信號(hào)分析課件：第3章離散傅里葉變換1

1、第 3 章離散傅里葉變換和快速傅里葉變換主 要 內(nèi) 容連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換離散傅里葉變換離散傅里葉變換的性質(zhì)快速傅里葉變換與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB函數(shù) 信號(hào)以時(shí)間為自變量頻譜函數(shù)以頻率為自變量傅里葉變換逆傅里葉變換不 同 形 式 的 傅 里 葉 變 換 對(duì)傅 里 葉 級(jí) 數(shù)(FS)：連 續(xù) 時(shí) 間 , 離 散 頻 率 的 傅 里 葉 變 換 。連 續(xù) 傅 里 葉 變 換(FT)：連 續(xù) 時(shí) 間 , 連 續(xù) 頻 率 的 傅 里 葉 變 換 。序 列 的 傅 里 葉 變 換(DTFT):離 散 時(shí) 間 , 連 續(xù) 頻 率 的 傅 里 葉 變 換.離 散 傅 里 葉 變 換(DFT):離 散

2、 時(shí) 間 , 離 散 頻 率 的 傅 里 葉 變 換3.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換一. 周期信號(hào)與離散頻譜 周期函數(shù)：其中：周期連續(xù)時(shí)間信號(hào) 非周期離散頻譜密度函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)FS通過 變 換 對(duì) 可 以 看 出 時(shí) 域 的 連 續(xù) 函 數(shù) 造 成 頻 域 是 非 周 期 的 頻 譜 函 數(shù) , 而 頻 域 的 離 散 頻 譜 就 與 時(shí) 域 的 周 期 時(shí) 間 函 數(shù) 對(duì) 應(yīng) 。(頻域采樣，時(shí)域周期延 拓)周期信號(hào) 非周期信號(hào)周期信號(hào)非周期信號(hào) ？二、 非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)通過連續(xù)付里葉變換(FT)得到非周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)。條件：例：窗函數(shù)解：t1-T/2T/2T以上變換

3、對(duì)可以看出時(shí)域 連 續(xù) 函 數(shù) 造成頻域是非周期的譜 , 而是時(shí)域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜 . 3.2 離散傅里葉變換序列的傅里葉變換(DTFT) 離散傅里葉變換 離散傅里葉變換的性質(zhì) 離散傅里葉變換在應(yīng)用中的問題 一、序列的傅里葉變換(DTFT)1. 定義正變換：反變換：由序列的傅立葉變換公式：其中的M為整數(shù)。因此序列的傅立葉變換是頻率的周期函數(shù)。實(shí)際頻率f角頻率圓周頻率歸一化頻率DTFT與Z變換的關(guān)系 s平面用直角坐標(biāo)表示為： z平面用極坐標(biāo)表示為： 又由于 所以有：因此， ；這就是說， z的模只與s的實(shí)部相對(duì)應(yīng), z的相角只與s虛部 相對(duì)應(yīng)。00(1). 與 的關(guān)系 ，即s平面的虛軸

4、，即z平面單位圓； ，即s的左半平面 ，即z的單位圓內(nèi)； ，即s的右半平面 ，即z的單位圓外 。jImzRez序列的傅里葉變換就是單位圓上的Z變換00 時(shí)域的離散造成頻域的周期延拓 ,而時(shí)域的非周 期對(duì)應(yīng)于頻域的連續(xù) . 2、性 質(zhì)1）線性 2）時(shí)移3）卷積 4）序列的共軛 2. 1.5) Parserval定理6) DTFT的共軛對(duì)稱性共軛對(duì)稱序列 共軛對(duì)稱序列的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。共軛反對(duì)稱序列 共軛反對(duì)稱序列的實(shí)部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。序列可以分成共軛對(duì)稱 部分與共軛反對(duì)稱 部分此時(shí)：對(duì)上面兩式取DTFT，得到結(jié)論：序列的共軛對(duì)稱部分 對(duì)應(yīng)DTFT的實(shí)部，序列的共軛反對(duì)稱部分

