三垂線定理及其應(yīng)用

1、三垂線定理及其應(yīng)用第1頁，共12頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)58分，星期六三垂線定理及其應(yīng)用aAPo第2頁，共12頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)58分，星期六一、三線概念:平面的斜線、垂線、射影aAPo如圖PO是平面的斜線, O為斜足; PA是平面的垂線, A為垂足; AO是PO在平面內(nèi)的射影.第3頁，共12頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)58分，星期六性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理線面垂直線線垂直線面垂直線線垂直 PO 平面PAOaPO 二、三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線(a)，如果和這個平面的一條斜線(PO)的射影(AO)垂直，那么它(a)也和這條斜線垂直。PAa PAaAOaPAA

2、O=Aa平面PAOPaAo已知:如圖,PO為平面的斜線, PA , a在平面內(nèi)且垂直PO的射影AO.求證:aPO證明:第4頁，共12頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)58分，星期六 1、三垂線定理描述的是斜線、射影、直線之間 的垂直關(guān)系. 2、a與PO可以相交，也可以異面. 3、三垂線定理的實質(zhì)是平面的一條斜線和 平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理.說明：4 、轉(zhuǎn)化思想:空間兩直線的垂直問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi) 兩直線的垂直問題.aAPo第5頁，共12頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)58分，星期六 練習(xí)：判定下列命題是否正確 (1)若a是平面的斜線、直線b垂直于a在平面內(nèi)的射影，則ab。 ( ) 2定理

3、的關(guān)鍵找“平面的垂線”. 強(qiáng)調(diào)：1四線是對同一個平面而言. (2)若a是平面的斜線，b是平面內(nèi)的直線，且b垂直于a在內(nèi)的射影，則ab。 ( ) aAPo第6頁，共12頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)58分，星期六三、知識運(yùn)用例1. 如圖,PD平面ABC,AC=BC,D為AB的中點(diǎn),求證ABPC.PABCD證明: PD平面ABC, DC為PC在平面的射影, 而ABC為等腰三角形, D為AB的中點(diǎn), AB CD AB PC第7頁，共12頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)58分，星期六 例2.如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，連結(jié) BD1，AC，CB1，B1A，求證：BD1平面AB1C

4、 DD1平面ABCD BD是斜線D1B在平面ABCD上的射影 ABCD是正方形ACBD (AC垂直射影BD)，ACBD1 A1D1C1B1ADCB同理:BA1是斜線BD1在平面ABB1A1上的射影 , AB1 BD1 而AC AB1 =A BD1平面AB1C證明：連結(jié)BD、A1B第8頁，共12頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)58分，星期六例3.道路旁有一條河，彼岸有電塔AB，高15m，只有測角器和皮尺作測量工具，不過河能否求出電塔頂A與道路的距離？(測角器只能測水平面角) 解：在道路邊取一點(diǎn)C，使BC與道邊所成水平角等于90，BAC90 BC是AC的射影,且CDBC,CDAC (三垂線定理)

5、 因此斜線AC的長度就是電塔頂A與道路的距離。第9頁，共12頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)58分，星期六BAC90 BC= a米，在直角ABC中,AC2=AB2+BC2， AC= 152+a2 米 答：電塔頂A與道路的距離是 米。再在道路邊取一點(diǎn)D，使CDB=45,則CD=CB可測得C、D的距離等于a米,D45第10頁，共12頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)58分，星期六例4.如圖,長方體 ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2 , AA1= , E,F分別為AB和AD的中點(diǎn),求平面A1EF 和平面ABCD所成二面角的大小? ABCDEFA1B1C1D1解:連接BD,AC,AC交EF于G,G連接A1G 底面ABCD是正方形，ACBD, 而E,F為AB和AD中點(diǎn), EFBD, EFAC 又因為AG為A1G在平面ABCD 上的射影.(由三垂線定理) EFA1G,則A1GA為二面角的平面角.計算得:二面角的大小為:60o第11頁，共12頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)58分，星期六 三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。 四、小 結(jié) 2.定理的主要應(yīng)用:證明線線垂直,線面垂直, 求點(diǎn)到線的距離,二面角大小, 1