高中數(shù)學(xué)人教A版高中必修5第一章解三角形-基于核心素養(yǎng)的“靈動(dòng)三元導(dǎo)學(xué)”實(shí)踐

1、基于核心素養(yǎng)的“靈動(dòng)三元導(dǎo)學(xué)”實(shí)踐解三角形中范圍與最值問(wèn)題摘要：通過(guò)全國(guó)卷發(fā)現(xiàn)，解三角形有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題是高考的重要考點(diǎn). 在高三復(fù)習(xí)中，用好用活真題，是復(fù)習(xí)備考的一個(gè)重要途徑，可以有效地提高復(fù)習(xí)效率. 通過(guò)觀摩成都市教研課，以“靈動(dòng)三元導(dǎo)學(xué)案”為主模塊，從2023年全國(guó)卷第16題出發(fā)，進(jìn)行變式探究與小組合作，實(shí)踐高三復(fù)習(xí)中的“方法形成型”1一題一課教學(xué).關(guān)鍵詞：解三角形；正余弦定理；范圍與最值；一題一課一、高三復(fù)習(xí)課的新范式“一題一課”在高三，復(fù)習(xí)課是一種常態(tài)教學(xué). 成都市教研特別提倡“一題一課”復(fù)習(xí)課教學(xué)模式,教師課前細(xì)心揣摩用好高考題和診斷題，從追求課堂的大容量教學(xué)轉(zhuǎn)向簡(jiǎn)約細(xì)化教學(xué)，

2、復(fù)習(xí)模式從“題海戰(zhàn)術(shù)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙活}一課”2. 以“精選例題，注重變式，合理設(shè)問(wèn)”為基本特征，以學(xué)生的能力提升為主要目標(biāo)，打破傳統(tǒng)的教學(xué)模式，將知識(shí)復(fù)習(xí)以問(wèn)題串的形式貫穿到例題教學(xué)中，增強(qiáng)學(xué)生的參與度，提高教學(xué)效率，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”的有效手段.在2023區(qū)高中組數(shù)學(xué)賽課中，就“解三角形中范圍與最值問(wèn)題”進(jìn)行了“一題一課”復(fù)習(xí)課教學(xué). 從精選典型例題入手，通過(guò)變式探究，讓學(xué)生在不斷深入學(xué)習(xí)的過(guò)程中體會(huì)到各種數(shù)學(xué)思想方法，明辨各類方法的思想實(shí)質(zhì)和知識(shí)間的聯(lián)系，進(jìn)而形成知識(shí)系統(tǒng)3. 二、“一題一課”之例解三角形中范圍與最值問(wèn)題通過(guò)下表發(fā)現(xiàn)，在全國(guó)卷中解三角形有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題是高考的重要考

3、點(diǎn)，20232023年的高考題考查了次，以在解答題的第一題或填空題壓軸題的形式呈現(xiàn)，值得對(duì)此類問(wèn)題微點(diǎn)突破. 命題角度08年09年10年11年12年13年14年15年16年17年18年1卷2卷1卷2卷1卷2卷1卷1卷2卷3卷1卷定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用316138定理的綜合應(yīng)用1717174171717171717解三角形的范圍與最值問(wèn)題16171616（一）心動(dòng)入境，復(fù)習(xí)舊知師:在練習(xí)中，經(jīng)常會(huì)遇到三角形不確定的題型，往往會(huì)研究解三角形的范圍與最值問(wèn)題，這是全國(guó)卷的一個(gè)重要考點(diǎn)，解決這類問(wèn)題需要哪些常用定理和公式呢？生：正余弦定理，面積公式.（通過(guò)填空題進(jìn)行抽查）設(shè)計(jì)意圖 為解決最值與范圍問(wèn)題做準(zhǔn)備（