5、對(duì)應(yīng)DTFT的虛部。序列共軛分解，對(duì)應(yīng)頻譜的實(shí)部和虛部分解序列的實(shí)部和虛部分解，對(duì)應(yīng)頻譜的共軛分解序列為實(shí)序列的情況實(shí)部是的偶函數(shù)虛部是的奇函數(shù)幅度是的偶函數(shù)幅角是的奇函數(shù)3、舉 例解：例3.2.1：設(shè)矩形窗若，求N=5時(shí)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻譜是的連續(xù)周期函數(shù)，周期為2 x(n)為實(shí)序列時(shí)，頻譜幅度在區(qū)間02內(nèi)是偶對(duì)稱函數(shù)，相位是奇對(duì)稱函數(shù)上面討論的三種傅里葉變換對(duì) ,都不適用在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算 , 因?yàn)橹辽僭谝粋€(gè)域 ( 時(shí) 域 或 頻 域 ) 中 , 函 數(shù) 是 連 續(xù) 的 。 因 為 從 數(shù) 字 計(jì) 算 角 度 , 我 們 感 興 趣 的 是 時(shí) 域 及 頻 域 都 是 離 散 的 情 況 。我

6、們 先 從 周 期 性 序 列 的 離 散 傅 里 葉 級(jí) 數(shù)(DFS) 開 始 討 論 , 然 后 在 討 論 可 作 為 周 期 函 數(shù) 一 個(gè) 周 期 的 有 限 長(zhǎng) 序 列 的 離 散 傅 里 葉 變 換(DFT)。3.2 離散傅里葉變換序列的傅里葉變換(DTFT) 離散傅里葉變換 離散傅里葉變換的性質(zhì) 離散傅里葉變換在應(yīng)用中的問題 一、周期序列離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)1. 周期序列DFS定義設(shè) 為周 期 為 N 的 周 期 序 列 , 則 其 離 散傅里 葉 級(jí) 數(shù) (DFS) 變 換 對(duì) 為 : 正變換 反變換 其中：2. 推導(dǎo)正變換非周期信號(hào)x (n)，其 DTFT(單位圓上Z變

7、換)為周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)，對(duì)其進(jìn)行采樣，使其成為周期性離散頻譜函數(shù)。設(shè)在一周期內(nèi)采樣N個(gè)點(diǎn)，則兩采樣點(diǎn)間距為： 得到頻間距為： 代入DTFT式子中得：3. DFS反變換證明：已知 兩邊同乘以 ，并對(duì)一個(gè)周期求和用n置換r得正交 定理時(shí)域連續(xù) 非周期連續(xù) 非周期連續(xù) 周期離散 非周期00(FT)(FS)00頻域四種形式傅里葉變換對(duì)離散 非周期離散 周期連續(xù) 周期離散 周期(DTFT)(DFS)時(shí)域頻域0000DFS離散傅里葉級(jí)數(shù)的推導(dǎo)意義用數(shù)字計(jì)算機(jī)對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析時(shí)，要求信號(hào)必須以離散值作為輸入，而且上面討論可知：只有第四種形式(DFS)對(duì)數(shù)字信號(hào)處理有實(shí)用價(jià)值。但如果將前三種形式要么在時(shí)

8、域上采樣，要么在頻域上采樣，變成離散函數(shù)，就可以在計(jì)算機(jī)上應(yīng)用。為什么從DFS過渡到DFT? 在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)信號(hào)的頻譜分析要求：時(shí)域和頻域都是離散的；時(shí)域和頻域都是有限長(zhǎng)的。 FT，F(xiàn)S，DTFT，DFS都不符合要求，但是，利用DFS時(shí)域和頻域的周期性，各取一個(gè)周期就形成新的變換對(duì)。主 值(主值區(qū)間、主值序列)主 值 區(qū) 間：設(shè) 有 限 長(zhǎng) 序 列 x(n) ,0nN-1 , 將 其 延 拓 為 周 期 序 列 , 周 期 序 列 長(zhǎng)度為N, 則 的 第 一 個(gè) 周 期 n=0 到 n=N-1 的 區(qū) 間 稱 為 主 值 區(qū) 間. 主 值 序 列: 設(shè) 有 限 長(zhǎng) 序 列 x(n) , 0nN

9、-1 , 將 其 延 拓 為 周 期 序 列 , 周 期 為 N , 則 主 值 區(qū) 間 內(nèi) 的 序 列 x(n)= ,0nN-1 , 即 為 主 值 序列。1. 有限長(zhǎng)序列 和周期序列記作：其中：二、離散傅里葉變換的定義x(n)及其周期延拓序列頻域周期序列 與有限長(zhǎng)序列周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值才有意義 ,因 而它的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示式也適用于有限長(zhǎng) 序列 , 這就得到有限長(zhǎng)序列的傅里葉變換(DFT)。2. DFT的定義時(shí) 域 周 期 序 列 看 作 是 有 限 長(zhǎng) 序 列 x(n) 的 周 期 延 拓； 把頻域周期序列看作是有限長(zhǎng)序列X(k)的周期 延 拓；這 樣 我 們 只 要 把

