雙曲線經(jīng)典知識點總結(jié)

1、 /4雙曲線知識點總結(jié)班級姓名知識點一：雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個定點毘、的距離之差的絕對值等于常數(shù)2（出大于0且）的動點尸的軌跡叫作雙曲線這兩個定點毘雙曲線的焦距.叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作注意：1.雙曲線的定義中，常數(shù)加應(yīng)當(dāng)滿足的約束條件：IPPF42a這可以借助于三角形中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來理解；2.若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)出滿足約束條件：IPFiP=2a0,b0）的簡單幾何性質(zhì)Q上0），其中A工=1（1）對稱性：對于雙曲線標準方程（a0,b0）,把x換成一或把y換成一y,或把x、y同時換成一x、y,方程都不變，所以雙曲線（a0,0）是以x軸、y軸為對稱軸的

2、軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為雙曲線的中心。（2）范圍：雙曲線上所有的點都在兩條平行直線x=a和x=a的兩側(cè)，是無限延伸的。因此雙曲線x,X、上點的橫坐標滿足xW-a或xa。（3）頂點：雙曲線與它的對稱軸的交點稱為雙曲線的頂點。雙曲線（a0,b0）與坐標軸的兩個交點即為雙曲線的兩個頂點，坐標分別為（a,0），A2（a，0），頂點是雙曲線兩支上的點中距離最近的點。兩個頂點間的線段A1A2叫作雙曲線的實軸；設(shè)B1（0，b），B2（0,b）為y軸上的兩個點，則線段B1B2叫做雙曲線的虛軸。實軸和虛軸的長度分別為|AA2l=2a,|B.B2l=2boa叫做雙曲線的實半

3、軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長。1212注意：雙曲線只有兩個頂點，而橢圓有四個頂點，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆。雙曲線的焦點總在實軸上。實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線。2gcs=（4）離心率：雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作戈尬彳_cbQ1因為ca0,所以雙曲線的離心率圧。由C2=a2+b2,可得總所以吃決定雙曲線的開口大小，越大，e也越大，雙曲線開口就越開闊。所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度。等軸雙曲線，所以離心率。（5）漸近線：經(jīng)過點A、A作y軸的平行線x=a,經(jīng)過點B、B作x軸的平行線y=b,四條直線1|+右h=Xy=_x盤,我們把直線叫做

4、y圍成一個矩形（如圖），矩形的兩條對角線所在直線的方程是雙曲線的漸近線。注意：雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交。與知識點四：雙曲線口垃0啟沁）的區(qū)別和聯(lián)系標準方程圖形焦占八、八、性質(zhì)焦距范圍(a00)xls)yR, /4對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱將有關(guān)線段和角結(jié)合起來.頂點1.如何確定雙曲線的標準方程？當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，雙曲線的方程才是標準方程形式。此時，雙曲線的焦點在坐標軸上。實軸長=2僅，虛軸長=2.雙曲線標準方程中的三個量a、b、c的幾何意義離心率雙曲線標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關(guān)，是由雙曲線本身所確定的，分別表示雙曲線的實半

5、軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：ca,cb,且c2=b2+a2。 #/4漸近線方程y=-ab22j知識點五：雙曲線的漸近線：（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：若雙曲線方程為，則3.如何由雙曲線標準方程判斷焦點位置雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果X2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上。注意：對于雙曲線，a不一定大于b,因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標軸上。 #/4冷耳丸二亠0尸土紜其漸近線方程為注意：（1）已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成

6、“0”，然后因式分解即得漸近線方程。4.方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件4?By2卍+卍=+=1方程Ax2+By2=C可化為UU，即蟲，所以只有A、B異號，方程表示雙曲線。 #/4 #/4當(dāng)時，雙曲線的焦點在x軸上；當(dāng)時，雙曲線的焦點在y軸上。（2）已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程為楓土邨，貝y可設(shè)雙曲線方程為xP1_22_32_q-，根據(jù)已知條件，求出幾即可。（3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線5.求雙曲線標準方程的常用方法：待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點的位置，從而確定方程的類 #/4 /42-y=幾（幾豐0）方程可設(shè)為（兒AO,焦點在X軸上,，焦點

7、在y軸上）（4）等軸雙曲線_22的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為P二土X,因此等軸雙曲線可設(shè)為知識點六：雙曲線圖像中線段的幾何特征:雙曲線如圖:（1）實軸長出島|=加，虛軸長需,焦距,（2）離心率:型，設(shè)出標準方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、的值。其主要步驟是“先定型，再定量”定義法：由題目條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。注意：若定義中“差的絕對值”中的絕對值去掉，點的集合成為雙曲線的一支，先確定方程類型,再確定參數(shù)a、b,即先定型，再定量。若兩種類型都有可能，則需分類討論。6如何解決與焦點三角形PF”？（P為雙曲線上的點）有關(guān)的計算問題？與焦點三角形刑風(fēng)有關(guān)

8、的計算問題時，?？紤]到用雙曲線的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式S胡呵閃論和相結(jié)合的方法進行計算與解題，將有關(guān)線段1+y=n1II_&；(3)頂點到焦點的距離：I1KI，有關(guān)角占兔結(jié)合起來，建立之間的關(guān)系. #/4g中結(jié)合定義網(wǎng)一咫卜加與余弦定理, /4I?s一7.如何確定離心率e的取值情況與雙曲線形狀的關(guān)系？：離心率區(qū)，因為C2=a2+b2,用a、b表CW二一示為負,當(dāng)e越大時，肚越大，即漸近線夾角(含x軸)越大，故開口越大；反之,e越小，開口越小。離心率反映了雙曲線開口的大小，且el。8.橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：橢圓雙曲線【變式3】已知點P(x,y)的坐標滿足JST十(廠護十

