近世代數(shù)課件(全)210 群對集合的作用、伯恩賽德引理

1、近世代數(shù) 10 群對集合的作用、伯恩賽德引理 9/3/2021 本節(jié)介紹群對集合的作用的概念和理論，它是群的某些應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，也是分析有限群結(jié)構(gòu)的有力工具. 9/3/2021問題： 如果有一個(gè)集合，集合上有一些變換t1，t2，t3等等，其中每個(gè)變換都會把集合中的每個(gè)元素變成集合中的另一個(gè)元素，那么如果我們把能夠互相轉(zhuǎn)變的元素看作是同一種元素，這個(gè)集合里一共有多少種“真正不同”的元素呢？ 伯恩賽德引理告訴我們，這個(gè)數(shù)目就是在每個(gè)變換t1,t2,t3下不變的元素的個(gè)數(shù)的平均數(shù)。 9/3/2021一、群對集合的作用設(shè)是上的一個(gè)置換群，任取和稱為群元素對的作用，并稱群作用于集合上.稱為目標(biāo)集.下面把

2、置換群對目標(biāo)集的作用這一概念推廣到一般的群上. 9/3/2021定義1設(shè)是一個(gè)群,是一個(gè)非空集合（稱為目標(biāo)集），若對應(yīng)上的一個(gè)變換滿足則稱作用于上，稱為對的作用.是可逆變換.易證 9/3/2021例1：設(shè)是一個(gè)群,的作用為定義對容易驗(yàn)證滿足定義1 的條件：這種作用稱為群對其本身的左平移或左正則作用. 9/3/2021例2：設(shè)是一個(gè)群,的作用為定義對容易驗(yàn)證滿足定義1 的條件：這種作用稱為群對其本身的共軛作用. 9/3/2021例3：設(shè)是一個(gè)群,的作用為定義對滿足：此作用稱為群對其子群集的共軛作用. 9/3/2021二、軌道與穩(wěn)定子群定義2設(shè)為目標(biāo)集，群作用于上，則集合稱為在作用下的一個(gè)軌道，稱

3、為此軌道的一個(gè)代表元.設(shè)（1）確定在作用下的所有軌道.解：例4 9/3/2021軌道性質(zhì)：（1）若在中定義二元關(guān)系為：則是中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，且每一個(gè)等價(jià)類就是一個(gè)軌道（2）（3）構(gòu)成的一個(gè)劃分 9/3/2021不動點(diǎn)：由性質(zhì)看出：目標(biāo)集被劃分為軌道的并，反過來，在群的作用下可用軌道來研究群的結(jié)構(gòu)，并解決軌道長度與軌道數(shù)的問題.定義3設(shè)若則稱是的一個(gè)不動點(diǎn).性質(zhì)： 9/3/2021穩(wěn)定子群：設(shè)群作用于上定義4則稱子群為的穩(wěn)定子群，記作設(shè)（2）確定在作用下的所有穩(wěn)定子群.例4 9/3/2021例1：設(shè)是一個(gè)群,的作用為定義對這種作用稱為群對其本身的左平移或左正則作用.若取而稱G在 上可遷 9/3/2021例2：設(shè)是一個(gè)群,的作用為定義對這種作用稱為群對其本身的共軛作用.若取 9/3/2021例3：設(shè)是一個(gè)群,的作用為定義對此作用稱為群對其子群集的共軛作用.若取 9/3/2021穩(wěn)定子群和軌道的關(guān)系：(1)軌道公式：證明：是映射且是單射，顯然也是滿射.(2)(3)同一軌道中元素的穩(wěn)定子群階數(shù)相同 9/3/2021三、伯恩賽德引理定理1（Burnside引理）設(shè)有限群作用于有限集上，則在作用下的軌道數(shù)目為其中為元素在上的不動點(diǎn)數(shù)目，求和是對群中每個(gè)元素求和. 9