計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)-第五部分聯(lián)立方程模型

1、聯(lián)立方程模型的概念和構(gòu)造 對(duì)于大多數(shù)金融、經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象而言，許多變量之間存在的是交錯(cuò)的雙向或多向因果關(guān)系，單向的因果關(guān)系是沒有多大意義的。例如貨幣需求的變化會(huì)影響均衡利率水平，而利率水平的變化也會(huì)影響貨幣需求。為了描述變量之間的多向因果關(guān)系，就需要建立由多個(gè)相互聯(lián)系的單方程組成的多方程模型，即聯(lián)立方程模型（simultaneous equation model）。1但聯(lián)立方程模型并不是單方程的簡(jiǎn)單重復(fù)或堆砌，它有其自身的特殊理論問題，其中主要是模型的identification和estimation問題。 2第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念首先考慮一個(gè)由三個(gè)方程組成的簡(jiǎn)單的市場(chǎng)供需模型（假定市場(chǎng)總是

2、出清）(模型1）： 供給方程： 需求方程： 均衡方程：3一、內(nèi)生變量、外生變量、前定變量 (一) 內(nèi)生變量（endogenous variables） 由模型系統(tǒng)決定其取值的變量稱為內(nèi)生變量。在模型1中， 、 、 的值是由模型決定的，因而是內(nèi)生變量。 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念4（二）外生變量（exogenous variables） 由模型系統(tǒng)以外的因素決定其取值的變量稱為外生變量。在模型1中，t期的收入 是由模型外的因素決定的， 因而在該模型中是外生變量。 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念5（三）前定變量（predetermined variables） 所謂前定變量是指獨(dú)立于變量所在方

3、程當(dāng)期和未來各期隨機(jī)誤差項(xiàng)的變量。在模型1中， 作為滯后的內(nèi)生變量， 作為外生變量都屬于前定變量。 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念6二、完備方程組 如果一個(gè)模型中方程的個(gè)數(shù)等于內(nèi)生變量的個(gè)數(shù)，則稱這個(gè)模型為完備方程組（complete system of equations）。我們可以估計(jì)完備方程組中的所有參數(shù)，但對(duì)于非完備方程組，我們不能估計(jì)或只能估計(jì)它的一部分參數(shù)。第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念7 在上述市場(chǎng)供需模型中，共有 、 、 三個(gè)內(nèi)生變量，同時(shí)有三個(gè)方程，因此該模型是一完備方程組，所有參數(shù)均可估計(jì)。三、隨機(jī)方程式、非隨機(jī)方程式 聯(lián)立方程模型中的方程可以分為兩類，一類是含有隨機(jī)誤差項(xiàng)

4、和未知參數(shù)的方程，稱為隨機(jī) 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念8 方程式，也即行為方程（behavior equation）；另一類是不含隨機(jī)誤差項(xiàng)和未知參數(shù)的方程，稱為非隨機(jī)方程式，主要是恒等式，非隨機(jī)方程式不需要估計(jì)參數(shù)。在模型1中，供給方程、需求方程是隨機(jī)方程式，即行為方程。而均衡方程則屬于非隨機(jī)方程式。 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念9四、結(jié)構(gòu)式模型、簡(jiǎn)化式模型 所謂結(jié)構(gòu)式模型，是指在一定的經(jīng)濟(jì)理論基礎(chǔ)上建立的，能夠反映經(jīng)濟(jì)變量之間結(jié)構(gòu)形式的一類聯(lián)立方程模型。模型1即為結(jié)構(gòu)式模型， 對(duì)于模型1，若將常數(shù)項(xiàng)看作變量1的系數(shù)，則模型可以表示為： 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念10第一節(jié) 聯(lián)立方

5、程模型的基本概念11因此結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣為： 1 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念12對(duì)于模型1，若以表示t時(shí)刻供給量和需求量的均衡值，則模型1可表示為模型2：供給方程： 需求方程：若將模型2中的內(nèi)生變量 、 只用模型中的前定變量和隨機(jī)誤差項(xiàng)表示出來，則可得: 、 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念13 （3.1） （3.2）模型3就是結(jié)構(gòu)式模型1或2所對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)化式模型。 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念14 一般的，簡(jiǎn)化式模型就是把結(jié)構(gòu)式模型中的內(nèi)生變量表示為前定變量和隨機(jī)誤差項(xiàng)的函數(shù)的聯(lián)立方程模型。同結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣的表示方法一樣，模型3中的簡(jiǎn)化式參數(shù)矩陣可表示為： 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念15第一

