小波分析的最新進(jìn)展

1、高級(jí)數(shù)字信號(hào)處理題 目:小波分析的最新進(jìn)展姓 名：學(xué) 號(hào)：年 級(jí)：專(zhuān) 業(yè)：小波分析的最新進(jìn)展摘要：目前，小波分析的發(fā)展及應(yīng)用引起人們的廣泛關(guān)注。小波分析是國(guó)際上 公認(rèn)的最新時(shí)間頻率分析工具，由于其“自適應(yīng)性”和“數(shù)學(xué)顯微鏡性質(zhì)” 而成為許多學(xué)科共同關(guān)注的焦點(diǎn)，對(duì)于信號(hào)處理及信急處理起著全關(guān)重要的作 用。本文介紹了小波分析的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程，小波及連續(xù)小波變換的概念，小波 分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用以及未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)。Abstract At present, the development and application of wavelet analysis to cause widespread

2、concern. Wavelet analysis is the latest international recognized - time frequency analysis tools, due to the adaptive and mathematical microscope nature and has become the common focus of attention of many disciplines, for signal processing and signal processing plays a vital role in emergency. This

3、 paper introduces the generation and development process of the concept of wavelet analysis, wavelet and continuous wavelet transform, the application of wavelet analysis in signal processing and the development trend in the future.關(guān)鍵詞：小波分析信號(hào)處理發(fā)展趨勢(shì)Key Words Wavelet analysis Signal processing Develop

4、ment trend一、緒論波分析(Wavelet Analysis)是上世紀(jì)末數(shù)學(xué)研究的重要成果之一，其在時(shí)域 和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)，可以聚焦到對(duì)象的任意細(xì)節(jié)。小波分析是一 種時(shí)域一頻域分析，它可以根據(jù)信號(hào)不同的頻率成分，在時(shí)域和空間域自動(dòng)調(diào)節(jié) 取樣的疏密：高頻率時(shí)則密，低頻率時(shí)則疏。從信號(hào)分析的角度講，小波分析相 當(dāng)于用一族帶通濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波，這族濾波器的特點(diǎn)在于其Q值(中心 頻率/帶寬)基本相同即隨著小波變換的尺度減小，濾波器的中心頻率向高頻移 動(dòng)的同時(shí)，其通帶寬度也隨之增加。因此，小波分析具有廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，在未 來(lái)具有廣闊的發(fā)展前景。二、小波的產(chǎn)生歷史以及分析方法小波

5、變換的概念是由法國(guó)從事石油信號(hào)處理的工程師J.Morlet在1974年首 先提出的，通過(guò)物理的直觀(guān)和信號(hào)處理的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的需要建立了反演公式，當(dāng)時(shí) 未能得到數(shù)學(xué)家的認(rèn)可。正如1807年法國(guó)的熱學(xué)工程師J.B.J.Fourier提出任一 函數(shù)都能展開(kāi)成三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)的創(chuàng)新概念未能得到著名數(shù)學(xué)家 J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的認(rèn)可一樣。幸運(yùn)的是，早在七十 年代，A.Calderon表示定理的發(fā)現(xiàn)、Hardy空間的原子分解和無(wú)條件基的深入研 究為小波變換的誕生做了理論上的準(zhǔn)備，而且J.O.Stromberg還構(gòu)造了歷史上非 常類(lèi)似于當(dāng)前的小波基；19

6、86年著名數(shù)學(xué)家Y.Meyer偶然構(gòu)造出一個(gè)真正的小 波基，并與S.Mallat合作建立了構(gòu)造小波基的統(tǒng)一方法加多尺度分析之后，小波 分析才開(kāi)始蓬勃發(fā)展起來(lái)，其中比利時(shí)女?dāng)?shù)學(xué)家I.Daubechies撰寫(xiě)的小波十講 （Ten Lectures on Wavelets）對(duì)小波的普及起了重要的推動(dòng)作用。它與Fourier 變換、窗口 Fourier變換（Gabor變換）相比，這是一個(gè)時(shí)間和頻率的局域變換， 因而能有效的從信號(hào)中提取信息，通過(guò)伸縮和平移等運(yùn)算功能對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行 多尺度細(xì)化分析（Multiscale Analysis），解決了 Fourier變換不能解決的許多困 難問(wèn)題，從而小波變化

