考研數(shù)學(xué)-數(shù)學(xué)大題

1、考研數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)大題考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題部分：基礎(chǔ)題部分的題目至少有1/3是可以通過(guò)技巧進(jìn)行解題，選擇填空的技巧見(jiàn)給你的武忠祥的介紹大題部分：每年的大題的基本題難度和選擇題的相近?？偨Y(jié)一下近5年的大題情況。10年函數(shù)極限，反常積分判收斂法，曲線曲積分及第一類曲線積分，冪級(jí)數(shù)求和，變上限函數(shù)，幾何體的形心線性代數(shù)中的正交變化和二次型隨機(jī)變量分布與數(shù)理統(tǒng)計(jì)09年函數(shù)極限，定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積，曲面積分運(yùn)算，數(shù)項(xiàng)的求和，多元函數(shù)的極值，二階微分方程，拉格朗日特征值和規(guī)范形隨機(jī)變量分布與數(shù)理統(tǒng)計(jì)08年函數(shù)極限，對(duì)定積分上限變量的求導(dǎo)，曲面曲線積分，展開(kāi)傅里葉級(jí)數(shù)，多元函數(shù)的極值，一元微分方程求解行列式的運(yùn)算隨機(jī)

2、變量分布與數(shù)理統(tǒng)計(jì)07年函數(shù)極限的運(yùn)算，函數(shù)的微分及其性質(zhì)，二重變換及運(yùn)算，曲線曲面積分，微分方程的計(jì)算線性方程組的求解，特征值特征向量的計(jì)算，矩陣的變換及行列式隨機(jī)變量分布與參數(shù)估計(jì)06年函數(shù)的極值計(jì)算，級(jí)數(shù)項(xiàng)的展開(kāi)，函數(shù)的微分和性質(zhì)，二重積分變換及運(yùn)算，曲線曲面積分矩陣及行列式的變換，線性方程組的求解，特征值和特征矩陣的計(jì)算，隨機(jī)變量分布與參數(shù)估計(jì)通過(guò)以上五年的分析可以看出以下幾點(diǎn)：1、 題型是基本固定的，如果章節(jié)合并之后，基本是每一章都出一道題，大題是沒(méi)有特殊值替代的技巧的，要普通思維一步步做，不要想什么跳躍思維，但是是若干個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合，另一方面大題比較靈活的地方在于對(duì)題干的認(rèn)識(shí)，

3、是這個(gè)意思，題干中的每一句話都要轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，所以要先看結(jié)論后讀題干，每一句話都是一個(gè)條件，都會(huì)有暗示的作用。例如：2010年的17題（1） 比較和的大小說(shuō)明為什么（2） 記求極限很明顯第一問(wèn)，想到積分的比較定理，就是和，由于這里的積分上下限是相同的，所以比較被積分項(xiàng)，同時(shí)這里看到所給項(xiàng)都是指數(shù)形式所以想到用比值法，當(dāng)然也可以開(kāi)方之后比較，可以得出第二問(wèn)，明顯的就是在第一問(wèn)的基礎(chǔ)之上的得出結(jié)論的，明顯在第一問(wèn)得到條件，想到夾逼定理，但是不知道底線是多少，所以先對(duì)右側(cè)進(jìn)行積分，由于，利用分步積分的方法很快得到，所以猜測(cè)好的解題是一件很自然的事情，是和出題者思路不謀而合的過(guò)程。2、 奇數(shù)年的

4、題目出的較為簡(jiǎn)單，偶數(shù)年的題目較難，比如去年的概率題，還有單調(diào)區(qū)間及其極值的問(wèn)題，都比較復(fù)雜。08年的線性方程組的計(jì)算題，所以你一定要放心，明年的題目不會(huì)太難的。3、 對(duì)10年的大題進(jìn)行一個(gè)考點(diǎn)的總結(jié)，基本上不會(huì)出這個(gè)范圍的，放心的看看，是沒(méi)有問(wèn)題的。1、 最令人討厭的題型高等數(shù)學(xué)：1、 未知變量題 比如09年18題，05年18題，04年15題，02年6大題等這些題的特點(diǎn)就是有不確定的未知量，比如、，這些未知量只有存在性，但是不能確定具體的值是什么。 特點(diǎn)：抽象的未知數(shù)，不知道該如何下手。解決方法：一、 中值定理，微分中值，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，洛爾定理二、 拉格朗日乘數(shù)法，常用方法