6、節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念16五、聯(lián)立性偏誤 若仍對(duì)結(jié)構(gòu)式模型中的每個(gè)結(jié)構(gòu)方程分別運(yùn)用OLS進(jìn)行估計(jì)，所得到的參數(shù)估計(jì)值將是有偏和不一致的，即存在聯(lián)立性偏誤（simultaneity bias）或聯(lián)立方程偏誤（simultaneous equations bias）。 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念17以下我們將以模型2為例證明解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)的相關(guān)性。 首先假定 滿足 ， ， 且 不相關(guān)，由3.2以及協(xié)方差的性質(zhì)， 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念18由外生變量及前定變量的定義，得原式 ，則 是相關(guān)的。第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念19下面將證明由于 、 的相關(guān)性， 的最小二乘估計(jì)值 將是

7、不一致的，為簡(jiǎn)化分析，將模型2中供給方程中的滯后價(jià)格項(xiàng)去掉 ，記 、 分別為P與Q的樣本均值，可得： 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念20對(duì)等式兩邊取期望值，可得 考察當(dāng)樣本容量n趨于無限大時(shí) 的性質(zhì)，即考察 是否具有一致性。由一致性的定義， 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念21對(duì)上面等式兩邊取極限概率，可得： 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念22當(dāng)樣本容量n趨向于無限大時(shí)，則原方程等于 因此 的概率極限并不等于它的真實(shí)值，即是個(gè)有偏估計(jì)量，并且這個(gè)偏誤不會(huì)隨樣本容量的增大而消失。 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型的基本概念23第二節(jié) 聯(lián)立方程模型的識(shí)別 所謂識(shí)別問題，是指結(jié)構(gòu)方程參數(shù)的數(shù)值估計(jì)，是否能夠從估計(jì)

8、的簡(jiǎn)化式參數(shù)求得。如果能夠求得，我們就說此結(jié)構(gòu)方程是可以識(shí)別的，特別的，如果能夠得到結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)值的唯一解，則稱該結(jié)構(gòu)方程是恰好識(shí)別的；如果可以得到結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)值的多個(gè)解，則稱該結(jié)構(gòu)方程是過度識(shí)別；如果不能夠通過簡(jiǎn)化式參數(shù)估計(jì)值求得結(jié)構(gòu)式參數(shù)值，則稱該結(jié)構(gòu)方程是不可識(shí)別的或不足識(shí)別的。 24（一）不可識(shí)別和過度識(shí)別 對(duì)于模型2做修改，可以得到以下模型4： 供給方程： 需求方程：將內(nèi)生變量表示成前定變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)的函數(shù)，可得： 25其中 的各值表示為各變量前的系數(shù)，26根據(jù)上述關(guān)系式，若已知 ，則可得：= 或 = ， = ，但我們卻無法求得 的值，也無法求得它們的估計(jì)值。 27（二）恰好識(shí)別

9、讓我們回到模型2供給方程：需求方程： 其對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)化式模型3 28由上述關(guān)系式，若已知 ， 可以求得： ， ， ， ，分別用OLS估計(jì)簡(jiǎn)化式模型的兩個(gè)方程，可得無偏估計(jì)值，相應(yīng)地，模型2中的參數(shù)的一致估計(jì)量也相應(yīng)可得。 29由結(jié)果可以看到，模型2中供給方程和需求方程參數(shù)估計(jì)值的唯一解，因此兩個(gè)結(jié)構(gòu)方程及模型都是恰好識(shí)別的。30二、識(shí)別規(guī)則: 階條件可識(shí)別性的階條件是一個(gè)必要但非充分條件，階條件有多種表述方式 ：表述1：令G表示模型中結(jié)構(gòu)方程的個(gè)數(shù)，如果某結(jié)構(gòu)方程中所不包含的內(nèi)生變量和前定變量的個(gè)數(shù)為G-1，則該方程是恰好識(shí)別的；若不包含的變量個(gè)數(shù)大于G-1，則該方程是過度識(shí)別的；若不包含的變量個(gè)

