材料選擇題的常見解法

1、作者：huzm 第 1 頁共 30 頁選擇題的幾種常見解法一、特殊值代入法注 1：當尋找對一類量都成立（或一樣）的結論時，可以通過一組具體的量得到相應的結果這一組具體的量可以是數(shù)值、函數(shù)、矩陣、向量、圖形、甚至位置等注 2：對于選項是函數(shù)等式或函數(shù)不等式，可以通過取具體的點排除掉錯誤選項（一）特殊數(shù)值例 111（2005）已知 x y 5 ， z y 10 ，則 x2 y2 z2 xy yz zx （）A 50B 75C100D105答：B分析：本題是 2005 年的一道考題，主要考查了兩數(shù)差的平方公式根據題中條件，如何將平方交叉乘積項與兩數(shù)之差聯(lián)系起來是求解本題的關鍵由于 x y 5, z

2、y 10 ，所以 z x 5 ，從而x2 y2 z2 xy yz zx 1 (x y)2 (z y)2 (z x)2 75 2故正確選項為 B特殊值代入法：令 y 0 ，則 x 5 ， z 10 ，所以x2 y2 z2 xy yz zx 25 100 50 75 例 112（2006）設 n 為正整數(shù)，在1 與 n 1 之間n 個正數(shù)，使這n 2 個數(shù)成等比數(shù)列，則所的n 個正數(shù)之積等于（nA (1 n)2）B (1 n)nC (1 n)2nD (1 n)3n答：A分析：（本題是代數(shù)題考查了乘方運算的性質、等比數(shù)列的概念和通項公式）設此等比數(shù)列的公比為q ，則 qn1 n 1，所以1n n1

3、)2n n 12 2n 1的數(shù)為 2 (1 1)2 即只有選項 A 滿足特殊值代入法：取n 1 ，則數(shù)列為1, 2, 2 ，作者：huzm 第 2 頁共 30 頁例 113（2003）設點(x0 , y0 ) 在圓 x2 y2 1 的，則直線 x0 x y0 y 1 和圓（）A不相交B有一個交點C有兩個交點且兩交點間的距離小于2D有兩個交點且兩交點間的距離大于2答：A分析：查了兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，及判斷直線與圓的位置關系的方法根據題意可知 x2 y2 1 ， x2 y2 1 的圓心 (0, 0) 到直線 x x y y 1 的距離是00001d 1，所以直線與圓不相交故正確選

4、項為Ax2 y200特殊值代入法：取 x 1 , y 0 ，則點(x , y ) ( , 0) 在 x y 1 內，這時直線 x 122x y y 100000022變?yōu)?x 2 由此便知正確選項為 A例 114.（2010）若某公司有10 個股東，他們中任意6 個股東所持的和都不少于總股份的50 0 0 ，則持股最多的股東所持占總的最大百分比是（）A 25 0 0答 AB. 30 0 0C. 35 0 0D 40 0 0分析：不妨設a1 a2 a9 a10 .因為a1 a2 a6 50 0 0 ， a7 a8 a9 25 0 0 ，所以a10 25 0 0 .特殊值代入法：設a1 = a2

5、= = a9 a10 .因為a1 a2 a6 50 0 0 ，所以a1 a2 a9 75 0 0 ，從而 a10 25 0 0 .例 115已知a 0, b 0 ，且 a b 2 ，則（）(A) ab 12答：C(B) ab 12(C) a2 b2 2(D) a2 b2 3作者：huzm 第 3 頁共 30 頁 a b 2分析：因為ab ( ab )2 1 ，所以a2 b2 (a b)2 2ab 4 2ab 2 2特殊值代入法：取a 0, b 2 ，則排除選項 B，D取a b 1 ，則排除選項 A：a2 b2 表示的是點(a, b) 到原點距離的平方，其最數(shù)形B小值就是原點 O 到直線 a b

6、 2 的距離的平方。由圖可知a2 b2 2 。Ca+b=2例 116今有a, b, c, d , e 五個球，己知a 球比b 球大； c 球的半徑是a, b 兩球半徑的平均值；d 球的表面積是a, b 兩球表面積OA的平均值；e 球的體積是a, b 兩球體積的平均值，則這五個球從大到小排列的次序是(A) a, c, d , e, b (B) a, d , e, c, b(C) a, e, d , c, b (D) a, c, d , e, b 答：C。特殊值代入法：取a 3 ， b 1 ，則c 2 ， d 5 ， e 3 14 例 117（200711）x 1mn當 x 1 和 x 2 時,恒

7、成立，則（ A） 2A m 2, n 3C m 2, n 3B m 3, n 2D m 3, n 2分析：考查分式運算，因式分解，待定系數(shù)法等x 1mn m(x 2) n(x 1) (m n)x (2m n) ， 2 2(所以， (m n)x (2m n) x 1，于是比較系數(shù)得m n 1, 2m n 1 ，解得 m 2, n 3 特殊值代入法：令 x 1 得 m n 0 ，令 x 0 得 m n 1 ，解得m 2, n 3 2322 , 223 ,4例 118設0 x y 則sin y, sin(x y), cos(x y) 從小到大的次序為（）A cos(x y) sin(x y) sin

