初中數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練-四邊形-中位線

1、初中數(shù)學(xué)例01如圖，已知：在ABC中，D、E、F分別為BC、AD和AB的中點(diǎn)，已知ABC的周長為46cm.求：DEF的周長.分析：由于D、E、F分別是三角形三邊的中點(diǎn)，所以DE、DF、EF都是ABC的中位線.那么根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)，可知它們的長度分別為第三邊的一半，所以DEF的周長為ABC的一半.解答：D、E是BC和CA的中點(diǎn)，DE是ABC的中位線，DE12AB.11同理，DEAC,EFBC.2211DEDFEF(ABACBC)4623cm22DEF的周長為23cm.說明三角形的中位線是連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段，它不同于三角形的中線，要分清楚三角形的中位線和中線的區(qū)別和聯(lián)系那么三角形的中

2、位線定理提供了三角形中的線段的關(guān)系，解題時(shí)要注意運(yùn)用這一關(guān)系例02如圖，已知：在梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中點(diǎn)，EF/DC交BC于F.求證：EF1DC.2分析：已知E是AB的中點(diǎn)，而要證明的結(jié)論是EF1DC，由此聯(lián)想到三角形的中2位線定理，因此設(shè)法構(gòu)造三角形，過A點(diǎn)作AG/CD交BC于G，則利用三角形的中位線定理進(jìn)行證明.證明：過點(diǎn)A作AG/CD交BC于G，AD/BC，四邊形AGCD是平行四邊形.AGCDEF/DC,AG/DC，精品設(shè)計(jì)初中數(shù)學(xué)EF/AG而E是AB的中點(diǎn)，BFFG（經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊）EF是BGA的中位線，EF12AG，1EFDC2說

3、明當(dāng)題設(shè)或結(jié)論中有中點(diǎn)條件或平行線或倍半關(guān)系時(shí)，往往和中位線有一定聯(lián)系，所以要處理好相互之間的關(guān)系，嘗試使用中位線定理，尋找和創(chuàng)造必要的條件例03如圖，已知：在梯形ABCD中，AB/CD,ADC90，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，AFC3BAF.求證：CDCF.分析：已知F是梯形ABCD的腰BC的中點(diǎn)，若作出中位線EF，由于EF/AB及EF/CD，所以AFEBAF.由于AB、CD垂直于AD，所以EFAD，從而EF是AD的垂直平分線，所以AFEEFD，從而能推出CFDEFD，而CDFEFD，所以得到CFDCDF，問題就得到解決.證明：過點(diǎn)F作EF/AB，交AD于E，連結(jié)FD，則AB/EF/CD.BAFAFE,

4、EFDFDC而EF是中位線，EF垂直平分AD.AFEEFDAFEEFDBAFFDC而AFC3BAFDFCBAFFDCCDCF例04如圖，已知：四邊形ABCD是梯形，AD/BC，M、N分別為BD，AC的中點(diǎn).求證：MN1(BCAD)2精品設(shè)計(jì)初中數(shù)學(xué)分析：M、N盡管都是線段的中點(diǎn)，但從圖中并看不出它是哪個(gè)三角形的中位線，因此，要借助于輔助線，從而把MN轉(zhuǎn)化為三角形的中位線，再根據(jù)中位線的定理，求出MN和其他的線段之間的關(guān)系.證明：連結(jié)DN并延長交BC于E.在AND和CNE中，AD/BCDACACB,ADENEC，又ANCN，ANDCNE.ADEC,DNNE又DMBMMN是DBE的中位線，MN12

5、BE而BEBCCEBCAD，1MN(BCAD)2說明學(xué)會(huì)創(chuàng)造中位線，再利用中位線的性質(zhì)定理去解決問題，當(dāng)中點(diǎn)、中位線，中線及平行等條件出現(xiàn)時(shí)，要仔細(xì)分析，中位線是一條重要的思路例05如圖，已知：在四邊形ABCD中，AD、BC不平行，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn).求證：EF1(ADBC)2分析：考慮到三角形任意兩邊之和大于第三邊，我們可以把AD、BC或EF轉(zhuǎn)到一個(gè)三角形之中，也可能與中點(diǎn)E、F構(gòu)成相關(guān)的中位線，從而達(dá)到解題的目的.證明：連結(jié)BD，取BD中點(diǎn)為O，連結(jié)OE，OF，E為DC中點(diǎn)，O為BD中點(diǎn)，精品設(shè)計(jì)初中數(shù)學(xué)OE1BC2同理可證：OF12AD而在OEF中，OEOFEF，11BCADE

