足邊界條件（1.2）的變量分離的非零特解代入(1.8)可得(1.13)其通解為9/3/20228因此，應(yīng)分別是在0, L區(qū)間上正弦展開(kāi)的Fourier級(jí)數(shù)的系數(shù)，即(1.17)(1.18) 這樣，我們就給出了混合問(wèn)題（1.1）-（1.4）的形式解（1.14），其中系數(shù)由公式（1.17）和（1.18）給出。9/3/202210分離變量法的解題步驟第一步第二步第三步令適合方程和邊界條件，從而定出所適合的常微分方程齊次邊值問(wèn)題，以及適合的常微分方程。本征值問(wèn)題求解該常微分方程齊次邊值問(wèn)題，求出全部本征值和本征函數(shù)，并求出相應(yīng)的 的表達(dá)式。將所有變量分離形式的特解疊加起

4、來(lái)，并利用初始條件定出所有待定系數(shù)。9/3/202212 對(duì)任意一點(diǎn)這表示在任意一點(diǎn)處都作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。節(jié)點(diǎn)固有頻率9/3/202214例令是齊次方程和齊次邊界條件的非零解則有9/3/202215故有其中9/3/2022169/3/2022172. 有界弦的強(qiáng)迫振動(dòng)(2.1)(2.2)(2.3)(2.4)方法一方法二齊次化原理分離變量法9/3/202218令混合問(wèn)題（2.5）就化為(2.7)由于方程和邊界條件都是齊次的，由此根據(jù)上一小節(jié)的結(jié)論即得其中(2.8)(2.9)9/3/202220根據(jù)齊次化原理，(2.10)其中9/3/202221(2.12)，(2.13)，(2.14)9/3/20222

5、3非齊次邊界條件的定解問(wèn)題我們注意到齊次的邊界條件是分離變量法所必需的，為此作函數(shù)變換邊界齊次化9/3/2022243. 有界細(xì)桿的熱傳導(dǎo)方程9/3/202226 首先找到所有具有變量分離形式的滿足齊次方程和齊次邊界條件的非零特解。令(I)3.1 齊次方程情形代入方程和邊界條件得到即以及9/3/202227(II)本征值問(wèn)題本征值本征函數(shù)9/3/2022283.2 非齊次方程情形方法一方法二齊次化原理分離變量法9/3/2022304. 矩形薄板的熱傳導(dǎo)方程利用分離變量法（4.1）（4.2）（4.3）9/3/202231（4.6）（4.5）（4.4）再設(shè)（4.7）（4.8）（4.9）9/3/20

6、2232由邊界條件9/3/202233從而有且代入（4.4）可得9/3/202234于是特解的疊加9/3/202235系數(shù)的確定 （二重Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式）若則9/3/2022365. 橢圓方程 以前的定解問(wèn)題所在的區(qū)域都是區(qū)間或矩形域，均采用直角坐標(biāo)系。但如果定解區(qū)域?yàn)閳A形、圓柱形或者球形是，采用直角坐標(biāo)系難以適用，而采用極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系或者球面坐標(biāo)系。（5.1）9/3/202237作自變量變換9/3/202238演算過(guò)程9/3/2022399/3/202240原定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（5.2）下面采用分離變量法來(lái)求解。為此，令代入，即得分離變量（5.3）9/3/202241（5.4）（5.

7、5）（5.6）（5.7）周期性條件自然邊界條件9/3/202242現(xiàn)在求解本征值問(wèn)題（5.4）-（5.5）其通解為這不是周期函數(shù)其通解為這不是周期函數(shù)是周期函數(shù)其通解為為了滿足（5.5），必須9/3/202243本征值為本征函數(shù)為代入（5.6）歐拉方程9/3/202244特解疊加系數(shù)確定正交列9/3/2022459/3/202246的解為圓的Poisson積分9/3/2022476. 柱域上的分離變量法和Bessel函數(shù)柱坐標(biāo)系9/3/202248令改記Bessel 方程9/3/2022497. 球域中的分離變量法、 Legendre多項(xiàng)式球坐標(biāo)系9/3/202250在第二式中令改記伴隨Legendre方程當(dāng)Legendre方程9/3/2022518. 本征值理論 利用分離變量法求解定解問(wèn)題必然導(dǎo)致本征值問(wèn)題，即在一定的齊次邊界條件下，求一個(gè)含參數(shù)的齊次常微分方程的非零解的問(wèn)題。 另外，在分離變量的過(guò)程中，主要涉及關(guān)于本征值和本征