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1、頁碼：1/9 打印日期：2010-9-15泵站選址與水管鋪設(shè)【案情描述】兩個村莊位于河流的同一側(cè)。為了取水需要，兩村莊打算共同出資建造泵站、鋪設(shè)水管。由于泵站的造價較高，所以計劃在河邊上僅設(shè)置一個取水口并在該處建造泵站。為了節(jié)約水管鋪設(shè)費用，需要選擇一個適當(dāng)?shù)娜∷谖恢谩Ｋ芸梢灾苯酉蛉∷阡佋O(shè)，也可以在某處設(shè)置一個三通交匯點。應(yīng)該怎樣設(shè)計水管鋪設(shè)方案，使得水管的總長度最短？【分析】選擇取水口的位置當(dāng)然與兩村莊及河流的相對位置有關(guān)，假定河流呈直線狀，兩村莊到河流的垂直距離分別是 a 和 b ，兩個垂足間的距離是 c 。 a 和 b 總有大小，不妨設(shè) a b 。定量地研究平面上的位置關(guān)系應(yīng)該先建

2、立坐標系，以河流為 x 軸、村莊到河流的一條垂線為 y 軸建立坐標系，則兩個村莊 A , B 的坐標分別為(0 , a) 和(c , b) ，如圖1所示。如果直接向取水口鋪設(shè)水管，那么用幾何對稱點法就可以很方便地選擇取水口位置。具體做法是在圖1中找到村莊 A 關(guān)于 x 軸的對稱點 A (0 , a) ，連接 A , B ，直線 AB 與 x 軸的交點 P 就是所求的取水口位置。這是因為根據(jù)對稱性，取水口在點 P 時，水管總長度為| AP | | BP | AB | ，而取水口放在另一點 P時，水管總長度為| AP | | BP | | AP | | BP | | AB |圖1 直接向取水口鋪設(shè)

3、水管圖2 設(shè)置三通交匯點鋪設(shè)水管這個不等式體現(xiàn) APB 中的兩邊之和大于第三邊。所以取水口設(shè)置在點 P 時，水管的總長度最短，此時，根據(jù)比例關(guān)系不難算得點 P 的橫坐標為| OP | aca b 。如果允許設(shè)置一個三通交匯點，那么水管鋪設(shè)方案的選擇余地大了，水管的節(jié)約前景也大了，肯定會有比圖1更好的方案。不過三通交匯點要在一個平面區(qū)域內(nèi)選取， 度較大，選擇的難度也大，采用建立函數(shù)關(guān)系的方法比較有效?！厩蠼狻咳鐖D2所示，設(shè)三通交匯點 Q 的坐標為(x , y) ，點 P 是取水口，則水管的總長度為 u | AQ | | BQ | | PQ | ，顯然 PQ 應(yīng)垂直于 x 軸。用坐標表示線段長度，

4、得到需要最小化的目標函數(shù)：u ( x , y ) x2 (a y)2 (c x)2 (b y)2 ymin（1）用微分法求最小值，可令二個偏導(dǎo)數(shù)等于零： u c xx 0 xx2 (a y)2(c x)2 (b y)2ua yb y 1 0 yx2 (a y)2(c x)2 (b y)2（2）x c xa yb y 。記這兩個相等比值為 k ，即將上面的第一式移項后平方，到x c xk a yb y（3）得到這個比例關(guān)系之前實施了開方運算但沒有正負號，是因為所有因子未隱含負號，例如(a y) 是正值，而( y a) 隱含負號。在解決實際問題時，要盡量讓負號顯現(xiàn)出來，以避免陷入多頭思維而糾纏不清

5、。將（3）式代入方程組（2）的第二式，即得111 0k 2 1k 2 1由此解得 k 3 。回代到（3）式便到駐點y 1 a b 3 c12 x c 3(b a)0302，（4）由于駐點唯一而且水管鋪設(shè)存在最優(yōu)方案，所以可認為已經(jīng)得到了最優(yōu)解。把它代入目標 2 3 c3 c3a b umin函數(shù)（1），便得到最小的水管總長度為3。當(dāng)時，這個最小值要比圖1的最小值| AB | c2 (a b)2來得小，確實得到了比圖1更好的鋪設(shè)方案。圖1中的最小值點有很明顯的幾何特征，由此聯(lián)想圖2也應(yīng)該有幾何意義。將方程組（2）中的各因子與圖2的線段長度相對照，容易發(fā)現(xiàn)（2）式實際上是如下的三角函數(shù)關(guān)系式：si

