典型方程與定解條件

1、典型方程與定解條件第1頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一參考書目梁昆淼. 數(shù)學(xué)物理方法（第三版）. 高等教育出版社，1998。李元杰. 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù). 高等教育出版社，2009。彭芳麟. 數(shù)學(xué)物理方程的MATLAB解法與可視化. 清華大學(xué)出版社，2005。石辛民. 數(shù)學(xué)物理方程及其MATLAB解算.清華大學(xué)出版社， 2011。王元明. 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)（第四版）. 高等教育出版社，2012。第2頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一課程內(nèi)容：研究數(shù)學(xué)物理方程的建立、求 解方法和解的物理意義的分析。 第3頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日

2、，7點(diǎn)31分，星期一第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第4頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一根據(jù)系統(tǒng)邊界所處的物理?xiàng)l件和初始狀態(tài)列出定解條件；主要內(nèi)容從不同的物理模型出發(fā)，建立三類典型方程；提出相應(yīng)的定解問(wèn)題。第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第5頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一1.1 基本方程的建立導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程的一般方法： 確定所研究的物理量； 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系； 劃出研究單元，根據(jù)物理定律和實(shí)驗(yàn)資料寫出 該單元與鄰近單元的相互作用，分析這種相互 作用在一個(gè)短時(shí)間內(nèi)對(duì)所研究物理量的影響， 表達(dá)為數(shù)學(xué)式； 簡(jiǎn)化整理，得到方程。 第一章 典型方程和定

3、解條件的推導(dǎo)第6頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一例 1. 弦的微小橫振動(dòng) 設(shè)有一條拉緊的弦，長(zhǎng)為l，平衡位置與x軸的正半軸重合，且一端與原點(diǎn)重合,確定當(dāng)弦受垂直外力作用后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。假設(shè)與結(jié)論：（1）橫振動(dòng) 坐標(biāo)系oxu，位移u(x,t) x1x2T(x1) T(x2)ux （2）微小振動(dòng)第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第7頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一（3）弦柔軟、均勻. 張力 沿切線方向 , 密度 為常數(shù)；第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)建立方程： 取微元 ，研究在水平方向和鉛垂方向 在不受外力的情況下的運(yùn)動(dòng)情況。uxT(x) Mxx+dx

4、第8頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一牛頓運(yùn)動(dòng)定律： F = ma作用在弧段 上的水平方向的力為 傾角很小，即 近似得 垂直方向的力為（1）第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)于是等式（1）變成由微積分知識(shí)可知，在時(shí)刻t 有（2）等式（2）可以寫成uxT(x) MMxx+dx由于令 ，取極限得略去重力，可得方程其中 。(3)弦振動(dòng)方程（3）中只含有兩個(gè)自變量 和 ，其中 表示時(shí)間， 表示位置。由于它們描述的是弦的振動(dòng)或波動(dòng)現(xiàn)象，因而又稱為一維波動(dòng)方程。第9頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一注1：如果弦上還受到一個(gè)與振動(dòng)方向相同的外力，且外力密度為F(x,

5、t)，外力可以是壓力、重力、阻力，則弦的強(qiáng)迫振動(dòng)方程為F。第10頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一例 2. 膜的振動(dòng)研究平面柔軟均勻薄膜的微小振動(dòng)。第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)待研究物理量: 位移 u (x,y,t),第11頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第12頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一 例3. 聲學(xué)方程 第一章 數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出和定解問(wèn)題Lapalce算子三維波動(dòng)方程 第13頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一 如果空間某物體內(nèi)各點(diǎn)處的溫度不同，則熱量就從溫度