8、 yC sin(x y) sin y cos(x y)B sin y sin(x y) cos(x y)C sin y cos(x y) sin(x y)答：A特殊值代入法：取 x , y 2 ，則63作者：huzm 第 4 頁共 30 頁sin y 3 ， sin(x y) 1 ， cos(x y) 3 。222可知正確選項為 A例 119.（2010）若a, b, c, d 成等比數(shù)列，則函數(shù) y 1 ax3 bx2 cx d （3）A有極大值，而無極小值B無極大值，而有極小值C有極大值，也有極小值D無極大值，也無極小值答：D分析：因為 y 1 ax3 bx2 cx d 1 ax3 aqx

9、2 aq2 x aq3 ，所以33y ax3 2aqx aq2 a(x q)2 。即 y 不變號，故函數(shù)沒有極值點。特殊值代入法：取a b c d 1 ，則y 1 ax3 bx2 cx d 1 1 ，33y 1)2 0 ，即函數(shù) y 13例 1110（2012） 1 單調遞增的數(shù)陣中，每行、每列的三個數(shù)均成等比數(shù)列如果數(shù)陣中所1有數(shù)的乘積等于，那么a （）22512 a11a12a13 aaa23 2122aa32a3133A 18B 14C 12D1分析（代數(shù)：等比數(shù)列）根據題意a a a a3 ， a a a a3 a3 ，且 a a a2 ，所以， a a a11 12 131221 2

10、2 232231 32 333212 3222a a a a a a a a a a3 a3 a3 a9 11 12 1321 22 2331 32 3312 22 3222由 a9 ，得a 1 122225122答：C特殊值代入法：取a c (1 i 3, 1 j 3) ，則c9 ，所以 a c 1 1ij225122例 1111（2012）一次有四個候選人甲、乙、丙、丁，若投票結果是：丁得票比乙多，作者：huzm 第 5 頁共 30 頁甲、乙得票之和超過丙、丁得票之和，甲、丙得票之和與乙、丁得票之和相等，則四人得票數(shù)由高到低的排列次序是（）A甲、丁、丙、乙B丁、乙、甲、丙C丁、甲、乙、丙D

11、甲、丁、乙、丙分析（代數(shù)：不等式性質）由題意，得丁 乙，甲 乙 丙 丁，甲 丙 乙 丁，（1）（2）（3）由(2) (3) ，得甲 ?。挥?2) (3) ，得 乙 丙（4）由（1），（4）可知甲 丁 乙 丙答：D特殊值代入法：設甲、乙、丙、丁的得票數(shù)分別 x, 3, y, 6 依題意x 3 y 6 ， x y 9 9 x y 2x 3 ，故 x 6 ， y 3 所以甲 丁 乙 丙所以（二）特殊函數(shù)例 191（2003）函數(shù) y f (1 x) 與 y f (1 x) 的圖形關于（ C ）A直線 x 1 對稱 C直線 x 0 對稱分析：記 g(x) f (1 x), h(x) f (1 x) ，

12、由于B直線 x 1 對稱D直線 y 0 對稱g(x) f (1 x) f 1 (x) h(x) ，所以曲線 y g (x) 上的點(x, g(x) 關于直線 x 0 的對稱點(x, g(x) ( x, h(x) 在曲線 y h(x) 上，即函數(shù) y f (1 x) 與 y f (1 x) 的圖形關于直線 x 0 對稱故正確選項為 C特殊值代入法：作為選擇問題，利用特殊值代入法處理本題是最有效的如取 f (x) x ，則 y f (1 x) 1 x 與 y f (1 x) 1 x 是兩條關于 y 對稱的直線作者：huzm 第 6 頁共 30 頁例 192已知函數(shù) f (x) 是定義在(, ) 上

13、的偶函數(shù), 且在0, ) 上單調遞增. 若實數(shù)a滿足 f (log2 a) f (1) ,則 a 的取值范圍是1A 1 , 2B (0 , 2C 1 , 22答：CD0 , 2分析：因為 f (log2 a) f (1) 且 f (x) 是在0, ) 上單調遞增的偶函數(shù)，所以當log2 a 0 時， log2 a 1 。即1 a 2 。當log a 0 時， log a 1。即 1 a 1 。2221綜上可知a 的取值范圍是 , 2 。2特殊值代入法：取 f (x) x2 ，則(log a)2 1 ，即1 log a 1 。所以21 a 21 。22例 193（2009）設函數(shù) g(x) 在

14、x 0 點某鄰域內有定義若lim x g(x) 1 成立，則（）sin xx0A g(x) 在 x 0 點連續(xù)，但不可導B g(x) 在 x 0 點可導C lim g (x) 存在，但 g(x) 在 x 0 點不連續(xù)x0D x 0 時， g(x) 是 x 的高階無窮小【分析】本題是微積分中極限部分的無窮小比較問題，考查了極限四則運算及高階無窮小的概念因為lim x g(x) 1 ，所以 lim g( g(x) 1 1 0 ，即 g(x) 是sin x 的sin xx0 sinx0高階無窮小(x 0) ，從而是 x 的高階無窮小正確選項為Dx2 ,x 0,x 0,x g(x)特殊值代入法：取 g