10、DFS 的 定 義 式 兩 邊 取 主 值 區(qū) 間, 就 得 到 關(guān) 于 有 限 長(zhǎng) 序 列 的 時(shí) 頻 域 的 對(duì) 應(yīng) 變 換 對(duì). 這 就 是 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 課 程 里 最 重 要 的 變 換 - 離 散 傅 里 葉 變 換 (DFT)。正變換反變換 X(k)、x(n)為有限長(zhǎng)序列的離散付里葉變換對(duì)，已知其中一個(gè)序列就能確定另一個(gè)序列。 注意： 在 離 散 傅 里 葉 變 換 關(guān) 系 中 , 有 限 長(zhǎng) 序 列 都 作 為 周 期 序 列 的 一 個(gè) 周 期 來 表 示 , 都 隱 含 有 周 期 性 意 義。3 各種變換之間的關(guān)系DFT, DTFT, Z變換Z變換、DTFT、D

11、FT的取值范圍4 頻域采樣定理與內(nèi)插公式z變換與DFT的關(guān)系（抽樣z變換），在此基礎(chǔ)上引出抽樣z變換的概念，并進(jìn)一步深入討論頻域抽樣不失真條件。頻域抽樣理論（頻域抽樣不失真條件）頻域內(nèi)插公式 z變換與DFT關(guān)系連續(xù)傅里葉變換引出離散傅里葉變換定義式。離散傅里葉變換看作是序列的傅里葉變換在 頻 域 再 抽 樣 后 的 變 換 對(duì).在Z變換中,又可了解到序列的傅里葉變換就是單位圓上的Z 變 換.所以對(duì)序列的傅里葉變換進(jìn)行頻域抽樣時(shí), 自 然可以看作是對(duì)單位圓上的 Z變換進(jìn)行抽樣. 推導(dǎo) Z 變 換 的 定 義 式 (正 變 換) 重 寫 如 下:取z=ejw 代 入 定 義 式，得 到 單 位 圓

12、 上 Z 變 換 為 數(shù) 字 角 頻 率DFT正變換再 進(jìn) 行 抽 樣- N 等 分.這 樣w=2k/N, 即w值為0, 2/N, 4/N, 6/N, 考慮到x (n)是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列, 因而n只需0N-1即可。將w=2k/N代入并改變上下限, 得 結(jié) 論從 以 上 推 導(dǎo) 中 可 看 出, 有 限 長(zhǎng) 序 列 x(n) 的 離 散 傅 里 葉 變 換 X(k) 序 列 的 各 點(diǎn) 值 等 于 對(duì) x(n) 進(jìn) 行 Z 變 換 后 在 單 位 圓 上 N 等 分 抽 樣 的 各 點(diǎn) 處 所 得 的 Z 變 換 值, 即 這 就 是 Z 變 換 與 DFT 的 關(guān) 系。 頻域抽樣定理問題 由 Z

13、 變 換 與 DFT 的 關(guān) 系： x(n) 的 離 散 傅 里 葉 變 換 X(k) 序 列 值 和 x(n) 的 Z 變 換 在 單 位 圓 N 個(gè) 等 分 點(diǎn) 上 的 抽 樣 值 相 等, 這 就 是 實(shí) 現(xiàn) 了 頻 域 的 抽 樣。是否任何一序列(或說任何一個(gè)頻率特性) 都能用頻域抽樣的辦法去逼近呢? 其 限 制 條 件 是 什 么?分析將x(n)的頻域函數(shù)X(ejw)，按每周期 N點(diǎn)抽樣，得到一周期序列 ,再反變換回時(shí)域，得到變換結(jié)果 ，是一周期延拓的序列，且與原序列x(n) 有如下關(guān)系頻 域 按 每 周 期 N 點(diǎn) 抽 樣, 時(shí) 域 便 按 N 點(diǎn) 周 期 延 拓。 頻域抽樣 時(shí)域