7、被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，它是調(diào)和分析發(fā)展史上里程碑式的 進(jìn)展。小波分析的應(yīng)用是與小波分析的理論研究緊密地結(jié)合在一起地。它已經(jīng)在 科技信息產(chǎn)業(yè)領(lǐng)域取得了令人矚目的成就。電子信息技術(shù)是六大高新技術(shù)中重 要的一個(gè)領(lǐng)域，它的重要方面是圖像和信號(hào)處理?，F(xiàn)今，信號(hào)處理已經(jīng)成為當(dāng)代 科學(xué)技術(shù)工作的重要部分，信號(hào)處理的目的就是：準(zhǔn)確的分析、診斷、編碼壓縮 和量化、快速傳遞或存儲(chǔ)、精確地重構(gòu)（或恢復(fù)）。從數(shù)學(xué)地角度來(lái)看，信號(hào)與 圖像處理可以統(tǒng)一看作是信號(hào)處理（圖像可以看作是二維信號(hào)），在小波分析地 許多分析的許多應(yīng)用中，都可以歸結(jié)為信號(hào)處理問(wèn)題。對(duì)于其性質(zhì)隨時(shí)間是穩(wěn)定 不變的信號(hào)，處理的理想工具仍然是傅立葉分析。

8、但是在實(shí)際應(yīng)用中的絕大多數(shù) 信號(hào)是非穩(wěn)定的，而特別適用于非穩(wěn)定信號(hào)的工具就是小波分析。三、小波分析原理1.小波及連續(xù)小波變換1.1定義小波及連續(xù)小波變換(CWT)定義1:對(duì)于能量有限空間貝R)中的函數(shù)w，若滿(mǎn)足允許性條件:c =Pw、2f明如8，則稱(chēng)W (t)為一個(gè)基本小波或小波母函數(shù)。令：W ab (t)=1tb一， ， 一 _ 、n、,-W ( ),a,b e R,a豐0,稱(chēng)為由母函數(shù)W (t)生成的依賴(lài)參數(shù)a,b連續(xù) aa小波。設(shè)f (t) e L2(R)，定義其連續(xù)小波變換為：W = (a, b) =f,w= j+尊(t )w ( )dt(1)fa，b va 一8aa為頻率縮放參數(shù)，b

9、為時(shí)間平移參數(shù)。尺度的縮放可以反映信號(hào)在不同頻帶上 的表現(xiàn)，而平移量的改變則反映信號(hào)在一定頻帶上隨時(shí)間的演變。1.2窗口函數(shù)與小波的局部性若小波函數(shù)W(t)，具有有限的時(shí)頻窗口，則稱(chēng)w(t)為窗口小波函數(shù)。由(1) 式，如果固定頻率縮放參數(shù)a而令時(shí)間平移參數(shù)b變化，則對(duì)該式進(jìn)行傅立葉 變換，根據(jù)傅立葉變換性質(zhì)可得：Wa,明=f(明W.0)據(jù)小波變換的定義，從 fa時(shí)域來(lái)看，W(a,b)是f (t)在連續(xù)小波w ab(t)時(shí)窗內(nèi)的積分值，反映的是f (t)在 相應(yīng)時(shí)窗內(nèi)的信息。從頻域來(lái)看(a,而是信號(hào)f (t)在W皿(t)的頻窗內(nèi)的帶通濾 波。a增大，頻窗變窄，頻窗中心變小，因此，通過(guò)進(jìn)行各尺度

10、上的小波變換可 以把f (t)在各個(gè)頻帶內(nèi)的信息成分都提取出來(lái)。2.離散二進(jìn)小波變換及快速算法離散二進(jìn)小波變換(DWT)。為了能用計(jì)算機(jī)對(duì)小波變換進(jìn)行計(jì)算，需對(duì)小波 變換進(jìn)行離散化，著名的Littlewood-Paley理論為小波的二進(jìn)劃分提供了理論基 礎(chǔ)。定義2：若函數(shù)w 6 L cL，且存在二常數(shù)A，B使得：L 、2一.，1 -X t . 一,_ ,A 柔 W(2-k) B，則:W f (X) = f *w (x) = j f (t)w ()dt，叫做 f 的二 2“2k2 R2 kk = Z進(jìn)小波變換。四、小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用1.二進(jìn)小波消除信號(hào)白噪聲在信號(hào)處理中，被監(jiān)測(cè)信號(hào)往往與

11、白噪聲相混雜，它們之間的區(qū)分可利用二 進(jìn)小波變換來(lái)實(shí)現(xiàn)，白噪聲是處處奇異的，小波變換對(duì)信號(hào)具有突變性的奇異點(diǎn) 有非常敏感的反映，通過(guò)奇異性為依據(jù)，可用軟件的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)白噪聲的剔除。 奇異性的大小用Lipschits指數(shù)來(lái)衡量，隨機(jī)噪聲和有效信號(hào)本身的奇異點(diǎn)的 Lipschits指數(shù)大小不同，從而它們的小波變換模的極大值在不同尺度下的傳播行 為不一樣，利用這一點(diǎn)可將信號(hào)與白噪聲分開(kāi)達(dá)到去噪目的。1.1 Lipschits 指數(shù)定義3： Lipschits指數(shù)是指能量有限空間L2(R)中的函數(shù)f (x)在x的某臨域內(nèi)對(duì) 任意x有：|f(x) - f(x)| 1時(shí)，則f (x)在某一點(diǎn)可導(dǎo)；0 a

