2022年北京四中高二數(shù)學(xué)期末考試卷及答案(一)

1、C.同向D.反向2022 年北京四中高二數(shù)學(xué)期末考試卷及答案（一）考試時(shí)間：120 分鐘姓名： 班級(jí)： 考號(hào)： 題號(hào)得分一二三總分1.下列敘述不正確的是（）A已知，是空間中的兩條直線，若，則直線與B已知 是空間中的一條直線，只有一個(gè)公共點(diǎn)是空間中的一個(gè)平面，若平行或異面，則或 與已知，是空間兩個(gè)不同的平面，若，則，必相交于一條直線已知直線 與平面相交，且 垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，共 30 分）2.已知直線A.C.和互相平行，則（）B.或D.或3.若空間向量a，b 不共線，且a(3xy)bxa3b，則 xyA.1B.2C.4D.64.已知向量

2、不共線，如果，那么（）A.同向B.反向5.已知圓，從圓上任意一點(diǎn)M 向軸作垂線段 MN，N 為垂足，則線段 MN的中點(diǎn)P 的軌跡方程為（）A.B.C.D.6.某省新高考方案規(guī)定的選科要求為:學(xué)生先從物理、歷史兩科中任選一科，再?gòu)幕瘜W(xué)、生物、政治、地理四門(mén)學(xué)科中任選兩科.現(xiàn)有甲、乙兩名學(xué)生按上面規(guī)定選科，則甲、乙恰有一門(mén)學(xué)科相同的選科方法有（）A. 24 種B. 30 種C. 48 種D. 60 種已知一個(gè)圓柱的側(cè)面積等于其表面積的，且其軸截面的周長(zhǎng)為 24，則該圓柱的體積為（）BCD圓E：A. 1與圓F：的公切線的條數(shù)為（）B. 2C. 3D. 49.雙曲線的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P 在橢圓C 的一條

3、漸近線上. O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. 該雙曲線離心率為雙曲線若與雙曲線C 的漸近線相同，則的面積為D.的最小值為 210.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的圖像可能為（）ABCD二、填空題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，共 30 分）11.若則正整數(shù) ，12.在平行六面體 中，則 .在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為 （用數(shù)字作答）橢圓的離心率為16.如圖，梯形 ABCD 中，且平面，沿對(duì)角線 BD 折起，設(shè)折起后點(diǎn) A 的位置為命題中正確的是 .，將ABC平面 BCD，則下列四個(gè)；三棱錐的體積為；平面平面平面在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，若雙曲線的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為 ，則其離心率的值

4、是 若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)，則該雙曲線漸近線的方程為 寒假里 5 名同學(xué)結(jié)伴乘動(dòng)車(chē)外出旅游，實(shí)名制購(gòu)票，每人一座，恰在同一排A、B、C、D、E 五個(gè)座位（一排共五個(gè)座位），上車(chē)后五人在這五個(gè)座位上隨意坐，則恰有一人坐對(duì)與自己車(chē)票相符座位的坐法有 種.已知點(diǎn)F 是雙曲線 的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E 是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)F 且垂直于x 軸的直線與雙曲線交于A、B 兩點(diǎn)，若ABE 是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e 的取值范圍是.20.已知，則.21.如圖，設(shè)點(diǎn)A、B 在軸上，且關(guān)于原點(diǎn)O 對(duì)稱點(diǎn)P 滿足，且的面積為 20三、解答題（本大題共 9 小題，每小題 10 分，共 90 分）（）求點(diǎn)P 的坐標(biāo)；（

5、）以 A、B 為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn) P 的橢圓記為C設(shè)求的取值范圍是C 上一點(diǎn)，且，22.在銳角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為a，b，c，且（1）求角A；.（2）若，求的取值范圍.23.已知拋物線于兩點(diǎn)，.，過(guò)拋物線 C 的焦點(diǎn)F 且垂直于軸的直線交拋物線C求拋物線C 的方程，并求其焦點(diǎn)F 的坐標(biāo)和準(zhǔn)線 的方程；過(guò)拋物線C 的焦點(diǎn)F 的直線與拋物線C 交于不同的兩點(diǎn)A、B，直線交于點(diǎn)M.連接，過(guò)點(diǎn)F 作的垂線與準(zhǔn)線 交于點(diǎn)N.求證：與準(zhǔn)線三點(diǎn)共線.24.已知長(zhǎng)方體 ABCDA B C D ，1111，E 為棱 AB 的中點(diǎn)，F(xiàn) 為線段的中點(diǎn)求證：求直線平面與平面所成角的正弦值25