15、(x) 1 ，但選項 A，B，C 都不成立則 limx0sin x A,排除法：根據極限概念，函數(shù)在一點的極限與函數(shù)在這一點的情況無關，而選項 A，B，C都牽扯到了 g(x) 在 x 0 處的值，所以不會成立例 194（2005）設 f (x) 在點 x 0 處可導，且 f ( 1 ) 2 (n 1, 2,3,) ，則 f (0) （）nnC 2A 0B1D 3答：C分析：主要考查了導數(shù)的概念和可導與連續(xù)的關系作者：huzm 第 7 頁共 30 頁因為函數(shù) f (x) 在點 x 0 處可導，所以其在點 x 0 處連續(xù)，從而1f ( ) f (0)n12f (0) lim f ( ) lim 0

16、 ， f (0) lim 2 1nnn nnn即正確選項為 C特殊值代入法：作為選擇題，本題的簡單方法是取 f (x) 2x ，則 f (x) 滿足題中條件，且f (x) 2 ，特別地有 f (0) 2 f ( x) f ( x) 等于（例 195設 f (0) 1, , 為常數(shù)，且 0 ，則 limx0B ）x1 11 1(A) (B) (C)(D)f ( x) f (特殊值代入法：取 f (x) x ，則limx0 xxx0例 196.設函數(shù) f (x) 可導，且 f (0) a 若 g(x) f (sin(cos x) ，則 g ( ) 2B aD 2aA aC 2a答：B分析：因為 g

17、(x) f (sin(cos x) ，所以g(x) f (sin(cos) 從而 g ( ) 2特殊值代入法：取 f (x) ax ，則 f (0) a ，且 g(x) f (sin(cos x) a sin(cos x) ，所以g(x) a cos(cos x) (sin x) ， g ( ) a cos(cos ) (sin ) a 。222例 197（2006）f (a 1 )設 f (x) 0 ，且導數(shù)存在，則limn ln n （）f (a)nf (a)C ln f (a)A 0B Df (a)答：D分析：主要考查了導數(shù)定義和復合函數(shù)的鏈導法則f (a 1 )ln f (a 1 )

18、ln f (a)因為limn ln n limn1nf (a)nn作者：huzm 第 8 頁共 30 頁f (a) ， ln f (x)xa f (a)所以正確選項為 D特殊值代入法：由于本題中的 f (x) 是滿足一定性質的一類函數(shù)，所以利用特殊值代入法應該有效考慮到指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，取 f (x) ex ，則f (a 1 )a 11limn ln n limn ln e limn ln en limn 1 1 ，neaf (a)nnnnn這樣就排除了選項 A，B，C故正確選項為 D例 198（2003）如果 f (x) 在 x0 處可導， f (x0 ) f (x0 x) f

19、(x0 ) ，則極限f (x0 ) df (x0 ) （limx0）xA等于 f (x0 )B等于1C等于0D不存在答：C分析：考查了微分的函數(shù)可微的概念和微分的定義及可導與可微的關系因為 f (x) 在 x0 處可導，所以可微，即f (x0 ) f (x0 x) f (x0 ) df (x0 ) o(x) ，f (x0 ) df (x0 ) lim o(x) 0 故正確選項為C所以 limx0 xxx0) x0 x ， df (x0 ) f (特殊值代入法：取 f (x) x ，則f (，所以f (x0 ) df (x0 ) 0 limx0 xf 2 (h) 2例 199（2008）若函數(shù)

20、f (x) 可導，且 f (0) f(0) 2 ，則lim=（）hh0C 2 2A 0B1D 4分析：本題是微分學題，考查了連續(xù)概念和導數(shù)定義f 2 (h) 2f (h) 2 lim( f (h) 2)limh0hf (h) hh0f (0) ( f (h) 2) limhh0 f (0)( f (0) 2 ) 2( 2 2) 4.作者：huzm 第 9 頁共 30 頁故正確選項為特殊值代入法：取 f (x) 2(x 1) ，則 f (0) f (0) 2 ，且f 2 (h) 2 2(h 1)2 2h2 2h limh0 2 limh0 4 limh0hhh故正確選項為例 1910.（2010

21、）設函數(shù) g(x) 導數(shù)連續(xù)，其圖像在原點與曲線 y ln(1 2x) 相切若函數(shù) g (x) ,x 0,x 0B 0f (x) 在原點可導，則a （x a,）A 2C1D 2答：D2分析：因為 g(0) ln(1+0）=0 ， g(0) 2 ，1 0所以 a lim g(x) lim g (x) g(0) g(0) 2 xxx0 x0特殊值代入法：取 g(x) ln(1 2x) ，則 a lim f (x) lim ln(1 2x) 2 xx0 x0f 2 (x) 2 8 ，則 f (2) （例 1911（2012）若 f (x) 是非負連續(xù)函數(shù)，且limx2）x2 4A 4B 2C1D 2

22、分析（微積分導數(shù)部分：導數(shù)定義、可導必連續(xù)性質、連續(xù)定義）因為 f (x) 是非負連續(xù)函數(shù)，所以lim f (x) f (2) 0 x2又，所以 f (2) 2 ，且f 2 (x) 2f (x) f (2) f (x) 2limx2 2f (x) f (2) 2 lim8 x 22x2f (x) f (2) 4 ，即 f (2) 4 所以 limx2x 2答：Af 2 (x) 2f 2 (x) 2 8 ，所以可令 8 ，即特殊值代入法：因為limx2x 42x 42作者：huzm 第 10 頁共 30 頁f 2 (x) 2 2(x2 4) 2 所以2 f (x) f (x) 4 2x 又 f