12、0,使得在某點(diǎn)的臨域內(nèi)，f(x)的小波變換滿(mǎn)足:W f閔 A(2f )a，兩邊取對(duì)數(shù)有：log2 W ff 3)| 0時(shí)，f(x)的小波變換在該點(diǎn)的模極大值將隨著尺度的增大而增大。設(shè)n(X)為一時(shí)的、方差為a 2的寬平穩(wěn)噪聲。白噪聲信號(hào)是一個(gè)幾乎處處奇異的 一. .1 、一 隨機(jī)分布，且具有負(fù)的奇異指數(shù)a= -&，V&0。白噪聲小波變換模的平方取2數(shù)學(xué)期望得：E(|W (S,X)|2) = J+j%25(日vW (X -V)ddv = W，其中 S = 2f。 n-s -sSS由(2)式可知，白噪聲的小波變換模的極大值隨尺度的增大而減小。1.3波變換除噪的實(shí)施算法對(duì)含噪聲信號(hào)進(jìn)行二進(jìn)離散小波變

13、換，所選尺度個(gè)數(shù)以最大尺度上信號(hào)的極 值點(diǎn)個(gè)數(shù)占優(yōu)且信號(hào)的重要奇異點(diǎn)不丟失為準(zhǔn)；設(shè)最大尺度2f上的極值點(diǎn)的最 大幅度為P，那么將幅度低于P/J的極大值點(diǎn)去掉；保留其它尺度上的對(duì)應(yīng)奇異 點(diǎn)的模極值點(diǎn)；對(duì)各個(gè)尺度的變換結(jié)果進(jìn)行五點(diǎn)三次平滑；把保留的模極大值點(diǎn) 回注到平滑結(jié)果中，并用Mallat重構(gòu)算法恢復(fù)信號(hào)。2.小波分析的頻譜細(xì)化2.1傳統(tǒng)的頻譜細(xì)化方法。頻譜細(xì)化的方法目前有很多種，包Chinp-Z變換法、復(fù)調(diào)制細(xì)化法、YIP-ZOOM變換、相位補(bǔ)償ZOOM-FFT變換方法等。復(fù)調(diào)制細(xì)化是將時(shí)域信號(hào) 與單位復(fù)指數(shù)相乘，將實(shí)信號(hào)變?yōu)閺?fù)信號(hào)，根據(jù)傅立葉變換的頻移定理，信號(hào)頻 譜產(chǎn)生平移，把感興趣頻段

14、的中心頻率移到相應(yīng)頻譜的原點(diǎn)處，再通過(guò)低通濾波 及重采樣后，作FFT，便得到更高的分辨率。此方法要求分析信號(hào)要穩(wěn)定，否則 可比性和重現(xiàn)性較差。這種細(xì)化方法一般是在專(zhuān)用數(shù)據(jù)處理機(jī)上用硬件實(shí)現(xiàn)的。 此方法中，需設(shè)計(jì)低通濾波器，而濾波則要卷積實(shí)現(xiàn)，計(jì)算量大，不易實(shí)現(xiàn)。2.2小波分析的頻譜細(xì)化小波分析的頻譜細(xì)化的方法和復(fù)調(diào)制細(xì)化的方法相差不多，主要在于濾波。 小波變換具有頻域帶通特性，可以分離出信號(hào)的分析帶寬。五、小波分析發(fā)展的趨勢(shì)小波分析發(fā)展至今在信號(hào)處理中已取得了廣泛的應(yīng)用，且形成了一套實(shí)用的 應(yīng)用技術(shù)，顯示了較強(qiáng)的生命力。之所以如此，是因其在理論上比以往的信號(hào)處 理方法有難得的優(yōu)勢(shì)。小波分析可以