6、.已知函數(shù).求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；求函數(shù)f(x)在區(qū)間1,3上的最大值和最小值.設(shè)Sn為數(shù)列a 的前n 項(xiàng)和，已知n，（）求，（）求數(shù)列，并求數(shù)列a 的通項(xiàng)公式；n的前n 項(xiàng)和27.已知橢圓圓的短軸長(zhǎng)為 2.（）的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，橢（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線，過(guò)右焦點(diǎn)，且它們的斜率乘積為，設(shè)，分別與橢圓交于點(diǎn)A，B 和C，D.求的值；設(shè) AB 的中點(diǎn)M，CD 的中點(diǎn)為N，求面積的最大值.28.已知，給定個(gè)整點(diǎn)，其中，.（1）當(dāng)時(shí)從上面的 22 個(gè)整點(diǎn)中任取兩個(gè)不同的整點(diǎn)，求的所有可能值；（2）從上面?zhèn)€整點(diǎn)中任取m 個(gè)不同的整點(diǎn)，.（i）證明：存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿

7、足，；（）證明：存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿足，.29.袋中有 10 個(gè)大小、材質(zhì)都相同的小球，其中紅球 3 個(gè)，白球 7 個(gè).每次從袋中隨機(jī)摸出 1 個(gè)球，摸出的球不再放回.求：（）第一次摸到紅球的概率；（）在第一次摸到紅球的條件下，第二次也摸到紅球的概率；（）第二次摸到紅球的概率.0.2022 年北京四中高二數(shù)學(xué)期末考試卷及答案（一）解析一、選擇題1.【答案解析】D【詳解】對(duì)于A，空間兩直線沒(méi)有公共點(diǎn)，由空間兩直線位置關(guān)系的分類知，兩直線平行或是異面直線，A 正確；對(duì)于B，直線與平面有公共點(diǎn)，由直線與平面位置關(guān)系的分類知，直線與平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(直線在平面內(nèi))或僅只一個(gè)，即B 正確；對(duì)于C

8、，兩個(gè)不重合平面有公共點(diǎn)，由平面基本性質(zhì)知，它們有且只有一條經(jīng)過(guò)公共點(diǎn)的公共直線，即C 正確；對(duì)于D，正三棱錐的側(cè)棱垂直于底面三角形與該棱相對(duì)的邊，而在底面三角形所在平面內(nèi)與該邊平行的直線都垂直于這條棱，正三棱錐側(cè)棱不垂直于底面，即D 不正確.故選：D2.【答案解析】C【分析】根據(jù)兩直線平行的條件求解【詳解】或 故選：C3.【答案解析】D時(shí)，兩直線顯然不平行，時(shí)，則，解得4.D5.【答案解析】A【分析】利用相關(guān)點(diǎn)法即可求解.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)， ，所以又點(diǎn) 在圓，解得，上，則故選：A，即.6.【答案解析】D【分析】以甲，乙所選相同學(xué)科是否在物理、歷史兩科中分為兩類，每類中由排列組合公式和基本

9、原理可求【詳解】解：分為兩類，第一類物理、歷史兩科中是相同學(xué)科，則有種選法；第二類物理、歷史兩科中沒(méi)相同學(xué)科，則有所以甲、乙二人恰有一門(mén)學(xué)科相同的選法有故選： 7.【答案解析】D【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為 ，高為 ，種選法， 種，圓柱的側(cè)面積等于表面積的，且其軸截面的周長(zhǎng)是 24，圓柱的體積為故選:D，解得，8.【答案解析】B【分析】求出兩圓的圓心坐標(biāo)與半徑，由圓心距與半徑間的關(guān)系可知兩圓相交，從而得到兩圓公切線的條數(shù)【詳解】解：化為，可知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為 2；又圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為 1而圓 與圓，即相交，則公切線條數(shù)為 2故選： 9.【答案解析】D【分析】根據(jù)雙曲線方程，求出a，b，