23、(2) 2 ，所以 f (2) 4 例 1912設 f (x0 ) f (x0 ) 0, f (x0 ) 0 , 則（）A x0 是 f (x) 的極大值點B x0 是 f (x) 的極大值點C x0 是 f (x) 的極小值點D x0 是 f (x) 的拐點答：D分析：本題主要考查了導數(shù)的定義、極限的保序性質、判斷一個點是否是函數(shù)拐點的充分條件(x0 ) lim f (x) 0 ，根據極限保序性可知，當 x x 時，由 f (0 x xx00f (x) 0 ；當 x x0 時， f (x) 0 ，所以 x0 是 f (x) 的拐點由于當 x x0 時， f (x) 0 ，所以當 x x0 時

24、， f (x) f (x0 ) 0 類似地可知當 x x0時， f (x) f (x0 ) 0 故 f (x) 在 x0 兩側同號， x0 不是 f (x) 的極值點綜上可知正確選項為D(0) 0 ，特殊值代入法：取 f (x) x3 ，則 f (x) 滿足條件x 0 是f (x) x3 的拐點，但非極值點例 1913.（2011）若 f (x) 在 x0 處可導，且 f (x0 ) a，f (x0 ) b，而f (x) 在 x0 處不可導，則（）.A. a 0，b 0B. a 0，b 0C. a 0，b 0D. a 0，b 0答：B特殊值代入法：例如取 f (x) x ，則 f (x) 在

25、x0 0 處可導，但| f (x)| 在 x0 0 處不可導這時 f (0) 0 ， f (0) 1 0 例 1914（2005）lim f (x) 1，則對任意常數(shù)a 必有x若 f (x) 的二階導數(shù)連續(xù)，且作者：huzm 第 11 頁共 30 頁lim f (x a) f (x) （x）D af (a)A aB1C 0答：A分析：主要考查了微分中值定理根據微分中值定理可知，存在介于 x 和 x a 之間的 使得f (x a) f (x) f ( )a lim f (x) 1，所以 lim f (x a) f (x) lim f ( )a a 由于xxx故正確選項為 A1特殊值代入法：取 f

26、 (x) 1 ，則2 xlim f (x) 1又 f (x，所以lim f (x a) f (x) lim x a x x a x x xa lim a a 。x a x x 或：取 f (x) 1 1 ，則 f (，所以xlim f (x a) f (x) lim x a ln(x a) x ln xxx lim a ln(1 a ) a 。xx例 1915（2005）f x 在0, a 內嚴格單調遞增，且 f 0 0 ， f a a ，若 g x 是 f x設連續(xù)函數(shù) y a 的反函數(shù)，則f x g x dx =()0f 2 a g 2 a f 2 a ABaaf xdx C 2D2g x

27、 dx00)(答：B分析：主要考查了反函數(shù)的概念、定積分的幾何意義和定積分的換元積分法與分部積分法a解法 1：如圖，根據定積分的幾何意義，f (x)dx 表示a0f (a) a的是圖中區(qū)域 D1 的面積， 0g( y)dy g(x)dx 表示的0圖中區(qū)域 D2 的面積，二者之和正好是邊長為 f (a) a 的正方形面積 f 2 (a) 故正確選項為 BD2D1作者：huzm 第 12 頁共 30 頁排除法：由于在本題中 f (x), g(x) 地位對稱，所以選項（C）(D)都不成立取 f (x) x ，則g(x) x ，這時可知選項（A）也不成立，故正確選項為 B特殊值代入法：由于本題中的 f

28、 (x) 也只是滿足一定條件的一類函數(shù)，利用特殊值帶入法肯定能得到正確選項取 f (x) 1 x2 ，則 y f x 在0, a 內嚴格單調遞增，且 f 0 0 ，af a a ，這時 g(x) ax ，所以12a f (x) g(2 ax dx a a a f 2 (a) 2223301x11例 1916（樣題）如果函數(shù) f (x) 在區(qū)間0,1 上連續(xù)，且f (x)dx a ，則f ( x )dx 001x111f ( x )dx 2f ( x )d x 2f (t)dt 2a 分析：0001特殊值代入法：取 f (x) a ，則f (x)dx a ，且01x1 2a x10 2af (0

29、 x1例 1917已知 f (x)dx 1 ，求f (cos22的值001f (x)d x 1 ，所以分析：因為0 20 x) f (u)du 1222 f (cos x)d(cosf (cos20011特殊值代入法：取 f (x) 1 ，則 f (x)dx 1 ，且020 2f (cos2 2 sin 2 100例 1918（2004）dx 1 ，則f (cos xdx （ C ）設 f (x) 為連續(xù)函數(shù)，且f (00C 1A 0B1*D 分析：因為0dx f (cos xdx f (sin x) f (u)du 0f (0000dx 1 ，所以f (cos xdx 1 且f (00作者：

30、huzm 第 13 頁共 30 頁1特殊值代入法：取 f (x) ，則f ( 1，且d20f (coscos xdx0 1 (2) 1.例 1919（2012）若函數(shù) f (x) 的二階導數(shù)連續(xù)，且滿足 f (x) f (x) x ，則f (（）f () f ()A f () f ()B 2f () f ()C f () f ()D 2分析（微積分定積分不分：分部積分法、奇函數(shù)定積分的性質）由分部積分法，得 f (x) sin x f (f ( f (x) cos x f ( (因為 f (x) f (x) x ，且 0 ，所以 () f (即答：B特殊值代入法：取 f (x) x ，則 0