6、F221即EF(ADBC)2說明：構(gòu)造中位線的方法如能恰當(dāng)使用，能使證題走上捷徑.例06如圖，等腰梯形ABCD的周長是80cm，如果它的中位線EF與腰長相等，它們的高是12cm.求這個(gè)梯形的面積.解答：ABCD,EFAB,EF4EF80cm，即EF20cm12(ADBC)，且ABBCCDDA80cm.S梯形2012240(cm2).S說明本題考查梯形的中位線性質(zhì)定理及梯形的面積，易錯(cuò)點(diǎn)是忽視用公式梯形中位線高，解題關(guān)鍵是求中位線的長.例07如圖，在ABC中，B2C，ADBC于D，M為BC的中點(diǎn).求證：DM1AB.2證明：取AB的中點(diǎn)N，連結(jié)DN，MN.精品設(shè)計(jì)初中數(shù)學(xué)ADBC,ANBN，ND1

7、ABBN.2又M是BC的中點(diǎn)，MN/ACDMNCNDBN，BBDN又BDNDMNDNM,B2CCDNMDMNDMDNDM1AB.2說明本題考查了三角形中位線定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是取AB的中點(diǎn)N，連結(jié)ND，NM，利用三角形中位線定理及等腰三角形的判定證明.例08已知：在ABC中，ABAC，CD是中線，延長AB到E，使BEAB，連結(jié)CE.求證：CD1CE.2證法1如圖，取CE的中點(diǎn)F，連結(jié)BF，則BF是ACE的中位線.BF/12AC.1又BDAB,ABAC，2BFBDBF/AC，2ACBABAC，1ACB12又BCBC，BCDBCFCDCF精品設(shè)計(jì)初中數(shù)學(xué)CF12CE，1CDCE2證法2如圖，取A

8、C中點(diǎn)F，連結(jié)BF，則BF是ACE的中位線.BF12CE1AFADAB,AA,ABAC，2ABFACDBFCD1CDCE2證法3如圖，取BC中點(diǎn)G，BE中點(diǎn)F，連結(jié)DG，F(xiàn)G.則FGDGBACBABC.DGCFBG11DGACBEBF,GCBG2212CE，DG/AC.DGCFBG.CDFG1CDCE2說明構(gòu)造和利用中位線是解題關(guān)鍵例09如圖，已知梯形ABCD中，AD/BC，對(duì)角線AC，BD相交于O，A，B，C，D分別是AO，BO，CO，DO的中點(diǎn).求證：四邊形ABCD是梯形.精品設(shè)計(jì)初中數(shù)學(xué)錯(cuò)證：A，B，C，D分別是AO，BO，CO，DO的中點(diǎn),AD,BC分別是AOD，BOC的中位線.AD/

9、AD,BC/BC.又AD/BC，AD/BC四邊形ABCD是梯形.正解：A，B，C，D分別是AO，BO，CO，DO的中點(diǎn)，AD,BC分別是AOD，BOC的中位線.AD/AD/BC,BC/BC.AD/BC同理AB/AB,CD/CD，又四邊形ABCD是梯形，AB與DC不平行.AB與DC也不平行.四邊形ABCD是梯形.說明錯(cuò)證中沒有證明AB與CD不平行.例10如圖，ABCD為等腰梯形，AB/CD，對(duì)角線AC，BD交于O，且AOB60.又E，F(xiàn)，G分別為DO，AO，BC的中點(diǎn).求證：EFG為等邊三角形.證明：連EC.ADBC，且ACBDDCDCADCBCD，ACDBDCODC為等腰三角形.DOCAOB6

10、0，ODC為等邊三角形.又E為OD中點(diǎn)，OEC90精品設(shè)計(jì)初中數(shù)學(xué)在RtBEC中，G為斜邊的中點(diǎn)，EG1BC2同理連BF.可證FG12BC在OAD中，E，F(xiàn)分別為OD，OA的中點(diǎn)，EF11ADBCEGFG.22EFG為等邊三角形.說明輔助線的添加是關(guān)鍵例11如圖，C為已知線段AB外一點(diǎn)，以AC，BC為邊，分別向ABC的外側(cè)作正方形ACFD和正方形BCGE，不論C點(diǎn)的位置在AB的同側(cè)怎樣變化，求證：（1）D，E到AB所在直線的距離之和為定值；（2）線段DE的中點(diǎn)M為定點(diǎn).證明：（1）作DDAB于D，CCAB于C，EEAB于E.12180DAC，且DAC901290DDAB139023ACADRt

