停車(chē)距離問(wèn)題公開(kāi)課教案教學(xué)設(shè)計(jì)

1、停車(chē)距離問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)艾青中學(xué)毛向花一、教學(xué)內(nèi)容與核心素養(yǎng)解析:本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是停車(chē)距離問(wèn)題，以本節(jié)課為例，旨在讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的基本思想方法。新課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué) 語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模過(guò)程 包括：在實(shí)際情景中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、 建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí) 際問(wèn)題。從核心素養(yǎng)的角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模，我們特別要注意它所揭示的數(shù) 學(xué)建模素養(yǎng)的屬性，把握其在“屬性”上的定位，這中間有三層意思: 一是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象，二是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，三是用數(shù)學(xué) 方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題。

2、結(jié)合數(shù)學(xué)建模對(duì)這一素養(yǎng)的外顯性行為（過(guò) 程、步驟）的描述，不難看到，數(shù)學(xué)建模聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng) 的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：基于現(xiàn)實(shí)情境，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)、提出、 分析、解決問(wèn)題”的過(guò)程，進(jìn)而開(kāi)展“四能”（發(fā)現(xiàn)、提出、分析、 解決問(wèn)題能力），到達(dá)“三會(huì)”（會(huì)用數(shù)學(xué)眼光看，會(huì)用數(shù)學(xué)思維想、 會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界）。從這幾個(gè)點(diǎn)去體會(huì)，可以感覺(jué)到數(shù)學(xué) 建模素養(yǎng)的內(nèi)涵是極其豐富的，它與其他五個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)（數(shù) 學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析）直接關(guān)聯(lián)。它 不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的問(wèn)題，而且蘊(yùn)含著方法、思想、價(jià)值判 六、目標(biāo)達(dá)成檢測(cè)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠到達(dá)新課標(biāo)數(shù)學(xué)建

3、模素養(yǎng)三 個(gè)水平中的水平一：了解熟悉的數(shù)學(xué)模型的實(shí)際背景及數(shù)學(xué)描述，了解數(shù)學(xué)模型中的 參數(shù)、結(jié)論的實(shí)際含義。知道數(shù)學(xué)建模的過(guò)程包括：提出問(wèn)題、建立模型、求解模型、檢 驗(yàn)結(jié)果、完善模型。能夠在熟悉的實(shí)際情景中，模仿學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)建模 過(guò)程解決問(wèn)題。對(duì)于學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)建模，能夠舉例說(shuō)明建模的意義，體會(huì)其蘊(yùn)含的 數(shù)學(xué)思想；感悟數(shù)學(xué)表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)建模的重要性。在交流的過(guò)程中，能夠借助或引用已有的數(shù)學(xué)建模的結(jié)果說(shuō)明問(wèn) 題。10六、目標(biāo)達(dá)成檢測(cè)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠到達(dá)新課標(biāo)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)三 個(gè)水平中的水平一：了解熟悉的數(shù)學(xué)模型的實(shí)際背景及數(shù)學(xué)描述，了解數(shù)學(xué)模型中的 參數(shù)、結(jié)論的實(shí)際含義。知道數(shù)學(xué)建模的過(guò)程包括

4、：提出問(wèn)題、建立模型、求解模型、檢 驗(yàn)結(jié)果、完善模型。能夠在熟悉的實(shí)際情景中，模仿學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)建模 過(guò)程解決問(wèn)題。對(duì)于學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)建模，能夠舉例說(shuō)明建模的意義，體會(huì)其蘊(yùn)含的 數(shù)學(xué)思想；感悟數(shù)學(xué)表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)建模的重要性。在交流的過(guò)程中，能夠借助或引用已有的數(shù)學(xué)建模的結(jié)果說(shuō)明問(wèn) 題。11六、目標(biāo)達(dá)成檢測(cè)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠到達(dá)新課標(biāo)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)三 個(gè)水平中的水平一：了解熟悉的數(shù)學(xué)模型的實(shí)際背景及數(shù)學(xué)描述，了解數(shù)學(xué)模型中的 參數(shù)、結(jié)論的實(shí)際含義。知道數(shù)學(xué)建模的過(guò)程包括：提出問(wèn)題、建立模型、求解模型、檢 驗(yàn)結(jié)果、完善模型。能夠在熟悉的實(shí)際情景中，模仿學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)建模 過(guò)程解決問(wèn)題。對(duì)于學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)建模