4、二）靈動(dòng)探究，剖析思路1.真題呈現(xiàn)，提煉方法題目：（2023年全國(guó)卷第16題）已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，=2，且，則面積的最大值為 設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)一道高考真題，從數(shù)與形兩個(gè)角度提煉解三角形的方法策略，為變式探究合理選擇解題方法做鋪墊.師：條件如何化簡(jiǎn)？角化邊還是邊化角？求面積，你能想到哪些方法？生：由推出，由余弦定理得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.師：你能提煉出解題方法嗎？生：用余弦定理結(jié)合基本不等式可以解決對(duì)邊對(duì)角的最值問(wèn)題.生：由正弦定理得，所以又，所以當(dāng)時(shí)，面積取到最大值. 用到了正弦定理邊化角，再轉(zhuǎn)化為三角函數(shù).師：我們從數(shù)的角度解決了面積最值問(wèn)題，前面得出，我們將放入直徑為的圓中

5、，點(diǎn)的軌跡是什么？生：軌跡是一個(gè)圓?。◣缀萎?huà)板演示），不難觀察出當(dāng)點(diǎn)A為線段BC的中垂線與圓的交點(diǎn)時(shí)，面積最大.師：通過(guò)第三種方法同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題可以嘗試軌跡化.2.類比遷移，“固化”思維 變式探究1：在例題的基礎(chǔ)上，周長(zhǎng)的取值范圍為 設(shè)計(jì)意圖 由例題的二元函數(shù)bc，類比到b+c，思維難度不大，讓學(xué)生都容易入手.生：由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，因此周長(zhǎng)的取值范圍為.師：什么時(shí)候無(wú)限的趨近于呢？生：當(dāng)點(diǎn)A無(wú)限的趨近于點(diǎn)B或點(diǎn)C時(shí). 本題可以用正弦定理，過(guò)程和求面積差不多. 師：還可以延長(zhǎng)BA至使得，易得，所以點(diǎn)的軌跡為一段圓弧，轉(zhuǎn)化為求的范圍.變式探究2：（2023年全國(guó)卷）中，則的最

6、大值為_(kāi).設(shè)計(jì)意圖 由探究1的b+c到探究2的2b+c，讓學(xué)生體會(huì)系數(shù)的不同，優(yōu)選的方法會(huì)不同，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn). 師：與探究1對(duì)比，有何差異？選擇什么解題方法更方便？生：用余弦定理配湊2b+c不易運(yùn)算，用正弦定理得，其中.生：令，代入，消去c,以b為主元得，有正根，結(jié)合圖象，只需，解得t的最大值為.師：探究1和探究2為什么很多同學(xué)優(yōu)選的方法不一樣呢？生：b,c系數(shù)相同優(yōu)選余弦定理，b,c系數(shù)不同優(yōu)選正弦定理.變式探究3：中，點(diǎn) D滿足 ，則線段 AD 的最大值為_(kāi).設(shè)計(jì)意圖 從數(shù)的角度，可以建立AD與a,b,c的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化；從形的角度，可以轉(zhuǎn)化為圓弧上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)D的距離問(wèn)題，體會(huì)數(shù)與形之美

7、.師：分析條件，從數(shù)入手？還是從形入手？ 生:由平面向量共線定理有，轉(zhuǎn)化為求的范圍. 與變式探究2類似，優(yōu)選正弦定理邊化角.生：已知對(duì)邊對(duì)角，易知A點(diǎn)的軌跡是一段圓弧，本題轉(zhuǎn)化為圓弧上的點(diǎn)到定點(diǎn)D的距離的最值問(wèn)題. 當(dāng)AD過(guò)圓心時(shí)，線段AD取最大值.師：很棒！如何求？生：連接，OBC為正三角形，邊長(zhǎng)為3，在OBD中，.（三）互動(dòng)評(píng)說(shuō)，靈活應(yīng)用合作探究：在中，則SABC的最大值為( )A B. C. D設(shè)計(jì)意圖 例題和變式探究解決了已知對(duì)邊對(duì)角的一類最值與范圍問(wèn)題，如果將問(wèn)題變?yōu)橐阎贿叄韮蛇叧杀稊?shù)關(guān)系的問(wèn)題，考驗(yàn)學(xué)生的靈活應(yīng)用能力. 同時(shí)滲透數(shù)學(xué)文化阿波羅尼奧斯圓.師：為了檢驗(yàn)同學(xué)們的靈活應(yīng)