11、ACCRtDADACDD.同理：BCEEEEDDACBCAB（為定值）（2）過M作MNAB于N.DDAB,EEAB,MNAB，DD/MN/EEDMME，DNNEACCDAD，CCADBCCEBECCBE,ADBE精品設(shè)計(jì)又MN1初中數(shù)學(xué)DNADNEBEANNB.即N為AB的中點(diǎn)（為定點(diǎn)）1(DDEE)AB（為定值），22M為定點(diǎn).分析本題綜合考查了平行線等分線段定理，梯形中位線定理及全等三角形的判定與性質(zhì)等，易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)定值、定點(diǎn)不理解，解題關(guān)鍵是作如圖所示的四條輔助線選擇題1順次連結(jié)平行四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是（）A菱形B矩形C梯形D平行四邊形2一個(gè)梯形的中位線長為l，兩對(duì)角線互相垂直

12、，則這梯形的高為（）AlB2lC12lD不能確定其大小3已知三角形的三條中位線分別為3cm,4cm,6cm，則這個(gè)三角形的周長是（）A13cmB26cmC24cmD6.5cm4若等腰梯形兩底角為30，腰長為8cm，高和上底相等，那么梯形中位線長為（）A83cmB10cmC(434)cmD163cm5（北京市昌平區(qū)，2001）如果梯形一底長為6，中位線長為8，那么另一底長為（）A14B10C8D4（6南通市，2001）如果，梯形ABCD中，AD/BC，EF是中位線，ADa，EFb，則BC的長是（）A12(ab)B2abC2baDab7（威海市，2001）下面有三種說法：任意四邊形兩組對(duì)邊中點(diǎn)的連

13、線互相平分任意三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分梯形的兩條對(duì)角線可能互相平分正確的是ABCD參考答案：1D2A3B4C5B6C7B選擇題精品設(shè)計(jì)初中數(shù)學(xué)1順次連結(jié)等腰梯形四邊中點(diǎn)所組成的四邊形是（）A矩形B梯形C菱形D正方形2（北京市東城區(qū)，2001）如圖，DE是ABC的中位線，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，BF的延長線交AC于點(diǎn)H，則AH:HE等于（）A1:1B2:1C1:2D3:23（荊州市，2002）如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，ADBCDE，且BD:DE2:1，則BDE的面積與DEC的面積比為（）A2:1B5:2C3:1D4:14（呼和浩特市，2002）梯形的中位線長為12cm，一條對(duì)

14、角線把中位線分成1:2兩部分，則梯形的兩底分別為（）A4cm和8cmB9cm和15cmC10cm和14cmD8cm和16cm5（陜西省，2002）如圖，在ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)，若ABC的周長為20cm，則DEF的周長為（）A15cmB12cmC10cmD5cm6（北京市西城區(qū)，2002）斜拉橋是利用一組組鋼索，把橋面重力傳遞到聳立在兩側(cè).的高塔上的橋梁，它不須建造橋墩如圖中，AB，AB，AB是斜拉橋上5條互相212155平行的鋼索，并且B，B，B，B，B，B被均勻地固定在橋上.如果最長的鋼索123444AB80m，最短的鋼索AB20m，那么鋼索AB，AB的長分別為

15、（）11553333精品設(shè)計(jì)初中數(shù)學(xué)又EH1A50m、65mB50m、35mC50m、57.5mD40m、42.5m參考答案：1解：如圖，連結(jié)AC，BD.ABCD是等腰梯形，ACBD.EF，HG，EH，F(xiàn)G是三角形中位線，EF/AC,HG/AC,EH/BD,FG/BD.EF/GH,FG/EH.四邊形EFGH是平行四邊形.1BD，EFAC.EFEH22EFGH是菱形，故應(yīng)選C.2B3C4D5C6A填空題1（山東省菏澤地區(qū)，2001）直角梯形的一條對(duì)角線將它分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)是等邊三角形，如果它的中位線長為3a，那么它的下底長是_.42（泉州市，2001）已知梯形上、下底長分別為3和5，則中