10、數(shù)小于G-1，則該方程是不可識(shí)別的。 31 表述2：在一個(gè)線性聯(lián)立方程模型中，某方程可識(shí)別的一個(gè)必要條件（階條件）是：該方程所不包含的前定變量的個(gè)數(shù)必須不少于方程右邊所包含的內(nèi)生變量的個(gè)數(shù)。若該方程所不包含的前定變量的個(gè)數(shù)等于方程右邊所包含的內(nèi)生變量的個(gè)數(shù)，則該方程是恰好識(shí)別的；若大于，則該方程是過度識(shí)別的。 32可以證明兩種表述方式是等價(jià)的。下面通過一個(gè)例子說明可識(shí)別性的階條件。（模型6） (6.1) (6.2) (6.3) 在該模型中， 表示外生變量， 表示內(nèi)生變量， 33 根據(jù)階條件表述1：方程6.1：不包含2個(gè)變量，因此該方程是恰好識(shí)別的。方程6.2：是過度識(shí)別的。方程6.3：不可識(shí)別

11、。 根據(jù)階條件表述2：方程6.1：不包含1個(gè)前定變量，方程右邊包含一個(gè)內(nèi)生變量，因此該方程是恰好識(shí)別的。方程6.2：是過度識(shí)別的。方程6.3：不可識(shí)別。 34二、秩條件 秩條件的表述如下：對(duì)于一個(gè)由G個(gè)方程組成的聯(lián)立方程模型中的某個(gè)結(jié)構(gòu)方程而言，如果模型中其他方程所含而該方程不含的諸變量的系數(shù)矩陣的秩為G-1，則該結(jié)構(gòu)方程是可識(shí)別的，若秩小于G-1則該結(jié)構(gòu)方程是不可識(shí)別的。對(duì)某結(jié)構(gòu)式模型中的第i個(gè)方程利用秩條件判斷其可別性，可按以下步驟進(jìn)行： 35寫出結(jié)構(gòu)模型對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣刪去第i個(gè)結(jié)構(gòu)方程對(duì)應(yīng)系數(shù)所在的一行。刪去第i個(gè)結(jié)構(gòu)方程對(duì)應(yīng)系數(shù)所在行中非零系數(shù)所在的各列。對(duì)余下的子矩陣，如果它的秩

12、等于方程個(gè)數(shù)減去1，則第i個(gè)結(jié)構(gòu)方程就是可識(shí)別的；如果它的秩小于方程個(gè)數(shù)減1，則第i個(gè)結(jié)構(gòu)方程就是不可識(shí)別的。 36下面舉例說明階條件和秩條件的結(jié)合運(yùn)用。（模型7） (7.1) (7.2) (7.3) (7.4)同模型6， 表示內(nèi)生變量， 表示外生變量，首先寫出模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣： 37方程7.1：按階條件，是恰好識(shí)別的。按秩條件，得子矩陣如下， 它的秩為23,因此秩條件不滿足，該方程是不可識(shí)別的。 38 方程7.2：按階條件，恰好識(shí)別。按秩條件，得子矩陣如下，它的秩為3滿足秩條件，因此該方程是恰好識(shí)別的。 39方程7.3：按階條件，是過度識(shí)別的。按秩條件，得子矩陣如下，它的秩為3，滿足秩條件

13、，因此該方程是 過度識(shí)別的 。方程7.4：按階條件，是不可識(shí)別的，則不用考慮秩條件，該方程一定是不可識(shí)別的。 40三、聯(lián)立性檢驗(yàn)由于某些內(nèi)生變量作解釋變量，從而與隨機(jī)誤差項(xiàng)存在相關(guān)性而產(chǎn)生的，因而聯(lián)立性檢驗(yàn)就歸結(jié)為可能是內(nèi)生變量的解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)的相關(guān)性檢驗(yàn)。通常用Hausman設(shè)定誤差檢驗(yàn)（Hausman specification test）檢驗(yàn)聯(lián)立性?？紤]前面提到的模型4： 供給方程： 41需求方程：第一步，求得模型的簡(jiǎn)化式形式 （模型8） （8.1） （8.2）其中 、 為相應(yīng)的系數(shù)， 、 為隨機(jī)誤差項(xiàng)。42第二步，應(yīng)用普通最小二乘法估計(jì)方程8.1，得到 的估計(jì)值 。第三步，將 作