8、用能力，每個(gè)小組合作完成練習(xí)題！生：設(shè)，根據(jù)余弦定理，得所以SABCeq f(1,2)absinC由三角形的三邊關(guān)系，得解得. 故當(dāng)時(shí)，SABC取到最大值.生：借助動(dòng)點(diǎn)軌跡化，以AB所在直線為軸建系，AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，設(shè)，則，整理得. 由圖可知，SABC最大值為.師：告訴我們還可以通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系來(lái)解決三角形中的最值問(wèn)題！這位同學(xué)求出的圓叫做阿波羅尼奧斯圓，即平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)k（k1）的點(diǎn)的軌跡，可以將它作為圓的第二定義. 阿波羅尼奧斯（公元前262190年），古希臘數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德齊名，是亞歷山大時(shí)期的三大數(shù)學(xué)巨匠。同學(xué)們可以在圓錐曲線論中進(jìn)一步的了解阿波羅尼

9、奧斯璀璨的數(shù)學(xué)成果.師：通過(guò)本節(jié)課，你有什么收獲呢?通過(guò)師生的互動(dòng)交流，本節(jié)課的收獲如下：師：同學(xué)們通過(guò)以下練習(xí)來(lái)檢測(cè)自己的掌握情況.設(shè)計(jì)意圖 及時(shí)反饋學(xué)生學(xué)習(xí)情況，通過(guò)錯(cuò)題歸因表下節(jié)課進(jìn)行針對(duì)性解決.1.在例題中，若是銳角三角形，則的面積的取值范圍為_(kāi)；若ba，則2bc的取值范圍為_(kāi).中，點(diǎn) D滿足 ，則面積的最大值為_(kāi).3.中，當(dāng)角C最大時(shí)，等于_.反思感悟（一）“一題一課”教學(xué)模式有利于學(xué)生形成知識(shí)與方法系統(tǒng)4通過(guò)本節(jié)課的復(fù)習(xí)，學(xué)生們?cè)诮忸}方法和方法選擇上有很大收獲，從多個(gè)角度思考問(wèn)題，感受到了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法的滲透. 在解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，從“邊”的角度解決

10、問(wèn)題有時(shí)候很輕松，但并不具備通用性，而從“角”的角度出發(fā)，雖然運(yùn)算量稍大，但具有通用性. 因此，在一題多解時(shí)，一方面要讓學(xué)生總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，另一方面在具體問(wèn)題中要學(xué)會(huì)甄別、判斷哪些方法是最優(yōu)的，為什么最優(yōu). 通過(guò)這樣的課型，可以拓展學(xué)生的思維，同時(shí)形成系統(tǒng)的解題方法.“一題一課”教學(xué)模式成功的關(guān)鍵是母題的選擇及變式的編擬本課例以三角形中對(duì)邊對(duì)角問(wèn)題為題根，著眼于高三學(xué)生已具備的認(rèn)知能力，提煉母題的解題方法，讓學(xué)生整體把握這類問(wèn)題的解決途徑. 依托于母題，通過(guò)問(wèn)題串架構(gòu)起知識(shí)的脈絡(luò)，為學(xué)生呈現(xiàn)最值與范圍問(wèn)題的常見(jiàn)題型. 使得高三復(fù)習(xí)課不再就題論題，而是連題成面，實(shí)現(xiàn)“一題多變，一題多解，一法多用”的教學(xué)模式，從真正意義上既復(fù)習(xí)知識(shí)，領(lǐng)會(huì)思想，又活躍課堂.參考文獻(xiàn)段小龍，張揚(yáng). 高中數(shù)學(xué)“方法形成型”微專題課的教學(xué)模式構(gòu)建及實(shí)踐J. 教育科學(xué)論壇，2023年12期：5