5、之一，特點(diǎn)明顯，所以在習(xí)題中常見(jiàn)，出現(xiàn)在08年17題，07年17題，2002八題一般是有完整的條件，要求在完整的條件下求一個(gè)未知方程的目標(biāo)值。三、 構(gòu)造特殊函數(shù)法，一般是把要求的不確定變量移到等式的一邊，構(gòu)造原函數(shù)這其中的三點(diǎn)都十分的重要，需要一一進(jìn)行解析。（1） 中值定理等的解析近年來(lái)考察相關(guān)考點(diǎn)的題有09年18題（洛爾定理，拉格朗日中值定理，）04年15題，05年18題（洛爾定理），中值定理的題的解題思路：可以發(fā)現(xiàn)在解題中中值定理和構(gòu)造函數(shù)法是經(jīng)常一起使用的，這是因?yàn)橹兄刀ɡ硎墙忸}的核心，而構(gòu)造函數(shù)則是解題的關(guān)鍵，很多人都是知道用中值定理解題，但是不知道該如何利用構(gòu)造函數(shù)法來(lái)求解。對(duì)于中值

6、定理的解析主要講如何利用中值定理的思想，或者合理的定位中值定理的思想。洛爾定理：至少存在一點(diǎn)使得，洛爾中值定理中最明顯的特征就是要找到，所以對(duì)于很多的問(wèn)題而言，存在不包含分?jǐn)?shù)的等式就意味著有可能要利用洛爾定理進(jìn)行解題。以07年19題為例例：設(shè)函數(shù)，在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，證明：存在，使得分析：看到等式想想到洛爾定理，移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)，同時(shí)發(fā)現(xiàn)在條件中給了相等的條件，但是給了兩個(gè)等式，就想到是結(jié)合的形式，通過(guò)移項(xiàng)得到這就涉及到如何構(gòu)造函數(shù)的問(wèn)題了，設(shè)此時(shí)的函數(shù)為，則容易得出，同時(shí)由于所求的等式為二階導(dǎo)數(shù)，而題目所給的為未求導(dǎo)的條件所以可能需要用到兩次中值定理。未求導(dǎo)函數(shù)可能是，

7、分別帶入點(diǎn)得，然后繼續(xù)看條件，發(fā)現(xiàn)還有條件沒(méi)有用到就是：在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，也就是說(shuō)設(shè)在區(qū)域內(nèi)的最大值別設(shè)為，那么也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，也就是說(shuō)在設(shè)存在點(diǎn)那么于是，就很容易的根據(jù)洛爾定理可知設(shè)存在點(diǎn)，使得，另設(shè)存在點(diǎn)使得即存在點(diǎn)，解答略。拉格朗日定理：存在一點(diǎn)使得拉格朗日中值定理和洛爾中值定理比起來(lái)，最大的區(qū)別在于分式的形式，或者在等式中存在項(xiàng)并且沒(méi)有積分符號(hào)，這也是拉個(gè)朗日中值定理和積分中值定理之間的差別。拉格朗日中值定理的函數(shù)的構(gòu)造相比于洛爾中值定理要麻煩一些，具體的通過(guò)例題查看：04年15題例：設(shè)，證明分析：很明顯不等式中包含項(xiàng)，所以考慮用拉格朗日的方法求解，同樣我們把等式

8、一邊的移項(xiàng)得到同時(shí)除以得到，如果按照拉格朗日中值定理的條件，上述的不等式可以化為，則函數(shù)為，于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成，其中，設(shè)函數(shù)由于所以而所以時(shí)，即成立，證畢?？挛髦兄刀ɡ恚褐辽俅嬖谝稽c(diǎn)柯西中值定理所用的就比較少，考研期間見(jiàn)過(guò)的用到柯西中值定理的題大概只有一道，還是與拉格朗日中值定理結(jié)合使用的。所以柯西中值定理只要了解一下就好，考的時(shí)候注意要證明的結(jié)果中有兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)形式。積分中值定理：存在一點(diǎn)使得積分中值定理也是一個(gè)比較常用的定理，除了典型的式子之外，還要有積分符號(hào)或者是有原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的等式（也有可能是不等式）同時(shí)出現(xiàn)在記過(guò)中的形式。舉一個(gè)例子例：設(shè)在上連續(xù)，且單調(diào)不減，證明任給有不等式分析：