10、c，利用離心率公式求解判斷； B. 分別求出兩個(gè)雙曲線的漸近線方程判斷；C. 根據(jù)點(diǎn)P 在漸近線上，又PF 的方程聯(lián)立，求得點(diǎn) P 的坐標(biāo)求解判斷；D. 由求解判斷.，利用直線 PO 與直線的最小值為點(diǎn)F 到漸近線的距離【 詳解】 A. 因?yàn)殡p曲線方程為， 所以，則雙曲線，故正確；與雙曲線 的漸近線方程都為 ，故正確；設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)P 在漸近線上，不妨設(shè)漸近線方程為，即為直線 PO的方程，又因?yàn)?，所以直線 PF 的方程為，由故正確；，解得，即，所以，其中一條漸近線為，則的最小值為點(diǎn)F 到漸近線的距離，即故選：D10.【答案解析】B解析：，故錯(cuò)誤；，所以 為偶函數(shù)，排除A，C；，排除D，故選B二、填

11、空題11.【答案解析】5【分析】按組合數(shù)、排列數(shù)公式列出等式求解即可.【詳解】由得，解得故答案為：512.【答案解析】【分析】在平行六面體中，利用對(duì)角線向量的平方，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律求得結(jié)果.，【詳解】由平行六面體的特征可知所以，利用向量的平方等于向量模，所以，故答案為： .13.【答案解析】15【分析】由二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)有【詳解】二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)為當(dāng) 時(shí)，常數(shù)項(xiàng)故答案為：1514.【答案解析】，可知常數(shù)項(xiàng)的值；，15.【答案解析】2分析：先確定雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離，再根據(jù)條件求離心率.詳解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)到漸近線 即的距離為所以，因此16.【答案解析】【分析】利用線面垂直、面面垂直

12、的判定定理以及性質(zhì)定理可判斷；利用三棱錐的體積公式可判斷.【詳解】解：如圖所示：設(shè)中點(diǎn)為對(duì)，連接， 即，又平面 平面， 平面 ，又 平面 ， ，若 ，平面 ，又平面 ， ，與已知矛盾，所以錯(cuò)誤；,對(duì)， ， ，又 ，所以錯(cuò)誤；對(duì)，平面 平面， 平面 平面 ， ，平面 ，所以正確；對(duì)，平面 ， 平面 ， 平面平面故答案為：.17.【答案解析】【分析】，所以正確將點(diǎn)方程.的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，求出實(shí)數(shù) 的值，進(jìn)而可得出該雙曲線的漸近線【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程得，可得，所以，雙曲線的方程為，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.18.【答案解析】45【分析】先選出坐對(duì)位置的人，再對(duì)剩下

13、四人進(jìn)行錯(cuò)排，最后利用分布計(jì)數(shù)乘法原理求結(jié)果.【詳解】先選出坐對(duì)位置的人，即從5 人中選 1 人，有 5 種可能；剩下四人進(jìn)行錯(cuò)排，設(shè)四人座位為 ，則四人都不坐在自己位置上有這 9 種可能；所以恰有一人坐對(duì)與自己車(chē)票相符座位的坐法有種故答案為：4519.【答案解析】(1,2)20.【答案解析】三、解答題21.【答案解析】（）；（）【分析】（）設(shè)為 ，直線，根據(jù)點(diǎn) 滿足，得到直線的方程的方程為 ，兩方程聯(lián)立用c 表示點(diǎn)P 的坐標(biāo)，再根據(jù)的面積為，由求得c 即可.（）由（）得，P，從而由到橢圓 的方程，然后根據(jù) 求解.【詳解】（）如圖所示：求得a，進(jìn)而得設(shè)，則直線的方程為，直線的方程為由解得所以故

14、的面積所以解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為（）由（）得所以，設(shè)以 為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的橢圓方程為則，又，所以橢圓的方程為所以， 即因?yàn)樗?，所以所以的取值范圍?2.【答案解析】（1）；（2）.【分析】（1）由余弦定理結(jié)合，可得，即，又因?yàn)?，即可得解；?）由正弦定理可得，由，再結(jié)合三角形為銳角三角形可得，即可得解.【詳解】（1）由余弦定理可得，所以，又，所以因?yàn)?為銳角三角形，所以，即 ，又因?yàn)?，所以；?）由（1）知，由 ，可得，,由，且三角形所以，且為銳角三角形，又，所以，所以，所以的取值范圍為.23.【答案解析】（1）拋物線見(jiàn)解析【分析】的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線 方程為（2）證明根據(jù)拋物線通