31、排除掉選項 C,Df (（三）特殊圖形（位置）例 71（2012）若三角形 ABC 中，角 A, B, C 的對邊分別為a, b, c ，則表達式abc(cos A cos B cos C ) 的值為（）a2 b2 c2A 12abB 23cD 32C1分析（三角函數(shù)：余弦定理）:因為b2 c2 a2a2 c2 b2a2 b2 c2cos A ， cos B ， cos C ，2bc2ac2ab作者：huzm 第 14 頁共 30 頁所以abc(cos A cos B cos C )a2 b2 c2abcabca2 b2 c2 1a2 b2 c22abc2答：A特殊值代入法：取a b c 1，

32、則abc(cos A cos B cos C ) 1 3 1 1 a2 b2 c2abc322例 72（2012）在直徑為 D 的大圓內作兩兩外切的n 個小圓，小圓的圓心都在大圓的同一n直徑上，兩端的小圓又分別內切于大圓若第k 個小圓的周長為lk ，則lim lk （）n k 1B等于2DC等于 DA等于DD不存在分析（微積分極限部分：極限直觀概念，平面幾何：圓的周長）(k 1, 2, n) ，則其周長為設第k 個小圓的直徑為 Dklk Dk ，所以nnnlk Dk Dk D k 1k 1k 1n故 lim lk lim D D n k 1n答：A特殊值代入法：設n 個小圓的直徑相等，均為 D

33、 ，則它們的周長之和為n( D ) D nn例 73（2004）ABC 中， AB 5 ， AC 3 ，A x ，該三角形 BC 邊上的中線長是 x的函數(shù) y f (x) ，則當 x 在(0, ) 中變化時，函數(shù) f (x) 取值的范圍是（）A (0, 5)B (1,)C (3, 4)D (2, 5)答：BC特殊值代入法：如圖，當A x 在(0, ) 內變化時，3f(x)由于 lim f (x) 4 ， lim f (x) 1 ，所以 BC 邊上的中x0 xBA5線長 f (x) 的變化范圍是(1, 4) 故正確選項為 B作者：huzm 第 15 頁共 30 頁CDABABCDABCD當 x

34、0 時，中線長 AD 4 ，當 x 時，中線長 AD 1 例 74.（2007）在ABC 中， A : B : C 3 :2 :7 , 如果從 AB 上的一點 D 做射線l ，交 AC 或 BC 邊于點 E 使ADE 60 ，且l 分ABC 所成兩部分的面積相等，那么（ B ）A l 過C 點（即 E 點與C 重合）B l 不過C 點而與 AC 相交C l 不過C 點而與 BC 相交D l 不存在分析：本題是幾何題，考查平面三角形的基本性質由A : B : C 3 :2 :7 ,A 0 ,B 2 150 300 , C 7 150 1050 C過C 作CD , 使ADC 60 , 因此BCD

35、ADC B 300 , 從而有CD BD ;BADACD 1050 300 750 A , 可見,AD CD BD 由此可知， ADC 的面積大于ABC 的一半因此題設中射線l 不過C 點而與 AC 相交x2y2例 75.（2009）設雙曲線 1 的左、右焦點分別是 F , F 若 P 是該雙曲線右支上a2b212異于頂點的一點，則以線段 PF2 為直徑的圓與以該雙曲線的實軸為直徑的圓的位置關系是（）A外離B外切C相交D內切特殊值代入法：取a 3, b 4 ，則右焦點為(5, 0) 再取 P (5, 16) ，則以 PF 為直徑的圓的23作者：huzm 第 16 頁共 30 頁 8 28289

36、17852 3 ，這與兩圓的半徑之和相圓心坐標為(5, ) ，兩圓心的距離是3 3 933同，所以兩圓外切例 76.（2010）正三角形 ABC 中， D, E 分別是 AB, AC 上的A點， F , G 分別是 DE ， BC 的中點。已知 BD 8 ， CE 6 ，則FG DFEA. 13B. 37CBGC. 48D. 7答：B特殊值代入法：取三角形的邊長為8 ，這時 D 與 A 重合，點 F 在邊 AC 上由CF 7 ，CG 4 , C 60 ,得 GF 2 42 72 2 4 7 cos 60 37 即GF 37 特殊值代入法：取三角形邊長為12 ，以 G 為原點， BC 為 x 軸

37、建立平面直角坐標系，則21 7D(2, 4 3) ， E(3, 3 3) ，所以 F ( ,3) ， GF 2 2 2 2例 77. （2011）如圖，面積為9 平方厘米的正方形 EFGH 在面積為25 平方厘米的正方形BCABCD 所在平面上移動，始終保持 EF / AB ，記線段CF 的中GF點為M ， DH 的中點為 N ，則線段MN 的長度是（）厘米.EH AND752734732254A.B.C.D.y答：BC特殊值代入法：考慮的特殊位置，并建立的F坐標系由題知，正方形 EFGH 的邊長為3 ，正方形 ABCD 的邊長為5 所以點M 的坐標為( 5 , 4) ，點 N 的坐標為(4,