9、很明顯該式中沒(méi)有項(xiàng)，觀察積分上下限和不等式，右邊有，那么，看右邊的，左邊那么即證明，再根據(jù)條件在上連續(xù)，且單調(diào)不減，再根據(jù)前面即證明，重新整理一下思路：1， 假設(shè)存在兩點(diǎn)，即2， 其中，3， 所以采用逐步不等式的方法證畢（2） 拉格朗日乘數(shù)法的解析拉格朗日乘數(shù)法屬于?？蓟究键c(diǎn)，近年來(lái)考察相關(guān)考點(diǎn)的題有08年17題例：已知曲線求上距離面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn)。分析：由于求解是是條件極值所以，設(shè)未知數(shù)，由于目標(biāo)函數(shù)值，即求設(shè)條件目標(biāo)函數(shù)為得方程組即解得或得到，所以最遠(yuǎn)的點(diǎn)是最近點(diǎn)為（3） 構(gòu)造函數(shù)法的解析近年來(lái)考察相關(guān)考點(diǎn)的題有09年18題，07年19題，05年18題，04年15題，01年七題構(gòu)造函

10、數(shù)法是考研數(shù)學(xué)中最精妙的方法之一，需要對(duì)于問(wèn)題有深刻的理解，對(duì)問(wèn)題基本算法很熟悉，但也不是不可以通過(guò)總結(jié)得出構(gòu)造函數(shù)的一般思路的。一般的思路是移項(xiàng)，看函數(shù)的表達(dá)式形式?jīng)Q定改如何構(gòu)造函數(shù)。09年18題例：證明拉格朗日中值定理分析：要證明等式首先進(jìn)行移項(xiàng)得到：將換成，并將等式的右面設(shè)成得到等式那么要證就必須要證明在的原函數(shù)中有兩個(gè)值是相等的（利用洛爾定理），這里的只有輸入變量只有，所以在的條件下，故存在點(diǎn)使得點(diǎn)，證畢。07年19題見(jiàn)前面拉格朗日法05年18題例：已知函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明（1）存在使得設(shè)函數(shù)f(x)在（a,b）上連續(xù)且在點(diǎn)（a,b）兩點(diǎn)的值異號(hào)，則在（a,b）之間至少有一

11、個(gè)點(diǎn)c使得f（c）=0（2）存在兩個(gè)不同的點(diǎn)使得分析：還是利用這個(gè)方法移項(xiàng)，將換成得到求的原函數(shù)要證明，則分別帶入得到但是題目中所給的最高項(xiàng)才是，沒(méi)有給出的表達(dá)式，所以這種方法是不通的，需要找其他的方法，還有一個(gè)方法就是零點(diǎn)定理,即若那么在范圍內(nèi)，有一點(diǎn)使得，很明顯根據(jù)已知條件, ,得證。第二問(wèn)還是這個(gè)思路，1、兩個(gè)不同的未知數(shù)，但是未知數(shù)的最高次項(xiàng)為一階導(dǎo)數(shù)，不存在一次項(xiàng)相除的形式或者兩個(gè)不同的函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合第一問(wèn)的條件，表達(dá)式中只有一個(gè)特殊點(diǎn)，一個(gè)點(diǎn)會(huì)把整個(gè)區(qū)域分成兩個(gè)部分，有可能是前面一個(gè)部分由一個(gè)點(diǎn)，后面部分有一個(gè)點(diǎn)，所以每個(gè)部分要先單獨(dú)計(jì)算和然后再整體計(jì)算，所以這個(gè)問(wèn)題要分成兩個(gè)問(wèn)

12、題，在每一個(gè)部分計(jì)算的過(guò)程中都要用到等式，求導(dǎo)數(shù)，由于是一個(gè)任意的點(diǎn)所以想到拉格朗日中值定理后半部分，然后兩者相乘得到于是得證，一切都很自然，排除鎖定算法，根據(jù)所給條件的暗示，按照算法的基本解題思路，推出過(guò)程，最后得到結(jié)果。所以說(shuō)數(shù)學(xué)考試都是基本題，基本的解題思路，是不是所有的解題思路都搞清楚，所有的知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系都搞清楚，這一點(diǎn)很重要，在總結(jié)完大題，基礎(chǔ)題，選擇題和填空題，?？贾R(shí)點(diǎn)之后，我會(huì)把每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的解題思路都總結(jié)一遍，這種解題思路實(shí)際上就是基礎(chǔ)定理的深層挖掘，一起加油！04年15題對(duì)于這個(gè)題前面已經(jīng)有所解釋，但是也可以利用函數(shù)構(gòu)造的方法來(lái)求解，移項(xiàng)，得到，可以想到如果此時(shí)有而此時(shí)