5、，能夠舉例說(shuō)明建模的意義，體會(huì)其蘊(yùn)含的 數(shù)學(xué)思想；感悟數(shù)學(xué)表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)建模的重要性。在交流的過(guò)程中，能夠借助或引用已有的數(shù)學(xué)建模的結(jié)果說(shuō)明問(wèn) 題。12六、目標(biāo)達(dá)成檢測(cè)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠到達(dá)新課標(biāo)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)三 個(gè)水平中的水平一：了解熟悉的數(shù)學(xué)模型的實(shí)際背景及數(shù)學(xué)描述，了解數(shù)學(xué)模型中的 參數(shù)、結(jié)論的實(shí)際含義。知道數(shù)學(xué)建模的過(guò)程包括：提出問(wèn)題、建立模型、求解模型、檢 驗(yàn)結(jié)果、完善模型。能夠在熟悉的實(shí)際情景中，模仿學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)建模 過(guò)程解決問(wèn)題。對(duì)于學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)建模，能夠舉例說(shuō)明建模的意義，體會(huì)其蘊(yùn)含的 數(shù)學(xué)思想；感悟數(shù)學(xué)表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)建模的重要性。在交流的過(guò)程中，能夠借助或引用已有的數(shù)學(xué)建模的結(jié)

6、果說(shuō)明問(wèn) 題。13 斷與選擇，乃至數(shù)學(xué)的精神與態(tài)度。數(shù)學(xué)建模對(duì)中國(guó)學(xué)生開(kāi)展核心素 養(yǎng)體系中的假設(shè)干素養(yǎng)（如創(chuàng)新精神，實(shí)踐能力，科學(xué)精神、問(wèn)題解決） 也有著支撐作用。二、教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析：讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)建模的基本方法，經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中確定變 量、探尋關(guān)系、建立模型、計(jì)算系數(shù)、分析結(jié)論的全過(guò)程，形成和發(fā) 展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能有意識(shí)地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界， 發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)；學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決 實(shí)際問(wèn)題，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會(huì)、工程技 術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神。三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析：在本節(jié)課的教學(xué)中

7、，如何討論出影響停車(chē)距離的核心因素，去繁 化簡(jiǎn)，是本次數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié)，先讓學(xué)生四人一組，進(jìn)行小組討 論，討論后派代表發(fā)言，大致會(huì)有如下幾個(gè)常見(jiàn)的結(jié)論：影響停車(chē)距 離的因素有摩擦力，車(chē)重，汽車(chē)速度，反響時(shí)間。如何解決學(xué)生認(rèn)為 車(chē)重和摩擦力是主要因素？這是本節(jié)課的教學(xué)需要克服的一個(gè)難點(diǎn)。 車(chē)重雖然是影響停車(chē)距離的因素之一，但是與速度相比是次要的，例 如：一輛大貨車(chē)車(chē)速20km/h, 一輛小汽車(chē)100km/h,顯然是速度快 的小汽車(chē)停車(chē)距離更長(zhǎng)；對(duì)于摩擦力，根據(jù)物理學(xué)的知識(shí)，我們知道 摩擦力跟車(chē)重成正比，所以摩擦力相比擬車(chē)速來(lái)說(shuō)也不是最主要的因 素。而且我們研究停車(chē)距離問(wèn)題具有現(xiàn)實(shí)意義一一樹(shù)立平

8、安駕駛的理 念，不要超速行駛。另外，假設(shè)駕駛員酒后駕車(chē)、開(kāi)車(chē)時(shí)使用手機(jī)等 也會(huì)影響剎車(chē)前的反響時(shí)間，進(jìn)而延長(zhǎng)反響距離。這也是為什么要把 反響距離作為停車(chē)距離的一局部的原因。這局部的教學(xué)時(shí)間大概要花 10分鐘左右。教學(xué)過(guò)程中，教師對(duì)學(xué)生所提出的影響因素要給予肯 定。如果學(xué)生沒(méi)有想到反響距離這一重要因素，教師可以提問(wèn)：為什 么我們要倡導(dǎo)“喝酒不開(kāi)車(chē)，開(kāi)車(chē)不喝酒”？（這個(gè)問(wèn)題指向性更明 確）數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中，一般有兩種建模方法，一個(gè)是理論驅(qū)動(dòng)，就 是先有一個(gè)模型（即模型假設(shè)），再用試驗(yàn)（或?qū)嶒?yàn)）得到的數(shù)據(jù)求 解模型，最后檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合度；另一個(gè)是數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)，就是先有試驗(yàn) 數(shù)據(jù)，畫(huà)出散點(diǎn)圖，觀察趨勢(shì)，即