38、 0) 所2以xHN D(4,0)| MN | (4 5 )2 (0 4)2 73 22M(2.5,4)M作者：huzm 第 17 頁共 30 頁（四）線性代數(shù)中的特殊值代入法x01111x00 x11110 x例 51(2007) 行列式展開式中的常數(shù)項為（ D ）A 4B 2C1D 0分析（本題考查了行列式按行按列展開的性質）將題中的行列式按第一列展開，去掉系數(shù)是 x 的項，得x011110111 ，10 x01111x00 x11110 x10 x111x10 x11的常數(shù)項為1 1 0 ，1而 11 的常數(shù)項也為0 ，所以的常數(shù)項是0 0 x0故選（D）x01111x00 x11110

39、 x0011110000111100的常數(shù)項是它在 x 0 時值，即特殊值代入法：，由于此行列式的第一行與第二行相同，故其值為0 例 52（2005）已知 X 為 n 維列向量， X T 為 X 的轉置， En 為矩陣，若G XX T ，則G2 等于（）B GA GC1D En分析： G2 TX T G ，即正確選項為 A作者：huzm 第 18 頁共 30 頁1 1 00 0 0000 0 ，所以G2 G特殊值代入法：取 X ，則G XX T 0 00 0 0 0 例 53（2009）已知 A (aij ) 為3 階矩陣，AT A E（ AT 是 A 的轉置矩陣，E 是矩陣）若a11 1 ，

40、 b (1, 0, 0)T ，則方程組 AX b 的解 X （）A (1,1, 0)TB (1, 0,1)TC (1, 1, 0)TD (1, 0, 0)T【分析】本題是線性代數(shù)中矩陣與方程組部分，考查了矩陣的運算（轉置、乘法、逆矩陣）與方程組解的概念因為 AT A E ，所以 A1 AT ，且 A 的行向量與列向量均是向量，又 a11 1 ，所 100以 A 0 aa23 22 0a32a33 11 100由 Ax b 得 x A1b AT b 0 0 0 aa32 22 0 0 a23a033 正確選項為 D 1 10 1 100 010特殊值代入法：取 A 01 0 ，則 AT A E

41、，且 x AT b 00 0 0 01 01 0 0 0 例 54. 設 A, B 都是 n 階非零矩陣，且 AB O ，則 A 和 B 的秩（）B都小于nA必有一個等于零C一個小于n ，一個等于nD都等于n分析：本題主要考查了矩陣秩的性質因為 AB O ，所以 r( A) r(B) n ，又因為 A, B 都是 n 階非零矩陣，所以 r( A) 1 ，r(B) 1，從而可知正確選項為 B特殊值代入法：因為 A, B 都是n 階非零矩陣，所以r( A) 1， r(B) 1，從而排除了選項 A；r( A) n ，則矩陣 A 可逆，從而由 AB O 便得 B O ，這與條件又若設，這樣可以排除選項

42、 C，D作者：huzm 第 19 頁共 30 頁 10 00 00特殊值代入法：取 A 01 0 ， B 00 0 00 01 00 11b ca1 例 55.設 A a 。若方程組 Ax 0 存在非零解，則a, b, c 滿足的條件是c bcab B a b 或b c 或a cD a b 或b c 或 a cA a b cC a, b, c 互不相等答：B1a bc1b ca1c ab100c a b(a c)分析： | A |ab abc c(a b)1a bc01c0 (a b)(a c)1 (a b)(a c)(c b) 。b方程組 Ax 0 存在非零解等價于| A | 0 ，即等價于

43、(a b)(a c)(c b) 0 。特殊值代入法：取a b 0 ， c 0 ，就能找到正確選項！（五）幾個特殊題型0, 0,例 31（2008）設 f (則有（）A f ( f (x) ( f (x)2B f ( f (x) f (x)C f ( f (x) f (x)D f ( f (x) f (x)分析：本題是簡單函數(shù)題，考查了函數(shù)求值問題0, 0,f (x) 0 ，所以因為 f (f (x) 0, f ( f (x) f (x),f (x) 故正確選項為 B1 f (x),f (x) 0特殊值代入法：取 x 2 ，則(2) f (2) 2 ，這時選項 A, C,D 都不成立故正確選項為

44、 B例 32設S (1)2 4x 3 ，則 S 等于（）A x4B x4 1C (x 2)2D x4 4作者：huzm 第 20 頁共 30 頁答：A特殊值代入法：取 x 0 ，則 S 0 故選項B,C,D 錯誤例 33（2004）如下不等式成立的是（ B ）A在(3, 0) 區(qū)間上， ln 3 x ln(3 x)B在(3, 0) 區(qū)間上， ln 3 x ln(3 x)C在(0, ) 區(qū)間上， ln 3 x ln(3 x)D在0, ) 區(qū)間上， ln 3 x ln(3 x)ln 3 ，則 f (3) ，又 f (0) 0 ，所分析：令 f (以在(3, 0) 區(qū)間上，有 f (x) f (0)

45、 0 ，即ln 3 x ln(3 x) 特殊值代入法：取 x 1 可知選項 A 不對；取 x 1 可知選項 C 不對；取 x 0 可知選項 D 不對y Valuex Value數(shù)形：如圖二、排除法例 111（2003）甲乙兩人百米賽跑成績一樣，那么A甲乙兩人每時刻的瞬時速度必定一樣B甲乙兩人每時刻的瞬時速度都不一樣C甲乙兩人至少在某時刻的瞬時速度一樣D甲乙兩人到達終點時的瞬時速度必定一樣答：C分析： 設甲的速度為 v1(t) ， 乙的速度為 v2 (t) ， 他們跑完百米用的時間都是 T ， 則TTTv (t)dt 100 ， v (t)dt 100 ，故 v(t) v (t)dt 0 ，因此