13、可以想到設(shè)出函數(shù)為增函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得到，由于，所以可知時(shí)，所以在條件時(shí)，01年七題例：設(shè)在內(nèi)具有兩階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且，試證：（1） 對(duì)于內(nèi)的任一，存在唯一的使（2） 分析：第一問(wèn)根據(jù)拉格朗日中值定理即可得，主要證明其唯一性，根據(jù)條件，因?yàn)槭沁B續(xù)導(dǎo)數(shù)，就不可能有既存在大于零有存在小于零的導(dǎo)數(shù)值（否則會(huì)有），所以只可能為單調(diào)的一階導(dǎo)數(shù)，所以有唯一的。第二問(wèn)中要證明，先對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形，在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上有通常情況下，等式左邊，但是現(xiàn)在其中為一個(gè)有關(guān)的函數(shù)，所以即要證明并且要證明此時(shí)的，就要把給分離出來(lái)，所以很自然的想到泰勒公式，對(duì)于一階求導(dǎo)展開(kāi)至少要包含兩項(xiàng)，就相當(dāng)于展開(kāi)式中有二階導(dǎo)數(shù)，所以此時(shí)的一階的求導(dǎo)是

14、不夠的需要對(duì)展開(kāi)二階以上的泰勒展開(kāi)，有了這個(gè)思路，我們對(duì)在處進(jìn)行泰勒展開(kāi)得到所以從而從而進(jìn)一步的即由于故近似的，從而這一道題不是構(gòu)造函數(shù)的題，但是多打了，就作為一種解題的思路來(lái)呈現(xiàn)，希望對(duì)解答該類的題能有所幫助。曲線，曲面旋轉(zhuǎn)體積分，多重積分題 比如10年19題，09年17題，19題08年16題，07年18題，06年19題，05年19題等等，可以發(fā)現(xiàn)基本上每一年都要考到相關(guān)的題型，并且根據(jù)各路專家的分析，該類題為近年?？碱}型，且為重點(diǎn)考察題型，該題型的解決方法最根本來(lái)源于一元微積分學(xué)，所以基本的解題思路都是和一元的相同的，在做不出來(lái)的時(shí)候可以從一元的開(kāi)始想。特點(diǎn)：形式復(fù)雜，變化多端，尤其需要對(duì)

15、閉合曲線積分和體積分之間的關(guān)系，一二類曲線、曲面積分的關(guān)系有深刻的了解和認(rèn)識(shí)。解決方法：(1)曲面積分和體積分之間的轉(zhuǎn)換方法曲面積分往往是一個(gè)不封閉的曲面空間，需要補(bǔ)一個(gè)面構(gòu)成封閉的空間，根據(jù)高斯定理直接化成三重積分，在求三重積分的積分空間時(shí)，通常用圓錐，和球形兩種坐標(biāo)的表達(dá)形式，用這種方法進(jìn)行計(jì)算的時(shí)候，積分項(xiàng)通常為，的直角坐標(biāo)表達(dá)形式。當(dāng)積分項(xiàng)為時(shí)，要將坐標(biāo)轉(zhuǎn)化到直角坐標(biāo)的表現(xiàn)形式例如根據(jù)公式進(jìn)行劃分，然后將帶入得到表達(dá)式中進(jìn)行替換即可。10年19題，09年17題都是這種題，這類題的思路也比較僵化，這里以10年19題為例。例：設(shè)P為橢球面上的動(dòng)點(diǎn)，若在點(diǎn)出的切平面與面垂直，求點(diǎn)的軌跡,并計(jì)

16、算曲面積分，其中是橢球面位于曲線上方的部分。分析：要求橢球面的切向量與面垂直也就是，其方向上的切向量垂直于面，也就是z方向上的法向量為0，于是列出的軌跡利用公式（） 將積分曲面向進(jìn)行投影，就要知道和，對(duì)兩邊對(duì)求導(dǎo)，得到，得到同理得到，帶入（）式得到此時(shí)橢球面在面投影的函數(shù)，即將帶入得到再將帶入得對(duì)該平面的二重積分還有一定的技巧，即利用對(duì)稱性由于在偶區(qū)域中表達(dá)式中的為奇函數(shù)，故積分為0，所以，根據(jù)橢圓的面積公式，得到(2)曲線積分，可以為二維的積分，也可以為三維的積分曲線積分往往是一個(gè)不封閉的空間弧線，需要補(bǔ)成一個(gè)閉合的空間曲線，然后利用格林公式，對(duì)閉合曲線進(jìn)行積分，補(bǔ)充曲線的積分采用特殊路徑的