14、為附加變量加入到方程4.1中，得 ，對(duì)其應(yīng)用普通最小二乘法進(jìn)行回歸，并設(shè)： 43 第四步，對(duì) 的估計(jì)值做t檢驗(yàn)，若它是顯著的因而應(yīng)將作為內(nèi)生變量，即存在聯(lián)立性；若不顯著，則不能拒絕原假設(shè)，即不存在聯(lián)立性。 44第三節(jié) 聯(lián)立方程模型的估計(jì)根據(jù)是否同時(shí)對(duì)所有的結(jié)構(gòu)方程進(jìn)行估計(jì)，可把常用的估計(jì)方法分為單一方程法與系統(tǒng)方程法兩類。單一方程法又稱有限信息法（limited information method）,是對(duì)結(jié)構(gòu)方程逐個(gè)進(jìn)行估計(jì)的方法。系統(tǒng)方程法又稱為完全信息法，是對(duì)整個(gè)聯(lián)立方程模型中的所有結(jié)構(gòu)方程同時(shí)進(jìn)行估計(jì)，一次估計(jì)出模型全部系數(shù)的方法 45一、單一方程法 對(duì)單一方程法我們將主要介紹間接最小

15、二乘法、工具變量法、兩階段最小二乘法。前者只適用于恰好識(shí)別的結(jié)構(gòu)方程，后兩者還可應(yīng)用于結(jié)構(gòu)方程過度識(shí)別的情況。（一）普通最小二乘法在遞歸模型中的應(yīng)用。 考慮如下模型：46 （9.1） （9.2） （9.3）其中 表示內(nèi)生變量， 表示外生變量，假定同期各方程的隨機(jī)誤差項(xiàng)互不相關(guān)，即：47 該模型中實(shí)際并不存在聯(lián)立方程系統(tǒng)中各內(nèi)生變量之間的相互依賴性，而是存在一種單向的因果依賴性，這種模型被稱為遞歸模型或三角模型，也因其單向因果性而被稱為因果性模型。 (二)間接最小二乘法 其具體步驟如下： 48 第一步：將結(jié)構(gòu)式模型轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)化式模型。 第二步：對(duì)每個(gè)簡(jiǎn)化式方程應(yīng)用普通最小二乘法，得到簡(jiǎn)化式參數(shù)的估

16、計(jì)值。第三步：根據(jù)簡(jiǎn)化式參數(shù)與結(jié)構(gòu)式參數(shù)之間的關(guān)系式以及簡(jiǎn)化式參數(shù)估計(jì)值求得結(jié)構(gòu)式參數(shù)估計(jì)值。 49(三)工具變量法以國民收入模型10為例，說明工具變量法的應(yīng)用：消費(fèi)函數(shù)： 投資函數(shù)： 國民收入定義式： 第一步，選擇合適的工具變量。一般而言，聯(lián)立方程模型中的前定變量可以作為工具變量，因此選擇政府購買支出作為工具變量。50運(yùn)用普通最小二乘法估計(jì)估計(jì)方程 ，得到擬合值 。第三步，將消費(fèi)方程中的Yt 用其擬合值 代替，得 ，由于 與 是不相關(guān)的，因此用普通最小二乘法估計(jì)該方程，就可以得到 、 的估計(jì)值 、 。51（四）兩階段最小二乘法 下面仍以模型10為例說明兩階段最小二乘法的應(yīng)用：第一階段，由結(jié)構(gòu)

17、式模型求得簡(jiǎn)化式模型： 并用普通最小二乘法分別估計(jì)各方程，求得各內(nèi)生變量的擬合值 52 第二階段：將原結(jié)構(gòu)方程右邊的內(nèi)生變量替換為它的擬合值，得如下模型(11)。由于 與 、 是漸進(jìn)不相關(guān)的，因此可以用普通最小二乘法分別估計(jì)模型11的方程，從而求得結(jié)構(gòu)方程的參數(shù)估計(jì)值。 模型(11) 53五、間接最小二乘法、工具變量法、兩階段最小二乘法的比較 兩階段最小二乘法實(shí)際上是工具變量法的一種特殊形式。 在恰好識(shí)別的情況下，可以證明三種方法是等價(jià)的。在過度識(shí)別的情況下，間接最小二乘法不能應(yīng)用；按照工具變量選擇的不同，工具變量法可以得到多個(gè)估計(jì)值；而兩階段最小二乘法則可以充分利用模型信息，得到結(jié)構(gòu)參數(shù)的唯