46、被積函數(shù)v (t) v (t) 至少在121212000一點的值為零故正確選項為C4222462468作者：huzm 第 21 頁共 30 頁排除法：因為甲乙兩人百米賽跑成績一樣說明他們用的時間相同，也就是他們的平均速度相等看過百米賽跑的人很容易會將選項A，B，D 排除掉，剩下的選項 C 就是正確選項例 112（2003）A, B, C, D, E 五支籃球隊相互進行循環(huán)賽，現(xiàn)已知 A 隊已賽過4 場，B 隊已賽過3 場，C隊已賽過2 場， D 隊已賽過1 場，則此時 E 隊已賽過A1 場B 2 場C 3 場D 4 場答：B排除法：因為所有球隊的比賽場次之和應是2 的倍數(shù)，所以排除掉選項 A,

47、C。又因為D 隊只賽了1 場，所以排除掉選項 D。例 113.（2007）有兩個獨立的裝置 在緊急情況發(fā)生時各裝置發(fā)出信號的概率分別是0.95 和0.92 則緊急情況發(fā)生時至少有一個器發(fā)出信號的概率是（ D ）A 0.920B 0.935C 0.950D 0.996排除法：兩個器應比一個保險。故要求的概率應大于0.95 ，所以只有 D 選項可選！例 114（2009）等腰ABC 中， AB AC 3 ，底邊 BC 3 ，則頂角A 的取值范圍是（） 22A (0, ) 4B ( , )4 3C ( ,)3 3D (,) 3【分析】本題是平面幾何與三角函數(shù)的題，考查了特殊三角形的概念與特殊角的三角

48、函數(shù)值在等腰三角形 ABC 中，當 AB AC 3 ， BC 3 時， sin A 3 3 ， 所以12223A 2 從而當 BC 3 時，角 A 的取值范圍應是( 2 ,) 正確選項為 D3排除法：根據題意3角 A 的取值可以接近 ，而選項 A，B，C 都做不到這一點若 x 5 3 ，則代數(shù)式 2)(x 3) 的值為（例 115.（2011）.2A. 1C. 1D. 2B. 0答：A分析：本題主要考查了代數(shù)運算及兩數(shù)平方差公式作者：huzm 第 22 頁共 30 頁5 3)( 5 1)( 5 1)( 5 3) 2)(x 3) (24 (5 9)(5 1) 116 2)(x 3) 0 排除法：

49、因為 x 0 ， x 1 0 ，所以例 116（2005）三個不相同的非0 實數(shù) a, b, c 成等差數(shù)列，又a, c,b 恰成等比數(shù)列，則 a 等于（ A ）bC 4D 2A 4B 2排除法：根據條件可知c2 ab ，從而 a 0 。b又 2b a c ，即2 a c ，且 c 0 ，所以 a 2 ，故 a 4 ，即正確選項為Abbbbb2x 4,x 3,3 x 3, 的圖像恰x 3例 117（2009）在直角坐標系中，若直線 y kx 與函數(shù) y 2,2x 8,有3 個不同的交點則k 的取值范圍是（）22A (, 0D2, )B (0, 3C ( , 2) 3【分析】本題是平面幾何題，考

50、查了平面直線l2的基本概念及簡置關系l1 23如圖，直線 l 的斜率 k，直線 l2 的斜率113k 2 當直線 y kx 介于l 與l 之間，即 2 k 222123時，直線與所給圖像有三個不同交點正確選項為 C2排除法：取k 0, 2 將選項 A，B，D 排除3y=x例 118過原點且與圓 x2 y2 2x 0 截得的弦長為 3 的一條直線方程是 D y=-x(A) y x(B) y 3x作者：huzm 第 23 頁共 30 頁3 x3(C) y x(D) y 注：選項驗證與排除法例 1191設 a 0, b 0 ，且a2 b2 7ab ，那么ln | a b | B 3(A) 1 (ln

51、 a ln b) 2(C) 1 (ln a ln b) 3排除法：直接排除A,C(B) 1 ln(ab) 2(D) 1 ln(ab) 3例 1110（2007）lim f (x) 4 ，則必定x1( C )A f (1) 4C在 x 1 某鄰域(x 1) ， f (x) 2B f (x) 在 x 1 處無定義D在 x 1 某鄰域(x 1) ， f (x) 42(x2 1)排除法：特殊值代入法與排除法取 f (x) 排除 A，取 f (x) 4 排除 B,Dx 1當 x 3 時，下述選項中為無窮小量的是（例 1111.(2011)）.1e x3B. ln(3 x)A.x 31C. sinD.x

52、3x2 9答：A分析：本題主要考查了無窮小的概念和簡單函數(shù)的性質1因為 lim e x3 0 ，所以正確選項為 Ax3x 31 1 ， lim sin1排除法：因為 lim ln(3 x) ， lim lim不存在，所以正x3 x2 9x3 x 36x3x 3x3確選項只能為 A三、選項驗證法注 1：對于方程（組）求解問題，可以通過驗證法找出正確選項；注 2：對于不定積分問題，可以通過驗證法找出正確選項；注 3：對于函數(shù)等式或函數(shù)不等式問題，可以通過驗證法找出正確選項；注 4：已知特征值求特征向量的選擇題，可以通過驗證法找出正確選項作者：huzm 第 24 頁共 30 頁例 91（2007）方