6、n sin 0 cos cos 1 0（5）其中 QAO ， QBC ，圖中 BC 垂直于 x 軸。從方程組（5）的第一式立得 ，代入第二式馬上得到 60 。然后由 tan tan 3 即得（3）式及k 3 ，同樣解得駐點（4）?？磥肀景咐脦缀巫兞壳蠼庖旖莸枚?。從這兩個幾何角度出發(fā)看看能否展現(xiàn)的幾何特征。如圖3所示，過三點 A , B , Q作一個圓，延長 PQ 交該圓與點 M ，連接 AM ， BM 。由平行線的性質(zhì)知AQMBQM QAO 60 ， QBC 60 ，再由圓周角的性質(zhì)知頁碼：2/9打印日期：2010-9-15MAB BQMMBA AQM 60 ， 60 。原來MAB 是正三

7、角形！這給用幾何方法尋找最佳水管鋪設(shè)方案提供了便利。圖3 確定三通交匯點的幾何作圖法幾何作圖法的具體過程如下：以兩村莊的連線 AB 為邊，背向河流方向作正三角形 MAB ，從點 M 向河流 x 軸引垂線 MP ，垂足 P 就是應(yīng)該選擇的取水口。然后作 MAB 的外接圓，垂線 MP 與外接圓的交點 Q 就是需要確定的三通交匯點。如果覺得作外接圓不方便的話也可以不畫圓，以 AO （或 BC ）為邊向垂線 MP 方向作正三角形 AA1O （或 BB1C ，圖3中這個三角形沒有畫出），直線 AA1 （或 BB1 ）與垂線 MP 的交點 Q 就是需要確定的三通交匯點。這樣找出的點 P , Q ，使得水管

8、鋪設(shè)的總長度恰好等于垂線長| MP |，即| AQ | | BQ | | PQ | | MP |這個等式的證明并不復(fù)雜，只要段 QM 上截取AQN | 并連接 AN ，就可以得到一個正三角形和一對全等三角形，結(jié)論便顯而易見。幾何方法比微分方法直觀，而且容易證明它的最優(yōu)性。事實上，如果將三通交匯點設(shè)在圖3中的另一點 Q ，取水口設(shè)在垂足點 P，那么必有| AQ | | BQ | | PQ | | MQ | | PQ | | MP | | MP | | AQ | | BQ | | PQ |至于其中的不等式| AQ | | BQ | | MQ |，可利用圖4予以證明。圖4中， BEQ是正三角形， M

9、BE ABQ 。在微分法中，利用駐點的唯一性說明其最優(yōu)性，理論依據(jù)不是很充分。幾何方法的最優(yōu)性證明就比較嚴格了。當(dāng)然幾何方法也有之處，幾何作圖不大方便在村莊河流所處的廣闊田野上進行，如果縮小了在紙上作圖，那么還需通過幾何關(guān)系求得點 P , Q 的坐標（4），才能到現(xiàn)場去定位?！繜o論是微分法求得的坐標（4），還是幾何法定出的點 Q ，都有可能落在 x【頁碼：3/9打印日期：2010-9-15軸的左邊或者落在 y 軸的下方，這樣的話還有最優(yōu)性嗎？回答是否定的。事實上，點 Q 必須在圖2的矩形區(qū)域 AOCD 內(nèi)選取，否則毫無最優(yōu)性可言。圖5是在矩形區(qū)域外設(shè)置三通交匯點的情形。如果三通交匯點 Q 設(shè)置