18、一估計(jì)值。 54二、系統(tǒng)方程法 系統(tǒng)方程法，其中最重要的一種方法是三階段最小二乘法。它的基本思想是：兩階段最小二乘法只使用了模型的部分信息，而忽視了模型結(jié)構(gòu)對(duì)其它方程的參數(shù)值所施加的全部約束條件，特別是當(dāng)聯(lián)立方程模型各方程的隨機(jī)誤差項(xiàng)同期相關(guān)時(shí)，兩階段最小二乘法將不再有效，此時(shí)需要引入廣義最小二乘法（GLS），以克服各方程之間的聯(lián)立性偏誤。 55第一階段：利用普通最小二乘法估計(jì)結(jié)構(gòu)式模型對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)化式模型，并求得各內(nèi)生變量的擬合值。第二階段：將結(jié)構(gòu)方程右邊的內(nèi)生變量用其擬合值代替，再利用普通最小二乘法估計(jì)替代后的方程，得到結(jié)構(gòu)參數(shù)參數(shù)估計(jì)值。然后計(jì)算各方程的殘差值，利用殘差值求得誤差項(xiàng)方差以及跨

19、方程協(xié)方差的一致估計(jì)值。GLS的基本步驟56第三階段：根據(jù)第二階段得到的誤差項(xiàng)方差估計(jì)值以及跨方程協(xié)方差估計(jì)值，應(yīng)用廣義最小二乘法得到三階段最小二乘估計(jì)值。盡管系統(tǒng)方程估計(jì)值比單一方程估計(jì)值更為有效，但在實(shí)際中系統(tǒng)方程法并不常用。 （1）系統(tǒng)方程法常常導(dǎo)致參數(shù)的高度非線性解，以至于有時(shí)難以確定。 （2）系統(tǒng)方程法對(duì)設(shè)定誤差很敏感。 （3）計(jì)算量較大。 57第四節(jié)、實(shí)例聯(lián)立方程模型在金融數(shù)據(jù)中的應(yīng)用 一、理論分析 （一）理論上，貨幣供應(yīng)量對(duì)股票價(jià)格影響的途徑 由理論可以看出，貨幣供應(yīng)量既可以影響當(dāng)期的股票價(jià)格，也可以影響后期的股票價(jià)格。根據(jù)國內(nèi)外的研究，貨幣政策的時(shí)滯一般在6個(gè)月，因此取股票價(jià)格

20、58作為被解釋變量時(shí)，取當(dāng)月和前第六個(gè)月的貨幣供應(yīng)量為解釋變量，建立如下方程：其中 表示第t月的上證綜合指數(shù)， 表示第t月的貨幣供應(yīng)量， 表示第t-6月的貨幣供應(yīng)量。 （二）股票價(jià)格也會(huì)對(duì)貨幣需求也存在財(cái)富效應(yīng)、交易效應(yīng)和替代效應(yīng)。59 因此若以貨幣需求量為被解釋變量，可以建立如下的方程： 其中 代表t月的貨幣需求量， 代表t月的工業(yè)增加值， 代表第t月的通貨膨脹率， 代表第t月的一年期定期存款利率。從總體上來說，貨幣需求和貨幣供給還是保持均衡的。60因此，可以建立如下的聯(lián)立方程模型（模型12） (12.1) （12.2） 61二、實(shí)證分析 本文采用了從1997年1月到2004年3月各變量的月度數(shù)據(jù)。我們將分別檢驗(yàn)流通中現(xiàn)金、狹義貨幣、廣義貨幣作為貨幣量與上證指數(shù)的關(guān)系。我們將在Eviews5.0中利用兩階段最小二乘法估計(jì)上述聯(lián)立方程模型，這個(gè)過程主要分兩個(gè)步驟：首先利用普通最小二乘法求得內(nèi)生變量的擬合值，然后用擬合值代替內(nèi)生變量再利用兩階段最小二乘法求得結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)值。62我們以代表貨幣量說明模型，打開Eviews5.0，建立相應(yīng)的工作組并輸入數(shù)據(jù)，然后在菜單中選擇“Quick”“Est