53、程 x y 2 | x 2 y 0 的解為（D）x 0 x 3x 2x 4A y 2B y 1C y 3D y 2分析：考查絕對值，根式的概念及簡單代數(shù)方程求解x y 2 0由 x y 2 | x 2 y 0 , 得等價聯(lián)立方程| x 2 y 0 x y 2 0 x 4即， x 2 y 0, 求解得： y 2選項驗證法：選項驗證法可能是本題最直接的解法例 92（2004）某校有若干住校，若每間房住4 人，則20 人未住下，若每間住8 人，則僅有間未住滿，那么該校有宿舍的房間數(shù)為（）A 4B 5C 6D 7答：C選項驗證法：若只有 4 間宿舍，則人數(shù)是36 人，每間8 人不可能住下，故選項A錯誤

54、；若只有5 間宿舍，則人數(shù)是40 人，每間8 人恰好住滿，說明選項 B 錯誤；當有6 間宿舍時，人數(shù)是44 人，這時每間8 人5 間住不下、6 間住不滿，符合題意故正確選項為 C例 93如果多項式 f (x) x3 px2 gx 6 有一次因式 x 1和 x 3 ，那么它的另外一個一2次因式是()A x 2B x 2C x 4D x 4答：C選項驗證法：看常數(shù)！例 94已知拋物線 y ax2 bx c 關于直線 x 1 0 對稱，且過點(0, 0) 和(1, 3) ，那么該拋物線的方程是（）A y x(x 2)B y 3x(2 x)C y x(2x 1)D y 3x(2x 1)答 A選項驗證法

55、：看對稱軸！作者：huzm 第 25 頁共 30 頁例 95如果6, a, c 和36, a2, c2 都是等差數(shù)列，那么c 的取值是（）（A） 6（D） 2 或6（B） 2（C） 2 或6答：D分析：本題主要考查了等差數(shù)列的概念與中項公式6 c 2a,因為6, a, c 和36, a , c 都是等差數(shù)列，所以222236 c 2a .6 c 2a,當 a 0 時， c 6 ；當 a 0 時，由6 c a解得c 2 故正確選項為D選項驗證法：本題本質上是一道方程組求解問題，故選項驗證法有效。例 96某小組共有4 張，可能的面值為1 元，10 元，100 元將它們都換成5 角的硬幣，剛好可以平

56、分給7 人，設總幣值為 x 元，則 x （）(A) (100,110)(B) (110,120)(C) (120,130)(D) (210, 220)答：B選項驗證法：例如，若 x (100,110) ，則只可能是 x 104 。又2x 208 不能被7 整除，所以排除掉選項 A。例 97 e2A ex () C （ C 為常數(shù)）B 1 ex2 22C 2ex2D (1 2x2 )ex答：B分析：本題考查了簡單代數(shù)變形方法與不定積分的湊微分法2因為e選項驗證法：由于e所以選項 B 正確C ，所以正確選項為 B2 1，所以排除掉選項 A；由于e2 ln x ， 2例 98（2005）1 31 設

57、 A 201 ，則 A 的對應于特征值2 的一個特征向量是（） 12 1作者：huzm 第 26 頁共 30 頁 1 1 0 1 A 0 B 1C 1 D 1 1 0 1 0 選項驗證法：11 31 31 因為 ， ， 2 1 1 2 0 0 31 011 0 2 0 21 1 1 21 ，所以選項 A，B，C 都不正確故正確選項為 D 12 1 1注：因為選擇題的目的只是找到正確選項，在做題的過程中只要得到了夠用的信息就可以了， 31 011 10 42 14沒必要把所有的步驟都寫出例如本題利用 21 01 1 就足以找1 12 101到正確選項例 99（2008）f ( x)時，函數(shù) f

58、(x) 可導，有非負的反函數(shù) g(x) ，且恒等式g(t)dt x 1 成立，2當x 01則函數(shù) f (x) =（）C x2 1D x2A 2x 1B 2x 1分析：本題是積分學題，考查了變限定積分求導、反函數(shù)概念和定積分性質f ( x)g(t)dt x 1 ， 得 f (x)g( f (x) 2x ， 又 g( f (x) x ， 所以 f (x) 2 ， 即2由1f (x) 2x C f ( x)f (1)g(t)dt x 1 知g (t)dt 1 1 0 ， 即 f (1) 1 ， 所 以22C 1又 由， 故11f (x) 2x 1所以正確選項為選項驗證法：若 f (x) 2x 1 ，則 g(x) 1 (x 1) ，所以21212x1f ( x)2 x 1g(t)dt (t 1)dt (t 1)42 x2 x2 1 ；111若 f (x) 2x 1，則 g(x) 1 (x 1) ，所以21212 x1f ( x)2 x 1g(t)dt (t 1)dt (t 1)42 x2 1 111故正確選項為 B作者：huzm 第 27 頁共 30 頁四、數(shù)形例 101 若方程ln x 1 2ax 0 有兩個不同實根，則實數(shù)a 的取值范圍是A (,