14、周期延拓結(jié) 論長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列，頻域抽樣不失真的條件： 頻域抽樣點(diǎn)數(shù)N要大于或等于序列長(zhǎng)度M，即滿足NM。此時(shí)可得到長(zhǎng)度為N(或小于N)的有限長(zhǎng)序列可用它的z變換在單位圓上的N個(gè)均分點(diǎn)上的抽樣值精確地表示。 頻域內(nèi)插公式從 頻 域 抽 樣 不 失 真 條 件 可 以 知 道： N 個(gè) 頻 域 抽 樣 X(k) 能 不 失 真 的 還 原 出 長(zhǎng) 度 為 N 的 有 限 長(zhǎng) 序 列 x(n)。那 么 用 N 個(gè) X(k) 也 一 定 能 完 整 地 表 示 出 X(z) 以 及 頻 率 響 應(yīng) 即 單 位 圓 上 的 X(z)。 過 程 很 簡(jiǎn) 單, 先 把 N 個(gè) X(k) 作 IDFT

15、得 到 x(n), 再 把 x(n) 作 Z 變 換 便 得 到 X(z)。 內(nèi)插公式頻域響應(yīng)的內(nèi)插公式0000000000DFT的圖形解釋3.2 離散傅里葉變換序列的傅里葉變換(DTFT) 離散傅里葉變換 離散傅里葉變換的性質(zhì) 離散傅里葉變換在應(yīng)用中的問題 在由DFS引出DFT的過程中我們知道，DFT本質(zhì)上是和周期序列的DFS概念緊密相關(guān)的，因而它們?cè)谛再|(zhì)上有著極大的相似，并由DFT隱含周期性（對(duì)應(yīng)于DFS的顯式周期性）所保證。一、DFT的性質(zhì)線性對(duì)稱性循環(huán)移位循環(huán)卷積設(shè)x1(n)，x2(n)都是兩個(gè)有限列長(zhǎng)為N的有限序列,它們的離散付里時(shí)變換分別為 線性x1(n) ，x2(n)的線性組合有

16、： 其中a,b為任一常數(shù)，本性質(zhì)可由定義直接證明。 證： 說明：如果x1(n)和x2(n)長(zhǎng)度皆為N，即0nN-1范圍有值，則aX1(k)+bX2(k)的長(zhǎng) 度也是N；若x1(n)和x2(n)長(zhǎng)度不等，設(shè)x1(n)長(zhǎng)度為N1，x2(n)長(zhǎng)度為N2，則ax1(n)+bx2(n)的長(zhǎng)度應(yīng)為N=maxN1，N2，故DFT必須按長(zhǎng)度N計(jì)算。若N1N2，則N=N2，那么需將x1(n)補(bǔ)上 N2-N1個(gè)零值點(diǎn)后變成長(zhǎng)度為N序列，然 后 都 作N點(diǎn)的 DFT。 選頻當(dāng)輸入頻率為的正弦波時(shí)，傅里葉變換后的離散頻譜中只有一條譜線取值為N，其余的都為零。 輸入信號(hào)是若干頻率不同的正弦波的線性組合，經(jīng)過離散傅里葉變

17、換后，將在不同的譜線位置有對(duì)應(yīng)的輸出。 離散傅里葉變換算法實(shí)質(zhì)上對(duì)頻率具有選擇性 。移位線 性 移 位：序 列 沿 坐 標(biāo) 軸 的 平 移 . 圓周移位：將 有 限 長(zhǎng) 序 列 x(n) 以 長(zhǎng) 度 N 為 周 期, 延 拓 為 周 期 序 列, 并 加 以 線 性 移 位 后, 再 取 它 的 主 值 區(qū) 間 上 的 序 列 值, m 點(diǎn) 圓 周 移 位 記 作:其 中(.)N 表 示 N 點(diǎn) 周 期 延 拓.有 限 長(zhǎng) 序 列 圓 周 移 位 的 實(shí) 現(xiàn) 步 驟 例子121310.5nx(n)(1)周期延拓：N=5時(shí)2131x(n)0.521310.51120.5n3(2)周期延拓：N=6

