初等因子的定義

1、初等因子的定義第八章 矩陣 5 初等因子 第1頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 一次因式的方冪（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計算）把矩陣 的每個次數(shù)大于零的不變因子稱為A的初等因子. 分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，所有這些一、初等因子的定義第2頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 9個 則A的初等因子有7個，它們是例1、若12級復(fù)矩陣A的不變因子是:第3頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 設(shè)n級矩陣A的不變因子為已知：將 分解成互不相同的一次因式

2、二、初等因子與不變因子的關(guān)系的方冪的乘積:分析:第4頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 則其中對應(yīng)于 的那些方冪 :就是A的全部初等因子. 注意到不變因子 滿足從而有因此有,第5頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 即同一個一次因式的方冪作成的初等因子中，方次最高的必出現(xiàn)在 的分解式中，次高的必出現(xiàn)在 的分解式中. 如此順推下去，可知屬于同一個一次因式的方冪的初等因子，在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是唯一確定的.第6頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因

3、子 設(shè)級矩陣的全部初等因子為已知.在全部初等因子中，將同一個一次因式 的方冪的那些初等因子按降冪排列，而且當(dāng)這種初等因子的個數(shù)不足n個時，則在后面補(bǔ)上適當(dāng)個數(shù)的1，使其湊成n個，設(shè)所得排列為第7頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 于是令則就是A的不變因子. 第8頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 例1、已知3級矩陣A的初等因子為： 求A的不變因子. 解：作排列得A的不變因子為：第9頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 結(jié)論1、若兩個同級數(shù)字矩陣有相

4、同的不變因子，則它們就有相同的初等因子；反之，若它們有相同的初等因子，則它們就有結(jié)論2、兩個同級數(shù)字矩陣相似可見：初等因子和不變因子都是矩陣的相似不變量.相同的不變因子.它們有相同的初等因子.第10頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 1、(引理1)若多項式 都與 互素，則三、初等因子的求法證：令顯然，第11頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 由于故 因而 另一方面，由于可令其中又由又得第12頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 同理可得即 故第13

5、頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 如果多項式 都與 互素，2、(引理2) 設(shè)則 與 等價.第14頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 證：首先，從而 二階行列式因子相同.其次，由引理1，有從而 的一階行列式因子相同.所以， 與 等價.第15頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 3、(定理9) 設(shè) 將特征矩陣 進(jìn)行初等變換化成對角形然后將主對角線上的元素分解成互不相同的一次因式的方冪的乘積，則所有這些一次因式的方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計算）就是A的全

6、部初等因子. 第16頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 證：設(shè) 經(jīng)過初等變換化成對角形其中 皆為首1多項式，將 分解成互不相同的一次因式的方冪的乘積:第17頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 下證，對于每個相同的一次因式的方冪在 的主對角線上按升冪排列后，得到的新對角矩陣 與 等價.此時 就是 的且所有不為1的 就是A的全部初等因子.標(biāo)準(zhǔn)形，第18頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 為了方便起見，先對 的方冪進(jìn)行討論.于是 且每一個 都與 互素.

7、如果相鄰的一對指數(shù) 則在 中將 與 對調(diào)位置，而其余因式保持不動，令由引理2第19頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 與 等價. 第20頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 等價. 然后對 重復(fù)上述討論.從而 與對角矩陣第21頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 如此繼續(xù)進(jìn)行，直到對角矩陣主對角線上元素所含的方冪是按逆升冪次排列為止.再依次對作同樣處理.最后便得到與 等價的對角陣 都是按升冪排列的，的主對角線上所含每個相同的一次因式的方冪即為 的標(biāo)準(zhǔn)形. 第22頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 例2、求矩陣A的初等因子解：對 作初等變換第23頁，共25頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一第八