16、位線長為_.3（北京市石景山區(qū)，2001）如果梯形的上底長與下底長的比為1:2，中位線的長為24，那么梯形的下底長為_.4（江西省，2001）如圖，等腰梯形ABCD中，AD/BC，B45，AEBC于點(diǎn)E，AEAD2cm，則這個(gè)梯形的中位線長為_cm.5（龍巖市、寧德市，2001）如圖，EF是ABC的中位線，BD平分ABC交EF于D，若DE2，則EB_.精品設(shè)計(jì)初中數(shù)學(xué)6（北京市石景山區(qū)，2002）如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，中位線EF交對(duì)角線BD于點(diǎn)O，EF12，且EO:OF1:2，則BC_.7（青海省，2002）等腰梯形中，已知一個(gè)底角是45，高為h，中位線長為m，則梯形的上底長是_

17、.（8紹興市，2002）如圖，梯形ABCD中，AD/BC，DRt，BCCD12，ABE45，點(diǎn)E在DC上，AE、BC的延長線相交于點(diǎn)F.若AE10，則SADESCEF的值是_.（9天津市，2002）如圖，梯形ABCD中，AD/BC，對(duì)角線ACBD，且AC5cm，BD12cm，則該梯形的中位線的長等于_cm.的中位線長為_，若EF/AB，且DE10（徐州市，2002）如圖，在梯形ABCD中，AB/CD,AB3,CD1，則該梯形1，則EF的長為_.EA311（安徽省，2002）如圖，在ABC中，BCa，B，B，B，B是AB邊的五1234精品設(shè)計(jì)初中數(shù)學(xué)等分點(diǎn)，C，C，C，C是AC邊的五等分點(diǎn)，則B

18、DBCBCBC_.12341122334412（江西省，2002）如圖，要測(cè)量A，B兩點(diǎn)間距離，在O點(diǎn)設(shè)樁，取OA中點(diǎn)C，OB中點(diǎn)D，測(cè)得CD31.4米，則AB_米.13（湖州市，2001）如圖，已知直角梯形ABCD的中位線EF的長為a，垂直于底的腰AB的長為b，則CED的面積等于_.14參考答案：1a2433244526167mh830，4896.5102，32112a1262.81312ab解答題1如圖，等腰梯形ABCD中，AD/BC，中位線EF交AC于G，且AC平分BCD，EGa，GFb.求梯形ABCD的周長.精品設(shè)計(jì)初中數(shù)學(xué)2如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,BC3AD，E，F(xiàn)分別是

19、對(duì)角線AC，BD的中點(diǎn).求證：四邊形ADEF是平行四邊形.（3哈爾濱市，2002）如圖，已知MN是梯形ABCD的中位線，AC，BD與MN交于F，E，AD30cm,BC40cm，求EF的長.C4已知：如圖，ABC中，是DB上一點(diǎn)，BAC90，CAD45，且BCCD.求證：AB2AC5已知：如圖，ABC中，AD為中線，過B的直線交AD于F，交AC于E，且AEEF.求證：BFAC.E6已知：如圖，ABC中，是BC的中點(diǎn)，D是CA的延長線上的一點(diǎn)，ADDE交AB于F.求證：DFFE.12AC，7（泰州市，2001）求證：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分（如圖）精品設(shè)計(jì)初中數(shù)學(xué)8如圖，梯形AB

20、CD中，AD/BC，BCD的平分線CE交AB的中點(diǎn)E.求證：CDADBC.9如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于O，已知ACBD，M，N分別是AD，BC中點(diǎn)，MN與AC，BD分別相交于E，F(xiàn).求證：OEOF.，10如圖，ABC和形外直線l中線AD延長線交l于D，AAl，BBl，CCl，A，B，C為垂足.ADDD，求證：AABBCC.11如圖，ABC中，BM，CN平分ABC，ACB的外角，AMBM于M，ANCN于N.求證：MN1(ABACBC).212（黃岡市，2002）如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,ABDC,BDDC，且精品設(shè)計(jì)初中數(shù)學(xué)BD平分ABC，若梯形的周長為20cm，求此梯形的中位線長.213（濟(jì)南市，2001）如圖，ABC中，BCa.若D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，11則DE1a；11若D，E分別是DB、EC的中點(diǎn)，則DE2211121a3(a)a；224248137若D，E分別是DB、DB的中點(diǎn)，則DE(aa)a；232233若D，E分別是Dnnn1B、EC的中點(diǎn)，則DE_（n1，且n為整數(shù)）n1nn14（紹興市，2002）如圖，某斜拉橋的一組鋼索a,b,c,