18、時(shí)，補(bǔ)零加長(zhǎng)2131x(n)0.521310.51123n21310.5nx(n)(4)M=-2時(shí)，右移(取主值)2131nx(n)0.5(3)M=1時(shí)，左移(取主值)131x(n)0.52n 例子2 卷 積卷積在此我們主要介紹：線性卷積圓周卷積圓周卷積與線性卷積的性質(zhì)對(duì)比 線性卷積線 性 卷 積 定 義：有 限 長(zhǎng) 序 列 x1(n),0nN1-1; x2(n),0nN1-1 則 線 性 卷 積 為 注意:線 性 卷 積 結(jié) 果 長(zhǎng) 度 變 為 N1+N2-1 . 圓周(循環(huán))卷積令則圓 周 卷 積 結(jié) 果 長(zhǎng) 度 不 變, 為 N.圓 周 卷 積 的 實(shí) 現(xiàn) 步 驟例子 線性卷積與圓周卷積

19、步驟比較1231x(n)54n0N1=5線性卷積： 圓周卷積：(N=7)補(bǔ)零加長(zhǎng) 231x(k)54k0N1=5N2=3213h(n)n0 x(k)231540N=7k例子 線性卷積與圓周卷積步驟比較2線性卷積無需周期延拓，圓周卷積需進(jìn)行周期延拓：線性卷積的反折： 圓卷積的反折(并取主值區(qū)間）：231h(-k)k0231h(k)0k231231231h(-k)k0132例子 線性卷積與圓周卷積步驟比較3平移231h(1-k)k0231h(1-k)k0231x(k)54k0231x(k)540N=7k相乘x(k)h(-k)=51=5x(k)h(1-k)=5*2+4*1=14x(k)h(2-k)=

20、5*3+4*2+3*1=26x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20 x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14x(k)h(5-k)=2*3+1*2=8x(k)h(6-k)=1*3=3例子 線性卷積與圓周卷積步驟比較4 相加得到線性卷積的示意圖 相加得到圓周卷積的示意圖14265ny(n)201483014265ny(n)2014830可見，線性卷積與圓周卷積相同 當(dāng)NN1(5)+N2(3)-1=7時(shí) 例子 線性卷積與圓周卷積步驟比較5若圓周卷積取長(zhǎng)度為N=5，則求圓周卷積231x(k)540N=5k求得圓周卷積x(k)h(-k)=5*1+2*3+1*2=13x(k)h(1-

21、k)=5*2+4*1+1*3=17x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20 x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14看出圓周卷積與線性卷積不同。171326y(n)n02014k231h(-k)0圓周卷積與線性卷積的性質(zhì)對(duì)比 圓周卷積代替線性卷積的實(shí)現(xiàn)方法取L N1+N2-1情況下，圓周卷積代替線性卷積的實(shí)際實(shí)現(xiàn)的框圖如下上圖依據(jù)的是圓周卷積定理，做的是圓周卷積。然而由于L選取符合條件，因而結(jié)果是與 線性卷積結(jié)果一致的。L點(diǎn)DFTh(n)L點(diǎn)DFTL點(diǎn)IDFTx(n)y(n) 對(duì)稱DFT 的 對(duì)稱性質(zhì)較為復(fù)雜，歸為以下三類:

22、 共軛與圓周共軛對(duì)稱 在 時(shí) 、頻 域 的 對(duì) 應(yīng) 關(guān) 系； 實(shí)(虛) 部 與 圓 周 共 軛 對(duì) 稱( 反 對(duì) 稱 ) 分 量 在 時(shí)、頻 域 的 對(duì) 應(yīng) 關(guān) 系； 時(shí) 域 為 實(shí) 序 列 時(shí) 對(duì) 應(yīng) DFT 特 征；另 外，在 以 上 對(duì) 稱 性 質(zhì) 的 基 礎(chǔ) 上，可 歸 納 總 結(jié) 出 x(n) 與 X(k) 的 奇、偶、虛、實(shí) 關(guān) 系，利 用 這 些 關(guān) 系，可 減 少 計(jì) 算 DFT 時(shí) 的 運(yùn) 算 量。奇對(duì)稱(序列)和偶對(duì)稱(序列) x (n)與-x(-n)互為奇對(duì)稱； 滿足x0(n)=-x0(-n)的序列x0(n)稱為奇對(duì)稱序列。 x (n) 與 x(-n) 互 為 偶 對(duì) 稱

