高中數(shù)學(xué)必修二 7.2.2 復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算（含答案）

1、 7.2.1復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算導(dǎo)學(xué)案編寫(xiě)：廖云波 初審：孫銳 終審：孫銳 廖云波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法計(jì)算2.理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對(duì)加法的分配律.3.理解共軛復(fù)數(shù)的概念.【自主學(xué)習(xí)】知識(shí)點(diǎn)1 復(fù)數(shù)的乘法1.復(fù)數(shù)的乘法法則設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，則z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.2.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)任意復(fù)數(shù)z1、z2、z3C，有交換律z1z2z2z1結(jié)合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法對(duì)加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3知識(shí)點(diǎn)2 共軛復(fù)數(shù)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，稱(chēng)這兩個(gè)復(fù)數(shù)為共軛

2、復(fù)數(shù)，z的共軛復(fù)數(shù)用表示.即zabi，則abi.知識(shí)點(diǎn)3 復(fù)數(shù)的除法設(shè)z1abi，z2cdi(cdi0)，則eq f(z1,z2)eq f(abi,cdi)eq f(abicdi,cdicdi)eq f(acbd,c2d2)eq f(bcad,c2d2)i.【合作探究】探究一 復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算【例1】計(jì)算：(1)(2i)(2i)；(2)(12i)2.解(1)(2i)(2i)4i24(1)5；(2)(12i)214i(2i)214i4i234i.歸納總結(jié)：【練習(xí)1】計(jì)算：(1)(12i)(34i)(2i)；(2)(34i)(34i)；(3)(1i)2.解(1)(12i)(34i)(2i)(112i

3、)(2i)2015i；(2)(34i)(34i)32(4i)29(16)25；(3)(1i)212ii22i.探究二 復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算【例2】計(jì)算：(1)eq f(i2i1,1ii1i)eq f(32i,23i)；(2)eq f(1r(3)i3,1i6)eq f(2i,12i).分析復(fù)數(shù)的除法法則，通過(guò)分子、分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，使“分母實(shí)數(shù)化”，這個(gè)過(guò)程與“分母有理化”類(lèi)似解(1)因?yàn)閑q f(i2i1,1ii1i)eq f(i2i1,i21i)eq f(i2i1,2i)i1，eq f(32i,23i)eq f(32i23i,23i23i)eq f(13i,13)i.所以eq f(i2i1

4、,1ii1i)eq f(32i,23i)i1(i)1.(2)eq f(1r(3)i3,1i6)eq f(2i,12i)eq f(1r(3)i3,1i23)eq f(2i12i,12i12i)eq f(1r(3)i3,2i3)eq f(24ii2,5)eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(r(3),2)i)3,i)ieq f(1,i)ieq f(i,ii)i2i.歸納總結(jié)：【練習(xí)2】計(jì)算：(1)eq f(7i,34i)；(2)eq f(1i2i,i).解(1)eq f(7i,34i)eq f(7i34i,34i34i)eq f(2525i,25)1i；(2)eq f(1i

5、2i,i)eq f(3i,i)eq f(3ii,ii)13i.探究三 共軛復(fù)數(shù)【例3】已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z2iz42i，求復(fù)數(shù)z.分析設(shè)zxyi(x，yR)由題意得到方程組求x，y的值得到復(fù)數(shù)z.解設(shè)zxyi(x，yR)，則eq xto(z)xyi，由題意，得(xyi)(xyi)2(xyi)i(x2y22y)2xi42i，eq blcrc (avs4alco1(x2y22y4，,2x2，)解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y3)或eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1，)z13i或z1i.歸納總結(jié)：【練習(xí)3】若f(z)2z3i，f(i)63i，求f(z).解因?yàn)閒(

6、z)2z3i，所以f(i)2(i)(i)3i22izi3i2z2i.又f(i)63i，所以2z2i63i.設(shè)zabi(a，bR)，則abi，所以2(abi)(abi)6i，即3abi6i.由復(fù)數(shù)相等的定義，得eq blcrc (avs4alco1(3a6，,b1，)解得eq blcrc (avs4alco1(a2，,b1，)所以z2i，故f(z)2(2i)(2i)3i64i.課后作業(yè)A組 基礎(chǔ)題一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)，則z的虛部為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算法則，先求出z，由此利用復(fù)數(shù)的定義能求出z的虛部【詳解】,故的虛部為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)

7、數(shù)的虛部的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的合理運(yùn)用 2.復(fù)數(shù)的虛部是（ ）A. B. C. D. 【答案】：D【分析】先利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，即可求虛部.【詳解】，所以虛部為：故選: D【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查了求復(fù)數(shù)的虛部，屬于基礎(chǔ)題.3.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】：A【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后得到其共軛復(fù)數(shù)，再找到其再?gòu)?fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，得到答案.【詳解】，所以在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，屬于