17、積分，同上一樣在計(jì)算的過(guò)程中，也會(huì)出現(xiàn)積分項(xiàng)為的情況，所以此時(shí)要化成表達(dá)式的形式。曲線積分的題也和曲面積分相類似，這里給出08年16題為例。計(jì)算曲線積分其中是曲線上(3)三重體積分三重積分是積分中最簡(jiǎn)單的一種，但這里要注意的是積分的上下限的問(wèn)題，通常第一積分因子的上下限是另外兩個(gè)因子的表達(dá)式的形式，例如形式為這里，是之間關(guān)系求出的上限表達(dá)式的，而、是對(duì)之間關(guān)系對(duì)面投影得到的。但是考試的時(shí)候除了就算曲線積分和體積分之間的轉(zhuǎn)換時(shí)，其他的一般都會(huì)根據(jù)具體的情況選擇球坐標(biāo)和柱坐標(biāo)進(jìn)行求解。(4) 旋轉(zhuǎn)體的求解這個(gè)問(wèn)題不難，并且曾經(jīng)詳細(xì)的講過(guò)，這里主要是區(qū)分旋轉(zhuǎn)體積和旋轉(zhuǎn)方程。旋轉(zhuǎn)體積求法的三個(gè)基本公式

18、旋轉(zhuǎn)體積和分別表示圍繞x軸旋轉(zhuǎn)和y軸旋轉(zhuǎn)下的體積而旋轉(zhuǎn)方程表示圍繞著某軸旋轉(zhuǎn)面方程的表達(dá)式，例如函數(shù)圍繞著旋轉(zhuǎn)之后的表達(dá)式為，也就是說(shuō)圍繞旋轉(zhuǎn)的那個(gè)軸的變量時(shí)不變的而另外的一個(gè)變量變成平方差的形式。數(shù)列極限級(jí)數(shù)題數(shù)列極限題的無(wú)窮極限的問(wèn)題上，需要對(duì)臨近項(xiàng)之間的關(guān)系，或者是每一項(xiàng)和整體和之間的關(guān)系進(jìn)行求解。這類題出現(xiàn)在10年18題，09年16題，08年19題，07年20題，02年七題，01年五題，這里面要求求和函數(shù)的又占了大多數(shù)，可見(jiàn)掌握該類題的必要性。特點(diǎn)：題目本身不難，前提是掌握一定的方法。解決方法：1、 麥克勞林展開(kāi)式法該方法要求對(duì)麥克勞林展開(kāi)式比較熟悉，要求掌握的麥克勞林展開(kāi)式包含以下七

19、個(gè)：這里主要是用反向的變換，比如：順便說(shuō)一句，用于求解極限的題基本上都是可以用麥克勞林公式來(lái)求解，具體的方法就是將函數(shù)展開(kāi)成麥克勞林公式的形式，通過(guò)項(xiàng)的加減和無(wú)窮小來(lái)求解。2、 函數(shù)微分法微分法這里通常要與邁克勞林展開(kāi)式相結(jié)合來(lái)運(yùn)算，步驟通常是一、 將數(shù)列項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)的微分（有時(shí)候也可以是積分）二、 利用常用的邁克勞林展開(kāi)式求出最終的各項(xiàng)微分的和的表達(dá)式三、 對(duì)和進(jìn)行積分（或者微分），或者找出微分后的和合原級(jí)數(shù)的和之間關(guān)系的表達(dá)式，列出微分方程，求解微分方程得到結(jié)果。3、 逐項(xiàng)相消法這是最簡(jiǎn)單的方法，就是將各項(xiàng)劃開(kāi)，寫(xiě)成分?jǐn)?shù)相加或者相減的形式，以求得最終結(jié)果這里以10年的18題為例例：求冪函數(shù)的

20、收斂域和和函數(shù)分析：收斂域這時(shí)候用比值法是最好的，因?yàn)槭堑男问?。得到，然后分析邊界點(diǎn)分別把帶入，根據(jù)萊布尼茨準(zhǔn)則，得到該級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榍蠛秃瘮?shù)，很明顯這個(gè)一定是的邁克勞林展開(kāi)級(jí)數(shù)的形式，但是要進(jìn)行一定的處理由于系數(shù)中的存在，所以要通過(guò)微積分的方法消去。將每一項(xiàng)提出一個(gè)得到，又設(shè)得到所以線性代數(shù)：1、 抽象矩陣的證明和計(jì)算往年有關(guān)抽象矩陣的證明見(jiàn)于下列：向量組線性相關(guān)性的判定和證明（98年十一題）、相似矩陣的證明（01年十題）、矩陣相似和多項(xiàng)式的關(guān)系證明（02年十題）矩陣正定的證明（99年十一題）矩陣的秩的證明（08年20題）抽象矩陣的證明的證明方法體現(xiàn)在兩個(gè)個(gè)方面：一、 分塊求解