23、； 滿 足xe(n)=xe(-n) 的 序 列 xe(n)稱 為 偶 對(duì) 稱 序 列例 子00 xe(n)n0 x(n)n0 x(-n)n互為偶對(duì)稱為偶對(duì)稱序列x(n)n0 x(-n)n互為奇對(duì)稱0 xo(n)n為奇對(duì)稱序列3.2 離散傅里葉變換序列的傅里葉變換(DTFT) 離散傅里葉變換 離散傅里葉變換的性質(zhì) 離散傅里葉變換在應(yīng)用中的問題 DFT對(duì)FT的近似FTDTFTDTFTDFTDFS采樣截短周期延拓取一個(gè)周期取一個(gè)周期周期延拓采樣周期延拓卷積用DFT實(shí)現(xiàn)對(duì)連續(xù)信號(hào)譜分析的過程用 DFT 做 傅 里 葉 變 換 (級(jí) 數(shù)) 的逼 近 時(shí) 所 產(chǎn) 生 的 問 題 為 了 能 在 數(shù) 字 計(jì)

24、 算 機(jī) 上 分 析 連 續(xù) 信號(hào) 的 頻 譜，常 常 用 DFT 來 逼 近 連 續(xù) 時(shí)間 信 號(hào) 的 傅 里 葉 變 換，但 同 時(shí) 也 產(chǎn) 生 以 下 問 題： 混 疊 現(xiàn) 象頻 譜 泄 漏柵 欄 效 應(yīng)頻率分辨力（率） 混 疊 現(xiàn) 象利 用 DFT 逼 近 連 續(xù) 時(shí) 間 信 號(hào) 的 傅 里 葉 變 換 ,為 避 免 混 疊 失 真, 要求滿足抽樣定理，即奈奎斯特準(zhǔn)則： fs2fmax 其中fs為抽 樣 頻 率 , fmax 為信號(hào)最高頻率.但此條件只規(guī)定出fs的下限為fmax , 其上限要受抽樣間隔 f的約束. 抽 樣 間 隔 f 即 頻 率 分 辨 力, 它是 記 錄 長(zhǎng) 度的 倒

25、 數(shù), 即 Tp = 1 / f 若 抽 樣 點(diǎn) 數(shù) 為 N, 則 抽 樣 間 隔 與 fs 的 關(guān) 系 為 f = fs / N 2fmax/N混 疊 現(xiàn) 象 的 結(jié) 論由f = fs / N 2fmax /N 看出： 在 N 給 定 時(shí), 為 避 免混 疊 失 真 而 一 味 提 高 抽 樣 頻 率 fs ，必 然 導(dǎo) 致f增 加, 即 頻 率 分 辨 力 下 降; 反 之, 若 要 提 高 頻 率 分 辨 力 即 減 小 f , 則 導(dǎo) 致 減 小fs, 最 終 必 須 減 小 信 號(hào) 的 高 頻 容 量.以 上 兩 點(diǎn) 結(jié) 論 都 是 在記錄長(zhǎng)度內(nèi)抽樣點(diǎn)數(shù) N 給 定 的 條 件 下

26、得 到 的. 所 以 在 高 頻 容 量 fmax 與 頻 率 分 辨 力 F 參 數(shù) 中, 保 持 其 中 一 個(gè) 不 變 而 使 另 一 個(gè) 性 能 得 以 提 高 的 唯 一 辦 法, 就 是 增 加 記 錄 長(zhǎng) 度 內(nèi) 的 點(diǎn) 數(shù) N, 即 fmax 和 F 都 給 定 時(shí), 則 N 必 須 滿 足 N 2fmax /F這是未采用任何特殊數(shù)據(jù)處理（例如加窗）情況下，為實(shí)現(xiàn)基本DFT算法所必須滿足條件。例子 1有一頻譜分析儀用的FFT處理器，其抽樣點(diǎn)數(shù)必須是2的整數(shù)冪。假定沒有采用任何特殊的數(shù)據(jù)處理措施，已給條件為： (1)頻率分辨力10Hz (2)信號(hào)的最高頻率4kHz試確定以下參量：