9、孑十十二4,的軌跡是()A.橢圓B.雙曲線中的一支類型二：雙曲線的標準方程：2.求與雙曲線標準方程。解法依題意設(shè)雙曲線方程為住則動點PC.兩條射線D.以上都不對答案：B4-1有公共焦點，且過點卩羽的雙曲線的=i-由已知得毬20,又雙曲線過點ac0.OVaVc,P屜丫44a2c2=b2(b0)c2a2=b2(b0)(a0,b0,a不一定大于b)(ab0)2川=20根據(jù)|MF+|MF2l=2a根據(jù)丨MF一|MF2|=2a:故所求雙曲線的方程為解法二:依題意設(shè)雙曲線方程為16疋4+血，?/TTTJXT，22所以雙曲線方程為丄8.【變式】求中心在原點，對稱軸為坐標軸，且頂點在卩軸，焦距為10,標準方程

10、統(tǒng)一為: #/42均外切，求動圓類型一：雙曲線的定義1.已知OOi：(x+5)2+y2=4,0O2：(x5)2+y2=9(1)若動圓P與O,O均內(nèi)切，求動圓圓心P點的軌2跡；(2)若動圓Q與。，121圓心Q點的軌跡。解析：(1)設(shè)OP半徑為R,7001與OO2相離，|P01l=R2,|P0j=R3.|PO1|PO2I=1,又|0卩2l=10121212由雙曲線的定義，P點的軌跡是以0,0為焦點，2a=1,2c=10的雙曲線的右支。12(2)設(shè)OQ半徑為r,則|Q0=r+2,|Q0=r+3A|QO2|QO1I=1,又|0卩J=10由雙曲線的定義，Q點的軌跡是以0,0為焦點，2a=1,2c=10的

11、雙曲線的左2支。12舉一反三：【變式1】已知定點F丿一2,0)、F2(2,0),平面內(nèi)滿足下列條件的動點P的軌跡為雙曲線的是()A.|PF|PF|=3B.|PF|PF|=4C.|PF|PF|=5D.|PF|2|PF丨2=4【答案】12121212A【變式2】已知點.(0,13)、F2(0,13)，動點P到.與F2的距離之差的絕對值為26,則動點P的軌跡方程為()A.y=0B.y=0(xW13或x13)C.x=0(|y|213)D.以上都不對【答案】C=14的雙曲線的標準方程.【答案】163.已知雙曲線的兩個焦點樣之間的距離為26,雙曲線上一點到兩焦點的距離之差的絕對值為24,求雙曲線的標準方程

12、。解析：由題意得2a=24,2c=26。a=12,c=13,b2=132122=25。當(dāng)雙曲線的焦點在X軸上時，雙曲線的方程為14425；當(dāng)雙曲線的焦點在y軸上時，雙曲線22的方程為144總結(jié)升華：求雙曲線的標準方程就是求a2、b2的值，同時還要確定焦點所在的坐標軸。雙曲線所在的坐標軸，不像橢圓那樣看X2、y2的分母的大小，而是看X2、y2的系數(shù)的正負。 #/4【類型三：雙曲線的幾何性質(zhì)4.方程柩表示雙曲線，求實數(shù)m的取值范圍。 /4解析：由題意得程為4廠點在雙曲線上,解得兄=4,所求雙與掰/翕=沃卿&。.實數(shù)m的取值范圍為總結(jié)升華：方程Ax2+By2=1表示雙曲線時，A、B異號。曲線方程為1

13、6光1總結(jié)升華：求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求肚、，在解題過程中應(yīng)熟悉各元素（、【變式l】k9是方程9上比4表示雙曲線的（）A.充分必要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件【答案】B準線）之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用。若已知雙曲線的漸近線方程處土如可設(shè)雙曲線方【變式2】求雙曲線分+124-M1的焦距?！敬鸢浮?根據(jù)下列條件，求雙曲線方程。（1）與雙曲線殳161有共同的漸近線，且過點f局;（2）總結(jié)升華：雙曲線門4-=1的漸近線方程為x二土色尹y=z即；若雙曲線的方程為一漸近線方程為弘，且雙曲線過點。解析：（1）解法一：當(dāng)焦點在x軸上時,a3=（朋汽沁焦點在龍軸上,焦點在y軸上），則其漸近線方程為設(shè)雙曲線的方程為/擴=1方程為9荷3滬（-3）2M）由題意，得L說曠_1,解得八兀宀4所以雙曲線的a_4b?當(dāng)焦點在y軸上時，設(shè)雙曲線的方程為J”ab由題意,，解得八T,總結(jié)升華：求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求說、巴，在解題過程中應(yīng)熟悉各元素（、及準線）之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用。若已知雙曲線的漸近線方程。兀土如二,可設(shè)雙曲線方程8.已知雙曲線實軸長6,過左焦點毘的弦交左半支于蟲、兩點，且|j4I=S，設(shè)右焦點，求的周長.解析：由雙曲線的定義有：心卜禺解法二:1（舍去）綜