酉空間與Householder變換

1、矩陣分析與計(jì)算1參考書(shū)目：矩陣計(jì)算的理論與方法，徐樹(shù)方.矩陣分析，horn.R.A和Johnson.C.R等.矩陣論，方保镕等.矩陣計(jì)算與應(yīng)用，胡茂林.矩陣論，程云鵬.矩陣?yán)碚撆c方法，魏洪增.2酉空間與Householder 變換31. 1酉空間的定義451. 2酉空間的有關(guān)概念 6789101. 3 歐氏空間與酉空間的比較 歐氏空間與酉空間相比，基礎(chǔ)數(shù)域由實(shí)數(shù)域變成了復(fù)數(shù)域，內(nèi)積的對(duì)稱性變成了共軛對(duì)稱性.因此，歐氏空間的結(jié)構(gòu)與酉空間的結(jié)構(gòu)是不相同的.但酉空間的內(nèi)積近似于歐氏空間的內(nèi)積.這樣，酉空間有與歐氏空間平行的一套理論.學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)注意相近但又不完全相同的地方（見(jiàn)下表）111213141

2、516171819202122定理3 正規(guī)矩陣的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量必正交.證明留作習(xí)題23242526272.Householder矩陣 定義2 設(shè) 為單位向量，則稱矩陣 為Householder矩陣，或稱為Householder變換，記作H，即2.1定義28 2.2 Householder矩陣的性質(zhì)Householder矩陣H是酉矩陣. 即 證明略.(2)若H是 Householder矩陣，則 . 證明略.(3) Householder矩陣僅有兩個(gè)不同特征值-1和1，其中1是n-1重的，-1是單重的.而且w是屬于特征值-1的單位特征向量.29【證明1】Householder矩陣的特征

3、多項(xiàng)式為所以，1是矩陣的n-1重特征值；-1是矩陣的單特征值.又因?yàn)?,故w是屬于特征值-1的單位特征向量.注意 在以上證明中使用了行列式的性質(zhì)：若是矩陣，是矩陣，且則 ，30【證明2】將單位向量所以，是n-1重的，-1是單重的.而且w是屬于特征值-1的單位特征向量.擴(kuò)充成酉空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則從而 ，酉相似于對(duì)角矩陣diag僅有兩個(gè)不同特征值-1和1，其中1，即31是實(shí)數(shù).則必定取(4)設(shè)，且，,使【證明】 由是實(shí)數(shù)知，令則故命題成立.存在Householder矩陣32(5) 設(shè)，且，則存在常數(shù)及Householder矩陣,使【證明】 若是實(shí)數(shù)，取，或.并選擇正負(fù)號(hào)，使，此時(shí)且 由性質(zhì)(4)有Householder矩陣，使.33 若是虛數(shù)，則，取，或故 并選擇正負(fù)號(hào)，使由性質(zhì)(4)有Householder矩陣，使.34(6)設(shè)是n階Householder矩陣，則，均為Householder矩陣.【證明】 設(shè)，其中即為單位向量.則35因?yàn)椋允荋ouseholder矩陣.其它兩個(gè)矩陣可以類似的證明.36問(wèn)題：若H與S均為Householder矩陣，是否為Householder矩陣？ 請(qǐng)同學(xué)們思考！問(wèn)矩陣37例4 設(shè)求Householder矩陣及實(shí)數(shù)使.38使例5 設(shè)，.求Householder矩陣且.39思考題： 若A是mn復(fù)矩陣，是否