15、徑的性質(zhì)，得出點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；根據(jù)題意，設(shè)直線，即可求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出焦，與拋物線方程聯(lián)立，求出則，通過(guò)直線相交分別求出和，從而求出和，通過(guò)化簡(jiǎn)求出【詳解】解：（1），即可證出，則，三點(diǎn)共線.故拋物線的方程為：，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線 方程為：（2）設(shè)直線得，聯(lián)立，則，設(shè)，則，法 1：直線，由得，故點(diǎn)，直線 的斜率，則直線 的斜率，直線，則點(diǎn)直線 的斜率.直線的斜率，由 得，則所以 三點(diǎn)共線.，法 2：直線，由 得，故點(diǎn)，由，得.直線 的斜率，直線，得點(diǎn)，由，得.直線 的斜率.直線的斜率，由 得，由，得，則有.所以三點(diǎn)共線.法 3：（1）， ，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，準(zhǔn)

16、線方程為：.（2）設(shè)直線，聯(lián)立得：，設(shè)，直線，當(dāng)時(shí)，直線當(dāng)時(shí)， ，共線.24.【答案解析】解：（1）如圖：取的中點(diǎn)G，連接 GF，GB，則，又，則四邊形為平行四邊形，又面（2）如果建立空間直角坐標(biāo)系,，面，平面；則，則，設(shè)面的法向量為，則設(shè)直線，即與平面，令所成角為，可得，則所以直線，與平面所成角的正弦值.25.【答案解析】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2） 最大值為 18，最小值為.【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值點(diǎn)，從而求出函數(shù)的最值即可【詳解】（1）因?yàn)榱?，解得隨著x 的變化，x，所以.，.，變化情況如

17、下表：100極大值極小值所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以，函數(shù)，在區(qū)間，上的最大值為 18，最小值為.26.【答案解析】（）1,2,【分析】；（） .（）代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到，利用公式案（）直接利用錯(cuò)位相加法得到答案.得到，計(jì)算得到答【詳解】(I). 當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,是首項(xiàng)為 ,（II）設(shè)則即上式錯(cuò)位相減:公比為的等比數(shù)列.,.27.【答案解析】（1） 分析：；（2）；由短軸長(zhǎng)為 2，得到，再由離心率結(jié)合計(jì)算可得橢圓方程；由直線，過(guò)右焦點(diǎn)，設(shè)出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，計(jì)算出弦長(zhǎng)，再由兩直線的斜率乘積為，將弦長(zhǎng)中

18、的斜率變?yōu)榭傻孟?，相加即可得解；解答：解：?）依題意可得解得，故橢圓的方程為；（2）設(shè) 的方程為，聯(lián)立消去 并整理得到，于是由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出同理可得、的坐標(biāo)，觀察坐標(biāo)知的中點(diǎn) 在 軸上，所以整理后利用基本不等式即可得到面積的最值；由知，所以，所以 的中點(diǎn)所以當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為28.【答案解析】（1）2,3,4；（2）（i）證明見(jiàn)解析；（）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）取 時(shí)，即可表示出整點(diǎn)，進(jìn)而算出可能的所有取值；（2）（i）假設(shè)不存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)滿足題設(shè)條件，進(jìn)而得出，與已知 矛盾，結(jié)合反證法，即可證明；（）利用關(guān)系式【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，4 個(gè)整點(diǎn)分別為，即可作出證明.，所以的所有可能的值為；（2）（i）假設(shè)不存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿足即在直線，中至多有一條直線上取多余 1 個(gè)整點(diǎn)，其余每條直線上至多取一個(gè)整點(diǎn)，此時(shí)符合條件的整點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為， 而 ，與已知 矛盾，故存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn).（）設(shè)直線有 個(gè)選定的點(diǎn)，滿足，若，設(shè)上的這，由個(gè)選定的點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，且滿足，則中任意不同兩項(xiàng)之和的不同的值恰有個(gè)， 且 ，可知，存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn).，滿