10、在矩形區(qū)域的左側(cè)，如圖5(a) 所示，那么有不等式| AQ | | BQ | | PQ | | AO | | BQ | | AQ | | BQ | | OQ |圖4 到正三角頂點的距離Q ，所以矩形區(qū)域左側(cè)的三通交匯點不可能有最優(yōu)性。這說明點如果三通交匯點 Q 設(shè)置在矩形區(qū)域的下方，如圖5 (b) 所示，那么有不等式QQ | | BQ |) | AQ | | BQ | AQ | | BQ | | PQ |AQ ，所以矩形區(qū)域下方的三通交匯點不可能有最優(yōu)性。這說明點類似地可以證明矩形區(qū)域右側(cè)和上方的三通交匯點也不可能有最優(yōu)性。圖5 在矩形區(qū)域外設(shè)置三通交匯點排除了矩形 AOCD 之外的部分，可知

11、最優(yōu)點只能在矩形區(qū)域?qū)ふ?。域稱為可行域。把該矩形區(qū)在圖3中用幾何作圖法求三通交匯點 Q ，如果BAO 120 ，三角形頂點 M 將位于 y 軸的左側(cè)，點 Q 就會落在矩形區(qū)域的左側(cè)；如果| AO | a ， | BC | b 過小，則點Q 不再是最優(yōu)點，那么該怎樣尋找最優(yōu)的交匯點呢？由于目標函數(shù)（1）是可行域上的連續(xù)函數(shù)，所以最小值必定存在。如果駐點在可行域，那么它就是最優(yōu)點（圖3中已經(jīng)證明）；如果可行域沒有駐點，那么最優(yōu)點Q 應(yīng)該在可行域的邊界上尋找。矩形區(qū)域有4 條邊界，分別對應(yīng) y 0 ，x 0 ，y a 。代入目標函數(shù)，分別求以下4個函數(shù)的最小值并加以比較：x c ，u(x , 0)u

12、(0 , y)u(c , y)u(x , a)0 x c0 y a0 y a0 x c，。頁碼：4/9打印日期：2010-9-15這些函數(shù)都是一元函數(shù)，不難求出它們的最小值。第一個函數(shù)是圖1的情形，最小值是，對應(yīng)的最小值點是圖1中 x 軸上的點 P ；后三個函數(shù)都是單調(diào)函 u3 a c (b a)， u4 b c ，最小值點依次是點 A ，點22數(shù)，最小值依次是 u2A 及圖2中的點 D 。在 a b 的前提下，顯然 u2 u3 u4 ，所以整個邊界上的最小值應(yīng)在 u1 和 u2 中選擇，這與 a , b , c 的取值有關(guān)。從駐點（4）出發(fā)進行，當(dāng)然只需考慮駐點越出矩形邊界的情形，即4種情況

13、 y0 0 ， x0 0 ， x0 c ， y0 a 以及它們的組合。根據(jù)表達式（4）知， x0 c 和 y0 a 都是不可能的，所以只要若 x0 0 ，則x0 0 和 y0 0 。c 3(b a)（6）u此時比較 u 2 和 u 2 ，經(jīng)簡單整理可知 u，這表明在不等式（6）的條件下（此時 y 必12120為正），最優(yōu)的三通交匯點是點 A ，段 AO , AB 上鋪設(shè)水管是最好的方案。若 x0 0， y0 0 ，則c 3(b a)（7）此時經(jīng)同樣的比較可知 u1 u2 ，這表明在不等式（7）的條件下（此時 x0 必為正），最優(yōu)三通交匯點是圖1中的點 P ，按圖1的方式鋪設(shè)水管是最好的方案。條

14、件（6）和（7）之下，最優(yōu)點都在矩形邊界上取得，“三通交匯”已為“二通交匯”，所以稱之為情形。上面關(guān)于情形的似乎有點難以把握，遇到其它形狀的可行域或許更為復(fù)雜。如果從幾何角度考慮則可以簡單一些：圖5已經(jīng)表明，駐點越出可行域邊界，應(yīng)該讓它回歸到相應(yīng)邊界上尋找最優(yōu)點，從哪條邊界上越出，就回歸到那條邊界。這種回歸方式反映到對駐點（4）的研判，就是若 x0 0 ，則令 x 0 求目標（1）的最小值； 若y0 0 ，則令y 0 求目標（1）的最小值。條件（6）和（7）的幾何意義分別如圖6 (a)和圖6 (b) 所示，條件（6）對應(yīng)圖6 (a) 中的 BAD 30 ，這時水管應(yīng)當(dāng)沿直線段BA , AO 鋪