6、較高點(diǎn)處到溫度較低點(diǎn)處流動(dòng)，這種現(xiàn)象叫熱傳導(dǎo)。 考慮物體G 內(nèi)的熱傳導(dǎo)問(wèn)題。函數(shù)u(x,y,z,t) 表示物體G 在位置 M(x,y,z) 以及時(shí)刻 t 的溫度。通過(guò)對(duì)任意一個(gè)小的體積元V內(nèi)的熱平衡問(wèn)題的研究，建立方程。假設(shè)：假定物體內(nèi)部沒(méi)有熱源，物體的熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)，即是各向同性的，物體的密度以及比熱是常數(shù)。熱場(chǎng) 例 4. 熱傳導(dǎo)方程第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第14頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一熱場(chǎng)傅立葉實(shí)驗(yàn)定律:物體在無(wú)窮小時(shí)段dt內(nèi)沿法線方向n流過(guò)一個(gè)無(wú)窮小面積dS的熱量dQ與時(shí)間dt,面積dS,物體溫度沿曲面dS法線方向的方向?qū)?shù)成正比.從時(shí)刻 到時(shí)刻

7、 經(jīng)過(guò)曲面S 流入?yún)^(qū)域V 的熱量為高斯公式第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第15頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一流入熱量使物體內(nèi)溫度變化，在時(shí)間間隔 中物體溫度從 變化到 所需吸收熱量為比熱密度由于所考察的物體內(nèi)部沒(méi)有熱源, 根據(jù)能量守恒定律可得第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)由于時(shí)間 , 和區(qū)域 V 都是任意選取的,并且被積函數(shù)連續(xù), 于是得(非均勻的各向同性體的熱傳導(dǎo)方程)對(duì)于均勻的各向同性物體， k為常數(shù)，記則得齊次熱傳導(dǎo)方程:三維熱傳導(dǎo)方程第16頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一若物體內(nèi)部有熱源 F(x,y,z,t), 則熱傳導(dǎo)方程為其中第

8、一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第17頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一在上述熱傳導(dǎo)方程中, 描述空間坐標(biāo)的獨(dú)立變量為 , 所以它們又稱為三維熱傳導(dǎo)方程. 當(dāng)考察的物體是均勻細(xì)桿時(shí), 如果它的側(cè)面絕熱且在同一截面上的溫度分布相同, 則可以得到一維熱傳導(dǎo)方程 類似, 如果考慮一個(gè)薄片的熱傳導(dǎo), 并且薄片的側(cè)面絕熱, 可以得到二維熱傳導(dǎo)方程第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第18頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一二維熱傳導(dǎo)方程 維熱傳導(dǎo)方程 三維熱傳導(dǎo)方程 第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第19頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一 當(dāng)我們

9、考察氣體的擴(kuò)散,液體的滲透, 半導(dǎo)體材料中的雜質(zhì)擴(kuò)散等物理過(guò)程時(shí), 若用 表示所擴(kuò)散物質(zhì)的濃度, 則濃度所滿足的方程形式和熱傳導(dǎo)方程完全相同. 所以熱傳導(dǎo)方程也叫擴(kuò)散方程.第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第20頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo) 例5 靜電場(chǎng)的勢(shì)方程 在區(qū)域 內(nèi), 靜電場(chǎng)強(qiáng)度為 , 介電常數(shù) , 電荷密度為 ,求靜電場(chǎng)的勢(shì)滿足的方程即奧氏公式故第21頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一第一章 數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出和定解問(wèn)題故即 Laplace方程 Poisson方程當(dāng)內(nèi)沒(méi)有電荷時(shí)靜電場(chǎng)是有勢(shì)場(chǎng)，故存在勢(shì)函數(shù)

10、u,有第22頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一波動(dòng)方程 聲波、電磁波、桿的振動(dòng)；熱傳導(dǎo)方程 物質(zhì)擴(kuò)散時(shí)的濃度變化規(guī)律, 長(zhǎng)海峽中潮汐波的運(yùn)動(dòng)， 土壤力學(xué)中的滲透方程;Laplace方程 穩(wěn)定的濃度分布, 靜電場(chǎng)的 電位, 流體的勢(shì).總 結(jié)：第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第23頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一一維齊次波方程：一維齊次熱方程：二維Laplace方程：第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第24頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一1.2 初始條件與邊界條件 初始條件 邊界條件第25頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)