8、簡(jiǎn)單題.4.若復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（ ）A. -1B. 1C. D. 【答案】：D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則可得結(jié)果.【詳解】解:依題意可得，所以，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5.已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)的值分別為（ ）A. 6,8B. 12,0C. 12,26D. 24,26【答案】：C【分析】由條件可知，化簡(jiǎn)求值.【詳解】由條件可知是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則 化簡(jiǎn)為：，即 ，解得：.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)計(jì)算，重點(diǎn)考查計(jì)算化簡(jiǎn)能力，屬于基礎(chǔ)題型.6.復(fù)數(shù)（i

9、是虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】：A【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面的點(diǎn)所在的象限.【詳解】，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，位于第一象限.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法計(jì)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題型.7.設(shè)復(fù)數(shù)，則（ ）.A. B. C. 2D. 1【答案】：A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算出，結(jié)合復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式即可得結(jié)果.【詳解】由，得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的概念，屬于基礎(chǔ)題.8.（多選題）已知復(fù)數(shù)，則（ ）A. B. z的虛部是C. 若，則，D. 【答案】：CD【分析】

10、取特殊值可判斷A選項(xiàng)的正誤；由復(fù)數(shù)的概念可判斷B、C選項(xiàng)的正誤；由復(fù)數(shù)模的概念可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取，則，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，復(fù)數(shù)的虛部為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，D選項(xiàng)正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)相關(guān)命題真假的判斷，涉及復(fù)數(shù)的計(jì)算、復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.9.（多選題）若復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. z的虛部為B. C. 為純虛數(shù)D. z的共軛復(fù)數(shù)為【答案】：ABC【分析】首先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)后得：，然后分別按照四個(gè)選項(xiàng)的要求逐一求解判斷即可.【詳解】因?yàn)?，?duì)于A：的虛部為，正

11、確；對(duì)于B：模長(zhǎng)，正確；對(duì)于C：因?yàn)椋蕿榧兲摂?shù)，正確；對(duì)于D：的共軛復(fù)數(shù)為，錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，側(cè)重考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，屬于常考題.10.（多選題）已知復(fù)數(shù)(a,i為虛數(shù)單位),且,下列命題正確的是( )A. z不可能為純虛數(shù)B. 若z的共軛復(fù)數(shù)為,且,則z是實(shí)數(shù)C. 若,則z是實(shí)數(shù)D. 可以等于【答案】：BC【分析】根據(jù)純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)等知識(shí)，選出正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí),此時(shí)為純虛數(shù),A錯(cuò)誤;若z的共軛復(fù)數(shù)為,且,則,因此,B正確;由是實(shí)數(shù),且知,z是實(shí)數(shù),C正確;由得,又

12、,因此,無(wú)解,即不可以等于,D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.11.（多選題）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（1i）z2i，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的結(jié)論正確的是（）A. B. 復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為1iC. 復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于第二象限D(zhuǎn). 復(fù)數(shù)z是方程x2+2x+20的一個(gè)根【答案】：ABCD【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求出，可知正確；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求出，可知正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知正確；將代入方程成立，可知正確.【詳解】因?yàn)椋?i）z2i，所以，所以，故正確；所以，故正確；由知，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，它在第二象限，故正確；因，所以正確.故選：ABCD

13、.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式，考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題12.若復(fù)數(shù)，則_.【答案】：【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，然后利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可計(jì)算出的值.【詳解】，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則_【答案】：【分析】由條件設(shè)，再化簡(jiǎn)，列式求解.【詳解】是純虛數(shù)，則設(shè) ， ，解得：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)復(fù)數(shù)的特征求參數(shù)的取值范圍，重點(diǎn)考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.14.已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)是_【答案】：【分析】利

14、用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求出，并求出，利用共軛復(fù)數(shù)的定義可得出結(jié)果.【詳解】，則，因此，的共軛復(fù)數(shù)是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)和共軛復(fù)數(shù)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z位于第_象限.【答案】：四【分析】求出復(fù)數(shù)，進(jìn)而可得答案.【詳解】因，所以在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故答案為：四.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義，是基礎(chǔ)題.三、解答題16.已知復(fù)數(shù)，若，且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若，求實(shí)數(shù)a、b的值【答案】：（1）z1i； （2）a3，b4【分析】（1）由已知求得，結(jié)合在復(fù)平面內(nèi)