15、隨信號(hào)頻率的變化而自動(dòng)調(diào)節(jié)其時(shí)-頻窗口， 具有自適應(yīng)變焦特性；多尺度分析可以用較高的精度來(lái)表示信號(hào)；信號(hào)的時(shí)-頻 域空間的最佳分解可由小波包分析得到。小波分析是當(dāng)前應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程學(xué)科中一個(gè)迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，經(jīng)過(guò)近10 年的探索研究，重要的數(shù)學(xué)形式化體系已經(jīng)建立，理論基礎(chǔ)更加扎實(shí)。與Fourier 變換相比，小波變換是空間（時(shí)間）和頻率的局部變換，因而能有效地從信號(hào)中提 取信息。通過(guò)伸縮和平移等運(yùn)算功能可對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度的細(xì)化分析，解 決了 Fourier變換不能解決的許多困難問(wèn)題。小波變換聯(lián)系了應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)、 計(jì)算機(jī)科學(xué)、信號(hào)與信息處理、圖像處理、地震勘探等多個(gè)學(xué)科。數(shù)學(xué)家認(rèn)為， 小

16、波分析是一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支，它是泛函分析、Fourier分析、樣調(diào)分析、數(shù)值 分析的完美結(jié)品；信號(hào)和信息處理專(zhuān)家認(rèn)為，小波分析是時(shí)間一尺度分析和多分 辨分析的一種新技術(shù)，它在信號(hào)分析、語(yǔ)音合成、圖像識(shí)別、計(jì)算機(jī)視覺(jué)、數(shù)據(jù) 壓縮、地震勘探、大氣與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學(xué)意義和應(yīng)用價(jià) 值的成果。小波分析是當(dāng)前數(shù)學(xué)中一個(gè)迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，它同時(shí)具有理論深刻 和應(yīng)用十分廣泛的雙重意義。事實(shí)上小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括：數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)科；信號(hào) 分析、圖像處理；量子力學(xué)、理論物理；軍事電子對(duì)抗與武器的智能化；計(jì)算機(jī) 分類(lèi)與識(shí)別；音樂(lè)與語(yǔ)言的人工合成；醫(yī)學(xué)成像與診斷；地震勘探數(shù)據(jù)處理；大

17、 型機(jī)械的故障診斷等方面；例如，在數(shù)學(xué)方面，它已用于數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù) 值方法、曲線(xiàn)曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等。在信號(hào)分析方面的濾波、去 噪聲、壓縮、傳遞等。在圖像處理方面的圖像壓縮、分類(lèi)、識(shí)別與診斷，去污等。 在醫(yī)學(xué)成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時(shí)間，提高分辨率等。小波 分析用于信號(hào)與圖像壓縮是小波分析應(yīng)用的一個(gè)重要方面。它的特點(diǎn)是壓縮比 高，壓縮速度快，壓縮后能保持信號(hào)與圖像的特征不變，且在傳遞中可以抗干擾。 基于小波分析的壓縮方法很多，比較成功的有小波包最好基方法，小波域紋理模 型方法，小波變換零樹(shù)壓縮，小波變換向量壓縮等。小波在信號(hào)分析中的應(yīng)用也 十分廣泛。它可以用于

18、邊界的處理與濾波、時(shí)頻分析、信噪分離與提取弱信號(hào)、 求分形指數(shù)、信號(hào)的識(shí)別與診斷以及多尺度邊緣檢測(cè)等。在工程技術(shù)等方面的應(yīng) 用。包括計(jì)算機(jī)視覺(jué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、曲線(xiàn)設(shè)計(jì)、湍流、遠(yuǎn)程宇宙的研究與生物 醫(yī)學(xué)方面。小波理論是傳統(tǒng)傅立葉變換的重大突破，已經(jīng)引起了國(guó)際上眾多學(xué)術(shù)團(tuán)體和 學(xué)科領(lǐng)域的興趣與關(guān)注，成為當(dāng)今的前沿科學(xué)，發(fā)展相當(dāng)迅速。它為自然界的聲 音、圖像，信號(hào)等了更為貼切的描述模型。特別適合于短時(shí)間里突變和非平穩(wěn)信 號(hào)與圖像的處理，使其更接近自然。但小波分析源于傅立葉分析，小波函數(shù)的存 在性證明依賴(lài)于傅立葉分析，它的思想也源于傅立葉分析，因此，它不可能完全 取代傅立葉分析。現(xiàn)在小波分析理論正向著大規(guī)模并行科學(xué)計(jì)算中的快速計(jì)算和 實(shí)時(shí)處理方向發(fā)展，國(guó)內(nèi)外許多高等院校都開(kāi)設(shè)了小波專(zhuān)業(yè)課或小波講座，廣大 科技人員也在學(xué)習(xí)這種高性能的分析方法，相信它的應(yīng)用和影響會(huì)更加深遠(yuǎn)和廣 泛。六、參考文獻(xiàn)徐佩霞，孫功憲.小波分析與應(yīng)用實(shí)例M.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社.1996. 徐晨，趙瑞珍，等.小波分析應(yīng)用算法M.北京：科技出版社，2004.Chui C.K., An Introduction to Wavelets, Academic Pre