21、法分塊求解基本上都是分成行或者列之類的一維向量進(jìn)行求解，同樣的求解方法也體現(xiàn)在部分選擇題中，比如04年12題，就可以這么做例：設(shè)A、B為滿足的任意兩個(gè)非零矩陣，則（A）A、 A的列向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān)解：這時(shí)候有兩種方法第一種 就是剛才提到的分塊矩陣的方法，設(shè)之所以這么設(shè)，是因?yàn)榇藭r(shí)表示成的表達(dá)式的形式，而就必須表達(dá)成的形式乘出來(lái)才能是的多項(xiàng)式的表達(dá)形式，所以表達(dá)式為，然后再對(duì)和中的每一列或行進(jìn)行分解，于是就有的聯(lián)合表達(dá)式，所以根據(jù)向量相關(guān)的定義和均為線性無(wú)關(guān)于是得出答案。第二種就是特殊值法這里看到于是就想到秩的關(guān)系，如果其中表示一個(gè)的方陣，那么根據(jù)的條件，可以假設(shè)矩陣為的一個(gè)

22、矩陣，而為一個(gè)的矩陣，那么相乘之后由于得到的所以為一個(gè)值為0的矩陣，故而可以存在一個(gè)矩陣，根據(jù)這種可能性，得知此時(shí)間的為一個(gè)列向量相關(guān)矩陣，而為一行向量相關(guān)矩陣。這種分塊求解的方法如此的重要以至于可以應(yīng)用到很多的問(wèn)題的求解中，比如向量組相關(guān)性的證明，線性方程組的求解和判定，及正定矩陣和矩陣的正交變換上。二、 整體變換法與矩陣的分塊證明相反的是整體變換法，兩者所應(yīng)用的情況的區(qū)別就是，整體變換是不需要分塊的，也就是說(shuō)各種分塊的關(guān)鍵詞都沒(méi)有在整體變換法中出現(xiàn)，比如、向量，向量組相關(guān)或者線性方程組等，比如2002年十題。應(yīng)用整體求解一般就是用矩陣的性質(zhì)來(lái)求解，這里需要對(duì)矩陣的性質(zhì)理解的十分的深刻。這些

23、性質(zhì)包括：矩陣的運(yùn)算，標(biāo)準(zhǔn)正交性質(zhì)，矩陣秩的性質(zhì)，相似矩陣的性質(zhì)和定義，合同矩陣的定義，和一些基本特殊矩陣的證明比如二次型，正定矩陣，伴隨矩陣，對(duì)稱矩陣，反對(duì)稱矩陣，實(shí)對(duì)稱矩陣，逆矩陣等。這里列出幾個(gè)重點(diǎn)的公式：三、 其他方法很多的方法并不是分塊和整體求解可以解決的。因?yàn)檫@些問(wèn)題中往往是涉及到具體矩陣和向量的求解，或者是矩陣的特征值特征多項(xiàng)式的求解，伴隨矩陣的求解等等，這需要對(duì)向量和矩陣的運(yùn)算十分的熟悉。2、 矩陣的二次型、正定型的計(jì)算及矩陣相似、合同此類的問(wèn)題在每年的考試中常會(huì)出現(xiàn)，比如10年21題（正定矩陣），09年21題（二次型），07年22題（實(shí)對(duì)稱矩陣，其實(shí)這個(gè)很簡(jiǎn)單）06年的21題

24、（合同問(wèn)題）05年20題（正交變換轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)型）02年十題（相似矩陣，實(shí)對(duì)稱矩陣證明），特點(diǎn)這些問(wèn)題可能會(huì)看起來(lái)很復(fù)雜，或者理解起來(lái)很抽象，或者證明的方法很多，不知道如何證明，數(shù)量大，種類多，需要記憶的也多，所以如果能對(duì)每一種題型的基本題有一些準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并且記住，就可以解決其中的絕大多數(shù)問(wèn)題了。解決方法：針對(duì)于不同的問(wèn)題，首先知道基本概念和定理，總結(jié)出解題的規(guī)律。一、 對(duì)稱矩陣，實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣很簡(jiǎn)單，其含義就是，當(dāng)矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣的時(shí)候就會(huì)有很多有趣的定理：實(shí)對(duì)稱矩陣一定可對(duì)角化存,并存在正交矩陣，使得實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值全是實(shí)數(shù)，特征向量全是實(shí)向量，不同特征值的特征向量是正交的。二、 合