15、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限可得，則復(fù)數(shù)可求；（2）把代入，整理后由兩個(gè)復(fù)數(shù)相等對(duì)應(yīng)實(shí)部虛部分別相等即可求解【詳解】解：（1），得又在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，即；（2）由（1）得，解得，【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題17.已知復(fù)數(shù).（1）當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，計(jì)算.【答案】：（1）；（2）.【分析】（1）由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)得出其實(shí)部為零，虛部不為零，進(jìn)而可解得實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則可計(jì)算得出的值.【詳解】（1）復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得；（2）當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查利用復(fù)數(shù)類(lèi)型求參數(shù)，同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)

16、的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，且復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)（1）求復(fù)數(shù)z（2）求的值【答案】：（1）或；（2）【分析】（1）設(shè)，得方程組求解即可得復(fù)數(shù)（2）利用復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算求解模長(zhǎng)【詳解】（1）設(shè)，則因?yàn)閺?fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則，又， 解得 或故或（2）B組 能力提升一、選擇題1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)，以射線(xiàn)Ox為始邊，OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為，則，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：，,則 ，由棣莫弗定理導(dǎo)出了復(fù)數(shù)乘方公式:,則 （ ）A. B. C. D. 【答案】：A【分析】先將復(fù)數(shù)化為的形式，然后再根據(jù)由棣莫弗定理得到的復(fù)數(shù)的乘方公式計(jì)算即可【詳解】由題意得復(fù)數(shù)可化為，

17、所以故選A【點(diǎn)睛】本題以復(fù)數(shù)的運(yùn)算為載體考查新信息問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是通過(guò)理解題意得到復(fù)數(shù)三角形式的乘方公式，考查計(jì)算和閱讀理解的能力，屬于基礎(chǔ)題2.已知復(fù)數(shù)，則（ ）A. 1B. 1C. D. 11【答案】：B【分析】由等比數(shù)列的求和公式及的性質(zhì)求解即可.【詳解】,故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了虛數(shù)單位的性質(zhì)，等比數(shù)列的求和公式，復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于容易題.3.（多選題）已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的是（ ）A. B. 復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)C. 復(fù)數(shù)z的虛部等于1D. 【答案】：ACD【分析】首先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再分別分析四個(gè)選項(xiàng)，利用復(fù)數(shù)的相關(guān)定義判斷.【詳解】 所以，故A正確；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)

18、數(shù)，故B不正確；復(fù)數(shù)的虛部等于-1，故C正確；，.故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的的化簡(jiǎn)，定義，運(yùn)算律，屬于基礎(chǔ)題型.4.（多選題）在復(fù)平面內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（ ）A. 若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則B. 若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則C. 若復(fù)數(shù)，則z為純虛數(shù)的充要條件是D. 若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的圓【答案】：AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及相關(guān)概念一一判斷可得；【詳解】解：對(duì)于A：，所以，故A正確；對(duì)于B：設(shè)，所以，若，則，則或或，當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)，則z為純虛數(shù)的充要條件是且，故C錯(cuò)誤；若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的圓

19、，故D正確；故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及相關(guān)概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題5.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則_.【答案】：1【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出，再求其?！驹斀狻恳?yàn)?，所以，則.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題三、解答題6.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z|，z的實(shí)部大于0，z2的虛部為2.（1）求復(fù)數(shù)z；（2）設(shè)復(fù)數(shù)z，z2，zz2之在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，求（）的值.【答案】：（1）1+i；（2）2.【分析】（1）先設(shè)出復(fù)數(shù)的表達(dá)式,結(jié)合已知條件中,實(shí)部大于,和的虛部為,列出方程求解出復(fù)數(shù)的表達(dá)式.（2）由（1）求出復(fù)數(shù)的表

20、達(dá)式,即可得到,在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi,x、yR;由|z|,得x2+y2=2;又z的實(shí)部大于即x0,z2=x2y2+2xyi的虛部為2xy=2,所以xy=1;解得x=1,y=1;所以復(fù)數(shù)z=1+i;（2）復(fù)數(shù),則,;則A（1,1）,B（0,2）,C（1,1）;所以.【點(diǎn)睛】本題考查了求復(fù)數(shù)的表達(dá)式及復(fù)數(shù)的幾何意義,解題時(shí)的方法是設(shè)出復(fù)數(shù)的表達(dá)式,按照題意得到方程組進(jìn)行求解,本題較為基礎(chǔ).7.已知復(fù)數(shù)w滿(mǎn)足為虛數(shù)單位，(1)求z；(2)若(1)中的z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)p，q的值及方程的另一個(gè)根【答案】：（1）（2），【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算計(jì)算出w，代入z即可得出把代入關(guān)于x的方程，利用復(fù)數(shù)相等解出p，q，即可得出【詳解】 ，是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，q為實(shí)數(shù)，