11、31分，星期一第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第26頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一第27頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一一 . 初始條件及Cauchy問(wèn)題 描述某系統(tǒng)或某過(guò)程初始狀況的條件稱為初始條件， 初值條件與對(duì)應(yīng)方程加在一起構(gòu)成初值問(wèn)題 (或稱Cauchy問(wèn)題）。 % ; ;# &*第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第28頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一初始位移、初始速度分別為 ,稱波動(dòng)方程的初值條件. 弦振動(dòng)問(wèn)題第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo) 熱傳導(dǎo)方程稱為熱傳導(dǎo)方程的初值條件.第29頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5

12、月20日，7點(diǎn)31分，星期一 不同類型的方程，相應(yīng)初值條件的個(gè)數(shù)不同。 初始條件給出的應(yīng)是整個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而非 系統(tǒng)中個(gè)別點(diǎn)的初始狀態(tài)。第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第30頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一 例.長(zhǎng)為 l 兩端固定的弦，初始時(shí)刻將弦的中點(diǎn)拉起 h( )( )xu0lh正確寫法第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第31頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一（I）第一類邊界條件*（II）第二類邊界條件（III）第三類邊界條件二. 邊界條件描述某系統(tǒng)或過(guò)程邊界狀況的約束條件稱為邊界條件.第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第32頁(yè)，共55頁(yè)，20

13、22年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一例1.長(zhǎng)為l的弦，一端固定，一端以 sint 規(guī)律運(yùn)動(dòng) 第一類邊界條件第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)例2.長(zhǎng)為l的桿，一端溫度為0，一端溫度為 (t )第33頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一弦振動(dòng)問(wèn)題：弦的一端（如 x = l）可以在垂直 x 軸的直線上自由的上下滑動(dòng)，且不受垂直方向的外力，我們稱這種端點(diǎn)為“自由端”。第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第二類邊界條件在這一端點(diǎn)，邊界上的張力沿垂直于x軸的方向的分量為0，因此在方程的推導(dǎo)中知 , 即第34頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一當(dāng)該點(diǎn)處的張力沿垂直x 軸

14、的方向的分量是 t 的已知函數(shù) 時(shí)，有*第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第35頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一熱傳導(dǎo)問(wèn)題：如果物體和周圍介質(zhì)處于絕熱狀態(tài)，即在表面上熱量的流速始終為0，則由方程推導(dǎo)過(guò)程可知，有邊界條件當(dāng)物體與外界接觸的表面 S 上各單位面積在單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)的熱量已知時(shí)，由傅立葉定律，在 S 上有 ，這表明溫度沿外法線方向的方向?qū)?shù)是已知的，故邊界條件可以表示為*第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第36頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一第三類邊界條件 例 (1) 弦的振動(dòng)（端點(diǎn)彈性連結(jié)）彈性力張力第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第37頁(yè)

15、，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一(2) 熱傳導(dǎo)問(wèn)題（端點(diǎn)自由冷卻）散失的熱量?jī)?nèi)部流到邊界的熱量即第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第38頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)其它附加條件（1）銜接條件第39頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一（2）自然邊界條件 第40頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一弦振動(dòng)的Cauchy問(wèn)題第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)只包含初值條件的定解問(wèn)題稱為初值問(wèn)題初值問(wèn)題(Cauchy問(wèn)題)第41頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一包含

16、初值條件和邊界條件的定解問(wèn)題稱為混合問(wèn)題 (初邊值問(wèn)題)熱傳導(dǎo)方程的混合問(wèn)題第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第42頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一波動(dòng)方程的混合問(wèn)題只附加邊界條件的定解問(wèn)題稱為邊值問(wèn)題. 初值條件、邊界條件統(tǒng)稱為定解條件 .初值問(wèn)題、邊值問(wèn)題、混合問(wèn)題統(tǒng)稱為定解問(wèn)題.第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第43頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一1.3 二階線性偏微分方程的分類、化簡(jiǎn)及疊加原理第44頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一一般線性二階偏微分方程（n個(gè)自變量）兩個(gè)自變量二階線性偏微分方程的一般形式 第一章 典型

17、方程和定解條件的推導(dǎo)第45頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)橢圓型拋物型第46頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第47頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一第48頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第49頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第50頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一 線性方程的疊加原理稱形如的符號(hào)為微分算子。第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第51頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一如二階偏微分方程可簡(jiǎn)寫為第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第52頁(yè)，共55頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)第53