25、同和相似問(wèn)題矩陣的合同：存在可逆的矩陣，使得則稱為矩陣的合同。矩陣的相似：存在可逆的矩陣，使得則稱為矩陣的相似。這里可以展開(kāi)推理分析：相似矩陣可以兩邊同時(shí)左乘，右乘，得到等式，由于是可逆矩陣所以如果設(shè)，那么，所以前面的等式可以化為，所以和互為逆矩陣。如果同樣對(duì)于合同矩陣而言，兩邊滿足,這里的表示為單位矩陣，那么等式可以化為，同理設(shè)，有等式存在互為合同矩陣，但是很少有這種巧合的情況即，這種矩陣被稱為酉矩陣，酉矩陣不為考試點(diǎn)，所以不加考慮。由以上的推論，可以得出相似矩陣和合同矩陣的一些性質(zhì)：矩陣的跡：方陣的對(duì)角線上所有元素的和。相似矩陣可以實(shí)現(xiàn)對(duì)角化矩陣的一種方式，根據(jù)矩陣的跡的定義，原矩陣和其相

26、似對(duì)角矩陣的跡是相同的，也就是說(shuō)矩陣和它相似對(duì)角矩陣的跡是相同的，同時(shí)有結(jié)論：相似矩陣的特征值是相同的。合同矩陣，由于不是可逆的，所以會(huì)改變?cè)瓉?lái)矩陣的性質(zhì)，所以合同矩陣只滿足一個(gè)性質(zhì)：秩和原矩陣的秩相等。在實(shí)對(duì)稱矩陣的時(shí)候，相似矩陣滿足合同性質(zhì)，也就是說(shuō)存在等式，在和為實(shí)對(duì)稱矩陣的條件下有，由于, ,所以此時(shí)對(duì)對(duì)兩邊取轉(zhuǎn)秩，等式得到故等式證明此時(shí)實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)兩邊取逆得到故故所以根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)，實(shí)對(duì)稱矩陣是可以相似對(duì)角化的，所以，此時(shí)的也是可以對(duì)角化的。三、 正定矩陣及二次型正定矩陣：如果對(duì)于任意的非零向量都有，就稱為為正定二次型，稱為正定矩陣。二次型就是二次齊次多項(xiàng)式，其中每一項(xiàng)都是

27、二次的，比如用矩陣表示就是所以其矩陣表示形式：二次型正定的充要條件：1是正定二次型；2的正慣性指數(shù)為3 存在可逆矩陣，使得4的特征值全部大于0慣性指數(shù)：矩陣的特征多項(xiàng)式配方后正負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)。正慣性指數(shù)：正平方項(xiàng)數(shù)正慣性指數(shù)：正平方項(xiàng)數(shù) 5的順序主子式全大于0根據(jù)上面五條性質(zhì)，可以看出在不同的情況下，使用的方法是不同的條件1，3，5 基本上都是用以矩陣求解證明的。條件1 可以用于多項(xiàng)式計(jì)算的方式進(jìn)行判定，但是多數(shù)情況下不這么判定，需要構(gòu)造特殊的的形式來(lái)判定是否為二次型。如99年的十一題題目中要證為正定矩陣，則要證明,即即可，此時(shí)就要求證明在向量為正定矩陣的情況下，向量為為非零向量。條件3 也為

28、矩陣求法，使用方法也和條件一類似。條件5 可以按照順序求解矩陣的順序主子式。條件2，4，5基本上都可以用多項(xiàng)式法求解證明的條件2 用配方法配出多項(xiàng)式絕對(duì)是可以求解的，這種方法一般用于實(shí)對(duì)稱三階左右的方陣。條件4 這種方法很明顯用來(lái)求證二次型最簡(jiǎn)單，但是有時(shí)候題目給的不是一般的方陣而是抽象矩陣，例如拓展習(xí)題：例：設(shè)為n階的實(shí)對(duì)稱矩陣，且，證明正定解：根據(jù)多項(xiàng)式函數(shù)與矩陣特征值的關(guān)系，列出特征值的多項(xiàng)式的函數(shù)配方得，很明顯的時(shí)候存在復(fù)數(shù)項(xiàng)，所以存在唯一的特征值，證畢條件5 這種方法用的條件比較單一，適用于方陣中有未知數(shù)，在知道方陣為正定矩陣的情況下，列出若干不等式，求方陣中的未知數(shù)。例如：例：知道

