不等關(guān)系與不等式

1、不等關(guān)系與不等式第1頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日主要內(nèi)容3.比較代數(shù)式大小的方法2.不等式的性質(zhì)及其證明4.不等式的應(yīng)用實例1. 不等關(guān)系第2頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日1. 不等關(guān)系第3頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日觀察最低限速60km最低限速50km/hv50km/h最高限速120km小汽車限速范圍60kmv120km/h第4頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日問題1 設(shè)點A與平面M的距離為d，B為平面M上的任意一點，則d|AB|AMBd第5頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分

2、，星期日問題2 某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本. 據(jù)市場調(diào)查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本。若把提價后雜志的定價設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入不低于20萬元呢？分析：若雜志的定價為x元，則銷售的總收入為 萬元. 那么不等關(guān)系“銷售的總收入不低于20萬元”可以表示為不等式第6頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日問題3 某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種.按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式呢？ 分析：假設(shè)截得500mm鋼管x根，

3、截得600mm的鋼管y根. 由題意，應(yīng)有以下的不等關(guān)系：（1）截得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm；（2）600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍；（3）截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負.第7頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日 要同時滿足上述三個不等關(guān)系，可以用下面的不等式組來表示：第8頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日2.不等式的性質(zhì)及其證明第9頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日事實上，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的. 在數(shù)軸上不同的兩點中，右邊的點表示的實數(shù)比左邊的點表示的實數(shù)大 譬如圖中，設(shè)點A 表示實數(shù)a，點B 表

4、示實數(shù)b,點A 在點B 右邊，那么ab BAab回憶兩個實數(shù)的大小是如何確定的？第10頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日 從上面的性質(zhì)可知，要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差就可以了，這也是我們研究不等關(guān)系的一個出發(fā)點. 基本事實作差比較法第11頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日1.不等式的性質(zhì)性質(zhì)1如果ab,那么ba; 如果bb證明：由于ab, 可得a-b0所以 -（a-b）0即b-a0所以 ba.同理可證得：如果bb說明：此性質(zhì)可稱為不等式的自反性第12頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日性質(zhì)2如果ab, bc, 那么ac

5、.證明：由于ab, 得a-b0；又bc，得b-c0;所以a-c=(a-b)+(b-c)0即a-c0所以 ac.說明：此性質(zhì)可稱為不等式的傳遞性。第13頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日性質(zhì)3如果ab, 那么a+cb+c證明：由于ab, 得a-b0；所以（a+c）-（b+c）=a-b0即(a+c)-(b+c)0所以 a+cb+c.說明：此性質(zhì)可稱為不等式的加法性質(zhì)也叫平移性，即不等式的兩邊同時加上同一個常數(shù)，不等號的方向不變.第14頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日性質(zhì)4如果ab, c0,那么acbc; 證明：由于ab, 得a-b0；ac-bc=c(a

6、-b)0所以 acbc.說明：此性質(zhì)可稱為不等式的乘法性質(zhì)，也叫伸縮性：即不等式的兩邊同時乘上同一個正數(shù)，不等號方向不變，不等式的兩邊同時乘上同一個負數(shù)，不等號的方向改變.如果ab, c0,那么ac0時ac-bc=c(a-b)0所以 acbc.當(dāng)cb, cd,那么a+cb+d; 證明：由于ab, 得a-b0又cd,得c-d0；說明：此性質(zhì)可稱為不等式的疊加性：兩個同向不等式相加，所得不等式與原不等式同向.所以(a+c)-（b+d）=(a-b)+(c-d)0所以 a+cb0, cd0,那么acbd; 證明：由于ab, 得a-b0,又cd,得c-d0ac-bd=ac-ad+ad-bd =a(c-d

7、)+d(a-b)說明：此性質(zhì)可稱為不等式的疊乘性：兩邊都是正數(shù)的同向不等式相乘，所得不等式與原不等式同向.所以 ac-bd0即 acbd.由題意知a0,d0, 且c-d0,a-b0第17頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日性質(zhì)7如果ab0, 那么anbn(nN,n2); 證明：由于ab0, 根據(jù)性質(zhì)6，自乘得；aabb即 a2b2.說明：此性質(zhì)可稱為不等式的乘方的性質(zhì)：當(dāng)不等式的兩邊都是正數(shù)時，不等式兩邊同時乘方所得的不等式和原不等式同向.繼續(xù)用性質(zhì)6，可得 a3b3.顯然 a2b20,繼續(xù)下去可得anbn(nN,n2); 第18頁，共44頁，2022年，5月20日，0點5

8、1分，星期日性質(zhì)8如果ab0, 那么 (nN,n2); 證明：用反證法證明，假設(shè)結(jié)論不成立則；說明：此性質(zhì)可稱為不等式的開方的性質(zhì)：當(dāng)不等式的兩邊都是正數(shù)時，不等式兩邊同時開方所得的不等式和原不等式同向.則得a=b，與已知ab矛盾若若 則由性質(zhì)7,兩邊n次冪得ab矛盾.第19頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日證明命題的方法簡介 在數(shù)學(xué)學(xué)科中，根據(jù)是否由論據(jù)直接過渡到論題，我們把證明命題的方法分為直接證明和間接證明.直接證明就是由論據(jù)按照推理規(guī)則直接推出論題的證明. 其特點是：從論題出發(fā)，為論題的真實性直接提供證明理由.直接證明是最常見的證明方法.間接證明就是通過確定其他命