15、設(shè)；條件（7）對應(yīng)圖6 (b) 中的 BAF 30 ，其中 A 是點 A 關(guān)于原點 O的對稱點，這時水管應(yīng)當(dāng)沿直線段 AP , BP 鋪設(shè)。圖6情形的幾何表現(xiàn)【推廣】前面的中假定河流呈直線狀，更一般地應(yīng)考慮河流呈曲線狀。這時河流不能作為 x 軸，設(shè)| AB | 2m ，以 AB 為 x 軸， A 為原點建立坐標系，河流的曲線方程已y 知為f (x) ，如圖7所示。要在曲線上找一點 Pf (t) ，再找一個三通交匯點 Q(x , y) ，使得三線段之和(t ,頁碼：5/9打印日期：2010-9-15u | AQ | | BQ | | PQ |達到最小。點 A 的坐標是(0 , 0) ，點 B 的

16、坐標是(2m , 0) ，用坐標表示目標函數(shù)，即u x2 y2 (2m x)2 y2 (t x)2 ( f (t) y)2min（8）求這個三元函數(shù)的最小值，當(dāng)函數(shù) f (t) 可微時，可令三個偏導(dǎo)數(shù)為零：u t x f (t)( f (t) y) 0 t(t x) ( f (t) y)22 u2m xt xx 0 xx2 y2 (2m x)2 y2 (t x)2 ( f (t) y)2 0uf (t) yyy tx2 y2(2m x)2 y2(t x)2 ( f (t) y)2（9）由第一個方程得f (t) y 1f (t) t x（10）這說明 PQ 應(yīng)該在曲線的法線上，相當(dāng)于曲線的“垂線

17、”，這是可以想見的。方程組（9）的后兩個方程不易求解。參照前面的思路，從三角函數(shù)關(guān)系出發(fā)能容易些。記三條直線的傾角分別為 , , ，如圖7所示，則方程化為sin sin cos， cos cos sintan tan( 90) 2 180；取兩式平方和消去兩式相除得到2，從而得到 2 cos( ) 1，從而 120 。進而獲得一個合理的解為 150 30,tan tanw tan于是 tan 和都可 以 用表 出。記，并 將其引 入直 線段 AQ , BQ , PQ 的斜率關(guān)系，得到3w 13w 1y tan yf (t) y 1 1 tan x 2mx3 w ，3 w ，tanwt xx ,

18、 y將 前 兩 式 去 分 母 后 相 減，再 比 較 后 一 方 程 可 消 去 變 量，得 到wf (t) t m(13w) 。注意到 是曲線切線的傾角，即 w tan f (t) ，因此f (t) f (t) t m( 3 f (t) 1) 0（11）頁碼：6/9打印日期：2010-9-15圖7 曲線河流的水管鋪設(shè)由于 f (t) 是已知函數(shù)，所以（11）式是關(guān)于 t 的一元方程，能從中解出 t 的值，于是點的坐標(t ,f (t) 便可確定。將得到的 t 值代入上面的斜率關(guān)系可解得點 Q 的坐標1 3w24wx 1y m m3(w2 1) 3(w2 1) ，其中 w f (t) 。至此

19、，最優(yōu)點均已得到，水管的最佳鋪設(shè)方案便告完成。求解方程組（9）運用了許多技巧，求解過程并不簡單。以便引出簡單的幾何作圖法。來看看它的幾何特征，（10）式實際上是直線 PQ 的方程，利用（11）式化簡(x m) ( y 3m) f (t) 0(m , 3m) ，而點 M 與點 A (0 , 0) 、 B (2m , 0) 恰好此直線過點 M一個正三角形，如圖8所示。另一方面，不難求得該正三角形的外接圓方程為23343 x m2 y m m2經(jīng)簡單的運算可知，上面求出的點 Q 的坐標恰好滿足此外接圓方程。最優(yōu)點的這兩個幾何特征為幾何作圖法奠定了基礎(chǔ)。幾何作圖法與直線河流的情況基本相同：如圖8所示，