27、 (1) 最小記錄長(zhǎng)度Tp； (2)抽樣點(diǎn)的最大時(shí)間間隔T； (3)在一個(gè)記錄中的最少點(diǎn)數(shù)N。解： (1)由分辨力的要求確定最小記錄長(zhǎng)度Tp.Tp=1/ f =1/10=0.1(s)故最小記錄長(zhǎng)度為0.1秒。 (2)從信號(hào)的最高頻率確定最大的抽樣時(shí)間間隔T。 fs2fmax, T=1/fs 1/2fmax=0.125*10-3 (s) (3)最小記錄點(diǎn)數(shù)N，它應(yīng)滿足 N2fmax / f =800該處理器所需最少采樣點(diǎn)數(shù)為N=210=1024點(diǎn)。（因?yàn)镹=29=512點(diǎn)不夠） 頻 譜 泄 漏在實(shí)際中，要把觀測(cè)的信號(hào)x(n)限制在一定的時(shí)間間隔之內(nèi)，即采取截?cái)鄶?shù)據(jù)的過程。 時(shí)域的截?cái)嘣跀?shù)學(xué)上的意

28、義為原連續(xù)時(shí)間信號(hào)乘上一個(gè)窗函數(shù)，使原連續(xù)時(shí)間函數(shù)成為兩端突然截?cái)?，中間為原信號(hào)與窗函數(shù)相乘的結(jié)果。時(shí)域兩函數(shù)相乘，在頻域是其頻譜的卷積.由于窗函數(shù)不可能取無限寬,即其頻譜不可能為一沖激函數(shù),信號(hào)的頻譜與窗函數(shù)的卷積必然產(chǎn)生拖尾現(xiàn)象。造成 頻譜泄漏. 所 以 在 截 取 (即 在 窗 函 數(shù) 的 選 取) 時(shí), 應(yīng) 盡 量 選 擇 適 當(dāng) 形 狀 的 窗 函 數(shù) 對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行截?cái)? 使頻譜泄漏最小. 頻 譜 泄 漏 注 意 點(diǎn) 由于我們無法取無數(shù)個(gè)點(diǎn)，所以在DFT時(shí)，時(shí)域的截?cái)嗍潜厝坏?，因而泄漏也是必然存在的?為了減少頻率泄漏可采用： 適當(dāng)加大窗口寬度，增加M值； 采用適當(dāng)形狀的窗函數(shù)截?cái)?/p>

29、例子 2設(shè)信號(hào)為x(n)=1/2,經(jīng)過矩形窗函數(shù)截?cái)啵笮盘?hào)經(jīng)過矩形窗函數(shù)前后的頻譜函數(shù)。解：設(shè)信號(hào)經(jīng)過矩形窗函數(shù)后的信號(hào)為x1(n),矩形窗函數(shù)為W(n),其頻譜函數(shù)為X1(ejw) x1(n)=x(n)W(n) X1(ejw)=X(ejw)*W (ejw)很明顯： X1(ejw) X(ejw) 相當(dāng)于X(ejw)失真，這種失真是由于X(ejw)的頻譜泄漏引起，其現(xiàn)象為“拖尾（擴(kuò)展現(xiàn)象），稱之頻譜泄漏。因?yàn)閄(ejw)=(w),矩形窗函數(shù)wX(ejw)X1(ejw)w產(chǎn)生泄漏 柵 欄 效 應(yīng) 利 用 DFT 逼 近 連 續(xù) 時(shí) 間 信 號(hào) 的 傅 里 葉 變 換, 其 頻 譜 將 不 再 是

30、 連 續(xù) 函 數(shù) 而 是 基 頻 F 的 整 數(shù) 倍。用 DFT 計(jì) 算 頻 譜, 就 如 通 過 一 個(gè) 柵欄觀 看 一 個(gè) 景 色, 只 能 在 離 散 點(diǎn) 的 地 方 看 到 真 實(shí) 的 景 象, 從 而 產(chǎn) 生 柵 欄 效 應(yīng). 如 果 在 兩 離 散 的 譜 線 間 頻 譜 有 很 大 變 化, 不 作 特 殊 處 理, 則 無 法 將 其 檢 測(cè) 出 來.減 小 柵 欄 效 應(yīng)方 法 減 小 柵 欄 效 應(yīng) 的 一 個(gè) 方 法 是 在 所 取 數(shù) 據(jù) 的 末 端 加 一 些 零 值 點(diǎn), 使 一 個(gè) 周 期 內(nèi) 點(diǎn) 數(shù) 增 加, 但 是 不 改 變 原 有 的 記 錄 數(shù) 據(jù). 這種方法 等 效 于 加 長(zhǎng) 了 周 期 Tp . 因 公 式 F = 1/ Tp (F是 抽 樣 間 隔). Tp 增 加, 抽 樣 間 隔 變 小, 從