9、先讓學(xué)生有一個(gè)直觀的感受，然后 再去找適合數(shù)據(jù)的模型。大學(xué)里的建模一般采用理論驅(qū)動(dòng)建模，而本 節(jié)課的對(duì)象是高中生，而且是第一次接觸數(shù)學(xué)建模，先用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)讓 學(xué)生對(duì)模型有一個(gè)直觀的感受，再結(jié)合相關(guān)的理論知識(shí)，這使得模型 的建立更加自然，更符合剛剛接觸數(shù)學(xué)建模學(xué)生的認(rèn)知。學(xué)生通過(guò)小 組討論完成制作散點(diǎn)圖，曲線的擬合，選擇合適的數(shù)學(xué)模型，最后計(jì) 算模型系數(shù)，這些雖然用計(jì)算機(jī)也能解決，但是只有親身經(jīng)歷過(guò)這一 系列的過(guò)程，才能對(duì)數(shù)學(xué)建模有更深的體會(huì)。學(xué)生已具備速度位移公式，速度，加速度，摩擦力等相關(guān)物理知識(shí)，也已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)，正比例函數(shù)，幕函數(shù)（二次函數(shù)），指 數(shù)函數(shù)等函數(shù)模型。對(duì)于數(shù)據(jù)的處理，學(xué)生

10、在物理實(shí)驗(yàn)課中也已經(jīng)學(xué) 會(huì)了曲線擬合的方法。本次建模學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)藏已經(jīng)夠用。五、教學(xué)過(guò)程：首先介紹什么是數(shù)學(xué)建模。新課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí) 問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決 問(wèn)題的素養(yǎng)。舉一個(gè)電飯鍋預(yù)約時(shí)間的實(shí)例來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)建模的概 念:在今天晚上某個(gè)時(shí)刻，在電飯鍋上輸入預(yù)約時(shí)間（多少時(shí)間煮好）, 以便第二天早上某個(gè)時(shí)刻煮好粥。第一步，對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象: 把當(dāng)前時(shí)刻抽象成數(shù)學(xué)變量。，第二天早上粥煮好的時(shí)刻抽象成數(shù)學(xué) 變量?jī)狠斎氲念A(yù)約時(shí)間抽象成數(shù)學(xué)變量y；第二步，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表 達(dá)這個(gè)問(wèn)題：輸入的預(yù)約時(shí)間可以分成兩局部，一個(gè)是從當(dāng)前時(shí)刻到 24點(diǎn)（用24小時(shí)制）

11、，這段時(shí)間可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式24-。表示，另一 個(gè)是從24點(diǎn)到第二天早上粥煮好的時(shí)刻，這段時(shí)間用數(shù)學(xué)表達(dá)式b 表示；第三步，將上述兩個(gè)表達(dá)式相加，得到數(shù)學(xué)模型：產(chǎn)24-+兒 有了這個(gè)模型，只要知道當(dāng)前時(shí)刻和第二天早上要求粥煮好的時(shí)刻， 就能馬上得到預(yù)約時(shí)間為多少，這就是數(shù)學(xué)建模的意義所在，有了模 型我們就可以快速解決一類(lèi)問(wèn)題。通過(guò)這個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例，我們初步了 解了數(shù)學(xué)建模的概念及意義，接下來(lái)我們看一個(gè)稍微復(fù)雜的實(shí)際問(wèn) 題，來(lái)進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的基本思想方法。（一）、觀察實(shí)際情景、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題觀察實(shí)際情景，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：汽車(chē)在道路上行駛時(shí)，車(chē)與車(chē)之間的距離保持多少才是平安的？（二）、確定變量、提煉問(wèn)題教師提

12、問(wèn)1:影響停車(chē)距離的因素有哪些？學(xué)生可以暢所欲言,教師肯定學(xué)生說(shuō)的每一個(gè)影響因素。教師提問(wèn)2：其中最主要的因素是什么？學(xué)生分小組討論，并派代表發(fā)言。一般有如下幾種回答：.汽車(chē)速度（汽車(chē)速度是指司機(jī)在實(shí)施急剎車(chē)之前汽車(chē)的速度）；.駕駛員的反響時(shí)間（反響時(shí)間指的是司機(jī)意識(shí)到應(yīng)當(dāng)急剎車(chē)到 實(shí)施剎車(chē)所需要的時(shí)間）；3.車(chē)輛的剎車(chē)性能；4.道路狀況，如地面的 濕滑程度；5.天氣狀況，如溫度，濕度。教師與學(xué)生互動(dòng)：分析以上因素，第1、2條是主要因素，第3、 4、5條是次要因素。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型需要確定主要因素，忽略一些正 常情況下影響比擬小的次要因素。車(chē)重雖然是影響停車(chē)距離的因素之 一，但是與速度相比是次要的