29、方陣為正定矩陣求和解：列出不等式得到對(duì)于二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題的求解1、 正交變換法 2、配方法 3、初等變換法正交變化法，是解決二次型問(wèn)題的基本方法，通過(guò)正交變換將二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型，和求特征特征多項(xiàng)式的過(guò)程類似，通過(guò)單位正交陣的變化，實(shí)際上是每一階將主子式進(jìn)行變換，這里掌握基本的計(jì)算過(guò)程就可以。配方法，是用多項(xiàng)式的方法進(jìn)行求解的方法，我比較喜歡用，有時(shí)候會(huì)計(jì)算的很快，并且不容易出錯(cuò)，但是一般指明了矩陣運(yùn)算的，則用矩陣運(yùn)算比較方便，比如給一個(gè)例題例：已知二次型的秩為2，求參數(shù)c及二次型對(duì)應(yīng)矩陣的特征值解：根據(jù)的表達(dá)式列出對(duì)應(yīng)的矩陣由于矩陣的秩為2，所以，于是得到解然后求其特征值，由得四、 正交

30、矩陣正交矩陣是比較容易的，即滿足條件的矩陣稱為正交矩陣，但這里涉及到有關(guān)正交的定義有正交矩陣，正交化，正交基，施密特正交化，還有所有要求用到正交變換的情況。正交：兩個(gè)矩陣或者向量之間滿足條件，則稱該矩陣或向量為兩兩正交的關(guān)系，過(guò)程被稱為正交化。正交基：若干個(gè)兩兩正交向量組成的正交空間。施密特正交：對(duì)于一組線性無(wú)關(guān)的向量，之間不存在正交關(guān)系，要實(shí)現(xiàn)向量之間的正交，就利用施密特正交的方法對(duì)這些向量進(jìn)行正交分解，在進(jìn)行二次型變換的時(shí)候，對(duì)特征向量正交化之后，還要求進(jìn)行單位化，每一個(gè)向量都是一個(gè)單位向量，從而保證整體的二次變換對(duì)原矩陣不存在放縮的關(guān)系。正交變換的適用范圍：（1） 二次型變換 典型的情況

31、：題目中要求“在正交變換的條件下，將原二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型”記住，單位正交變換處理之后的矩陣是與原矩陣的性質(zhì)相同的，具體的原因是由于，設(shè)原矩陣為，標(biāo)準(zhǔn)型為，正交變換矩陣為，則關(guān)系為由于，此時(shí)的是施密特正交化之后的矩陣，所以滿足條件所以，根據(jù)相似矩陣的性質(zhì)，相似變換前后的矩陣的性質(zhì)相同，跡值相同。（2） r維向量空間：一個(gè)向量空間內(nèi)的每一個(gè)向量都是線性無(wú)關(guān)的由此構(gòu)成的空間稱為r維向量空間，每一向量稱為該空間的基。r維向量空間的計(jì)算 r維向量空間并非要求是每一個(gè)向量都正交，但是有時(shí)要求求單位正交空間或計(jì)算基空間是否正交。還有一點(diǎn)就是空間基的投影問(wèn)題，就是說(shuō)要在一個(gè)r維空間中，任意一個(gè)空間向量向空間正交

32、基投影，需要實(shí)現(xiàn)對(duì)空間的基向量進(jìn)行施密特正交化，然后利用矩陣的變換，得到投影空間，這個(gè)問(wèn)題在10年13題中考了一個(gè)很簡(jiǎn)單的問(wèn)題。例：設(shè)，若由形成的空間維數(shù)是2，那么的值是多少解：由于向量空間的秩為2，那么3維空間的值就為0，即存在，這里選取的為和中非線性相關(guān)的三個(gè)數(shù)，從而得到3、 有關(guān)計(jì)算題的想法和思考考研試題中的很多問(wèn)題都不僅僅是以上總結(jié)兩類，更多的是計(jì)算問(wèn)題這些計(jì)算中有一些技巧，但是相對(duì)于高等數(shù)學(xué)還是要少很多，題型相對(duì)穩(wěn)定，主要是要記得所有的基礎(chǔ)定理，公式和基礎(chǔ)題。概率論：近幾年的線性代數(shù)的題目都比較固定，一般都是最后一題為書(shū)里統(tǒng)計(jì)題，倒數(shù)第二題為概率題。每年都是如此，并且題目都很固定，不是很難，除了去年的試題較為靈活之外，其余各年的題都是相對(duì)簡(jiǎn)單的，所以通過(guò)對(duì)去年的兩道題的分析，得出概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)大題的解題規(guī)律。概率題：10年22題例：設(shè)二維隨機(jī)變量（）的概率密度為其中，求常數(shù)及條件概率密度分析：要求需要用到公式，要知道表達(dá)式中的值，就要求利用公式，要計(jì)算就要對(duì)利用公式對(duì)進(jìn)行積分來(lái)算，所以根據(jù)這些公式可以總結(jié)出下面的解題思路。該