20、以兩村莊的連線 AB 為邊，背向河流方向作正三角形 MAB ，從點 M向河流曲線 y f (x) 引最短距離線 MP ，曲線上的點 P 就是應(yīng)該選擇的取水口。如果函數(shù)可微，最短距離線 MP 必定是曲線的法線。然后作 MAB 的外接圓，直線 MP 與外接圓的交點 Q 就是需要確定的三通交匯點。如果覺得作外接圓不方便的話也可以不畫圓，從點 A （或點 B ）向最短距離線 MP引 60 斜交線，交點就是需要確定的三通交匯點，所謂 60 斜交線就是使 QAQM 60 （ BQM 60 ）。這樣找出的點 P , Q ，使得水管鋪設(shè)的總長度恰好等于最短距離線的長度| MP | ，即| AQ | | BQ

21、| | PQ | | MP | 。這個等式的證明與直線河流的情況相同，不再贅述。順便 ，曲線函數(shù) y f (x) 即使不可微，或者函數(shù)的幾何圖形已知而表達式未知，幾何作圖法依然有效，只要以點 M 為中心作圓，圓的半徑逐步增大，這些不斷擴展的同心圓與曲線首次相交，交點 P 即為取水口點，這是點 M 到曲線的最近點，如圖9所示。這種同心圓擴展法還可以檢驗方程（11）的最優(yōu)性，因為從方程（11）中解出的 t 值僅僅是目標函數(shù)的駐點，有時甚至使目標取得最大值，驗證是不大可靠的。無論是微分法解方程組（9），還是幾何法確定點 Q ，都有可能出現(xiàn)情形?？梢杂没貧w方式應(yīng)對情形。圖8中，點 Q 的可行域是線段

22、AB , AD , BC 和曲線段 C D 所圍的區(qū)域，其中 AD , BC 分別是點 A 、點 B 到曲線的最短距離線。如果從點 M 引出的最短距離線 MP 向出可行域，那么應(yīng)讓其回歸到邊界 AD ，即段 AD , AB 上鋪設(shè)水管是最好的方案；如果從點 M 引出的最短距離線 MP 向右越出可行域，那么應(yīng)讓其回歸到邊界 BC ，即段 BC , AB 上鋪設(shè)水管是最好的方案。頁碼：7/9打印日期：2010-9-15圖9 河流曲線不光滑的幾何作圖圖8 面對曲線河流的幾何作圖如果圖8中的 APB 120 ，那么確定的三通交匯點 Q 將向上越出可行域的曲線邊界C D ，這時應(yīng)讓其回歸到曲線上，即 P

23、 , Q 兩點合為一點，在曲線上尋找合適的點 Pf (x) ，使兩線段之和 u | AP | | BP | 達到最小，如圖10所示。這時目標函數(shù)(x ,為u x2 f (x)2 (2m x)2 f (x)2min（12）令 u(x) 0 ，再利用圖10的三角函數(shù)關(guān)系cos sin tan cos sin tan 0PN圖 10 中是 曲 線 在 點P處 的 法 線。將 這 個 三 角 方 程 變 形 為cos( ) cos( ) 0 ，不難解得 180 2 ，取正切后便化為(m x) f (x)f (x)x(2m x) f (x)21 f (x)2（13）從方程（13）中解出 x 的值，點 P 的坐標(x , f (x) 便可確定，這時水管應(yīng)當(dāng)沿直線段 AP , BP 鋪設(shè)。方程（13）的幾何意義是 180o 2 ，移項后為(90 ) ( 90) 這意味著圖10中APN BPN ，也就是說直線 AP , PB 對曲線形成“鏡面反射線”。根據(jù)這一特征，可以用幾何法確定最優(yōu)點的位置：讓點 P 沿曲線移動，同時測量曲線在點 P 處的法線與直線 AP , BP 的夾角，一