13、，例如：一輛大貨車(chē)車(chē)速20km/h, 一 輛小汽車(chē)lOOkm/h,顯然是速度快的小汽車(chē)停車(chē)距離更長(zhǎng)；對(duì)于摩擦 力，根據(jù)物理學(xué)的知識(shí)，我們知道摩擦力跟車(chē)重成正比，所以摩擦力 相比擬車(chē)速來(lái)說(shuō)也不是主要的因素。而且我們研究停車(chē)距離問(wèn)題具有 現(xiàn)實(shí)意義樹(shù)立平安駕駛的理念，不要超速行駛。如果學(xué)生沒(méi)有想 到反響距離這一重要因素，教師可以提問(wèn)：為什么我們要倡導(dǎo)“喝酒 不開(kāi)車(chē)，開(kāi)車(chē)不喝酒”？（這個(gè)問(wèn)題指向性更明確） （三）、收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)根據(jù)上述分析可以得到一個(gè)用生活語(yǔ)言表述的模型： 停車(chē)距離（d）=反響距離i）+制動(dòng)距離（心），為了得到停車(chē)距離關(guān)于車(chē)速的具體模型，需要通過(guò)試驗(yàn)的方法得到實(shí)際數(shù)據(jù)，下面表格是

14、美國(guó)公路局公布的試驗(yàn)數(shù)據(jù):v/(km/h)rfl/md2/md/m32.06.76. 112.840.08.58.517.048.010.112.922.456.011.916.027.964.013.421.935.372.015.228.243.480.016.736.052.789.018.645.363.997.020. 155.575.6105.021.967.289. 1113.023.581.0104. 5121.025.396.9122.2128.026.8114.6141.4學(xué)生小組討論分析4與V以及4與V的關(guān)系。將格子紙分發(fā)給每一小組，讓學(xué)生自己描點(diǎn)，觀察點(diǎn)的趨勢(shì)，再結(jié)合相

15、關(guān)的物理學(xué)知識(shí),引導(dǎo)學(xué)生得到函數(shù)模型4 =M，出=例2。研究反響距離4與速度v的關(guān)系（發(fā)給學(xué)生）v/(km/h)dl/m32.06. 740.08. 548. 010. 156. 011. 964. 013. 472.015. 280. 016. 789.018.697. 020. 1105. 021. 9113. 023. 5121. 025. 3128. 026.8v/(km/h)dl/m32.06. 740.08. 548. 010. 156. 011. 964. 013. 472.015. 280. 016. 789.018.697. 020. 1105. 021. 9113. 023

16、. 5121. 025. 3128. 026.8O*O3O O 2o o O5.0.5.1 10.00.020.040.060.080.0100.0120.0140.0剎車(chē)前汽車(chē)速度y研究制動(dòng)距離乙與速度V的關(guān)系v/(km/h)d 2/m32. 06. 140. 08. 548. 012. 956. 016. 064. 021. 972. 028. 280. 036. 089. 045. 397. 055. 5105. 067. 2113. 081. 0121. 096. 9128. 0114. 6v/(km/h)d 2/m32. 06. 140. 08. 548. 012. 956. 016

17、. 064. 021. 972. 028. 280. 036. 089. 045. 397. 055. 5105. 067. 2113. 081. 0121. 096. 9128. 0114. 6140.0120.0100.080.060.040.020.00.00.020.040.060.080.0100.0 120.0 140.0剎車(chē)前汽車(chē)速度V（四人建立模型、確定參數(shù)學(xué)生分小組計(jì)算模型中的系數(shù)，把計(jì)算器交給學(xué)生，學(xué)生可以選擇其中一組或兩組數(shù)據(jù)計(jì)算模型中的系數(shù)，也可以采用平均值作為模型的系數(shù)，最后比擬哪種選擇的擬合度較好。確定參數(shù)（發(fā)給學(xué)生）v/(km/h)dl/m32.06.740.08

18、.548.010. 156.011.964.013.472.015.280.016.789.018.697.020. 1105.021.9113.023.5121.025. 3128.026.8v/(km/h)dl/m32.06.740.08.548.010. 156.011.964.013.472.015.280.016.789.018.697.020. 1105.021.9113.023.5121.025. 3128.026.8v/(km/h)成/m32.06. 140.08. 548.012.956.016.064.021.972.028.280.036.089.045.397.055. 5105.067.2113.081.0121.096.9128.0114.67（五）、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯W(xué)生所得到的d與U的函數(shù)模型輸入到幾何畫(huà)板中，檢驗(yàn)得到 的函數(shù)圖像與數(shù)據(jù)（離散點(diǎn)）的吻合度。最后，我們?cè)僮屑?xì)觀察一下，上面表格的夕值。隨著速度的增加, 夕并非常數(shù)而是呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)，也就是制動(dòng)的時(shí)候車(chē)就不是作勻減 速運(yùn)動(dòng)。事實(shí)上隨著行車(chē)速度的增加，汽車(chē)剎車(chē)系統(tǒng)、輪胎性能、氣 溫、空氣動(dòng)力等因素對(duì)停車(chē)距離的影響增大。而對(duì)這些因素的考慮， 需要更多的知識(shí)，比方現(xiàn)在我們學(xué)的力學(xué)，只是理論力學(xué)的基礎(chǔ)，在 大學(xué)里，會(huì)學(xué)到材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)等。數(shù)學(xué)上，