9、題的虛假來確定論題真實性的證明，就是說，用這種證明方法證明的論題不是由論據(jù)按照推理規(guī)則直接推得，而是通過間接的方法得到證明的. 間接證明分為反證法和選言證法. 第20頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日 直接證明是相對于間接證明說的，綜合法和分析法是兩種常見的直接證明. 綜合法: 一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法（或順推證法、由因?qū)Чǎ? 分析法: 一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公

10、理等）為止，這種證明方法叫做分析法. 第21頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日 反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得. 法國數(shù)學(xué)家阿達瑪(Hadamard)對反證法的實質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾”.具體地講，反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明. 反證法簡介第22頁，共44頁，20

11、22年，5月20日，0點51分，星期日 反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定推理否定”.即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論 推導(dǎo)出矛盾 結(jié)論成立. 反證法的證題模式第23頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日反證法證明命題的一般步驟：第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)； 第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立.第24頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日 用反證法證題

12、時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”； 如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種反證法又叫“窮舉法”歸謬法和窮舉法反證法的類型第25頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日 在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧?。一般來講，反證法常用來證明的題型有： 2. 具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆. 1. 命題的結(jié)論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形

13、式出現(xiàn)的命題；或者否定結(jié)論更明顯. 反證法的適用范圍第26頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日不等式的常見證明方法直接證法 1）比較法（作差、或作商） 2） 綜合法 3） 分析法 4） 其它換元法、放縮法等2. 間接證法 反證法第27頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日例1.如果ab0, cb0, 得a-b0,ab0, 又cb 與同時成立的充要條件解答： ab0一方面，若ab0，b0，求證：a3+b3a2b+ab2即a3+b3a2b+ab2.證明一：比較法（作差）（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3- a2b）+（b3-ab2）=a2(a-b)+b

14、2(b-a)a0，b0，( a-b)2(a+b)0.故（a3+b3）-（a2b+ab2）0,a+b0，而( a-b)20.=( a-b)2(a+b).=(a-b)(a2-b2)第30頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日故a3+b3a2b+ab2.證明二：比較法（作商）a2+b22ab，又a0，b0，所以ab0，第31頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日所以有a3+b3a2b+ab2.證明三：分析法欲證a3+b3a2b+ab2，只需證明(a+b)(a2+b2-ab)ab(a+b).由于a0，b0，所以a+b0，故只要證明a2+b2-abab即可。即證明a2

15、+b22ab.而a2+b22ab 顯然是成立的第32頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日即a3+b3a2b+ab2.證明四：綜合法a2+b22ab，a2+b2-abab.又a0，b0，a+b0，故(a+b)(a2+b2-ab)ab(a+b).第33頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日3.比較代數(shù)式大小的方法第34頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日例3.比較 與 的大小 分析：此題屬于兩個代數(shù)式比較大小，可以作差，判斷差值正負，從而得出兩個代數(shù)式的大小.當(dāng) 時，所以當(dāng) 時，所以2.比較代數(shù)式大小的方法第35頁，共44頁，2022年，5

16、月20日，0點51分，星期日例4.已知 ，比較與 的大小解：作差比較因為a0， 所以-a20第36頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日解：所以 比較 與 的大小練習(xí)2第37頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日1).如果ab0，則下列不等式中不成立的是（ ）（A） （B） （C）ab （D）a2b22).a、b是任意實數(shù)，且ab，則 （ ） （A） a2b2 （B） （C）lg（a-b）0 （D） BD練習(xí)3第38頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日 3.a、b、c、d是任意實數(shù)，且ab，cd，則下列結(jié)論正確的是 （ ） （A）a+cb

17、+d （B）a-cb-d （C）acbd （D）A第39頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日4.不等式的應(yīng)用實例第40頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日 例5.某夏令營有48人，出發(fā)前要從A、B兩種型號的帳篷中選擇一種.A型號的帳篷比B型號的少5頂.若只選A型號的，每頂帳篷住4人，則帳篷不夠；每頂帳篷住5人，則有一定帳篷沒有住滿.若只選B型號的，每頂帳篷住3人，則帳篷不夠；每頂帳篷住4人，則有帳篷多余.設(shè)A型號的帳篷有x頂，用不等式將題目中的不等關(guān)系表示出來.第41頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日 解：設(shè)A型號帳篷有x個，則B型號帳篷有（x+5)個，則有如下不等關(guān)系：第42頁，共44頁，2022年，5月20日，0點51分，星期日 練習(xí)：旅行社為了吸引更多的游客加入， 各自推出了獨特的營銷策略，實行團體優(yōu)惠是司空見慣的.甲、乙兩家旅行社對家庭旅行者的優(yōu)惠條件是： 甲旅